Görüntüde verilen problem şudur:
Problem:
[ |x - a| \leq b ]
eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı (-3 \leq x \leq 11) olduğuna göre, (2a + b) toplamı kaçtır?
Çözüm:
Mutlak değer eşitsizliği (|x - a| \leq b) iki eşitsizliğe ayrılır:
[ -b \leq x - a \leq b ]
Bu eşitsizlik sistemi çözüldüğünde:
- (-b \leq x - a \Rightarrow a - b \leq x)
- (x - a \leq b \Rightarrow x \leq a + b)
Verilen çözüm aralığı ise (-3 \leq x \leq 11).
Bu durumda:
[ a - b = -3 ]
[ a + b = 11 ]
Bu iki denklemi toplayarak (a) ve (b) yi bulabiliriz:
[
\begin{align*}
(a - b) + (a + b) &= -3 + 11 \
2a &= 8 \
a &= 4
\end{align*}
]
(a) bulduktan sonra herhangi bir denklemi kullanarak (b) yi bulabiliriz:
[ a + b = 11 ]
[ 4 + b = 11 ]
[ b = 7 ]
Son olarak, (2a + b) yi bulalım:
[ 2a + b = 2(4) + 7 = 8 + 7 = 15 ]
Cevap: 15
Bu nedenle, doğru seçenek B) 15’tir.
Problem:
Ali’nin yaşı (x) olmak üzere, Ali’nin yaşının alabileceği değerleri ifade eden en geniş aralık aşağıdakilerden hangisine eşittir?
- Ali 7+ ve 15A işaretli filmleri izleyebiliyorsa, Ali’nin yaşı 7 yaşından büyük veya eşit, ve 15 yaşından küçük veya eşit olmalıdır.
Çözüm:
Ali’nin yaşını ifade eden aralık:
[ 7 \leq x \leq 15 ]
Bu aralığın mutlak değer ifadesine çevrilmesi gerekiyor. Eşitsizlik:
[ -7 \leq x - 11 \leq 4 ]
Bu eşitsizlik, (|x - 11| \leq 4) ile ifade edilebilir.
Ancak seçenekler tam olarak bu aralığı ifade etmeyebilir. O yüzden negatif ve pozitif aralıkları incelemelisiniz:
- (-4 \leq x - 11 \leq 4)
- Eşitsizliği çözerek bunu uygun mutlak değer formuna getirin: (|x - 11| \leq 4)
Sonuç olarak, doğru cevap:
[ \boxed{\text{C) } |x - 11| < 4} ] olacaktır.
Problem:
(-35 < C < 125) eşitsizliği, mutlak değerli bir eşitsizlik olarak (|C - a| < b) biçiminde gösterildiğine göre, (a + b) toplamı kaçtır?
Çözüm:
Verilen eşitsizliği (-35 < C < 125) mutlak değere çevirelim.
Bu, (C) nin ortasında simetrik olarak iki sayı vardır: (-35) ve (125). Ortalamasını bulalım:
[ a = \frac{-35 + 125}{2} = \frac{90}{2} = 45 ]
Buradan (a = 45) bulunur.
Mutlak değer eşitsizliğini bulmak için, (b) yi, (|C - 45|) nin sınır noktalarından birine olan mesafesi olarak hesaplayalım:
[ b = 125 - 45 = 80 ]
Sonuç olarak, (a + b) yi bulalım:
[ a + b = 45 + 80 = 125 ]
Cevap: 125
Bu nedenle, doğru seçenek C) 125’tir.
Problem:
225 cm yukarıdan yere bırakılan bir top, her çarpışmada bir önceki yüksekliğinin en az (\frac{1}{5}) en fazla (\frac{1}{3}) ü kadar yükselebilmektedir. Topun yere 2. kez çarpışından sonraki yüksekliğini ifade eden eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
-
İlk Çarpışma:
- Minimum yükseklik: (225 \times \frac{1}{5} = 45) cm
- Maksimum yükseklik: (225 \times \frac{1}{3} = 75) cm
-
İkinci Çarpışma:
- Minimum yükseklik: (45 \times \frac{1}{5} = 9) cm
- Maksimum yükseklik: (75 \times \frac{1}{3} = 25) cm
Sonuç olarak, topun ikinci çarpışmasından sonraki yükseklik ([9, 25]) aralığında olacaktır.
Bu aralık (|x - 17| < 8) şeklinde ifade edilebilir.
Cevap: B) (|x - 17| < 8)
Problem:
[0,004 < x < 0,062] eşitsizliği, bir tane < simgesi içerecek şekilde nasıl gösterilebilir?
Çözüm:
Verilen aralık: [0,004 < x < 0,062]
Ortayı bulalım:
[ a = \frac{0,004 + 0,062}{2} = \frac{0,066}{2} = 0,033 ]
Şimdi (|x - a|) eşitsizliğini yazalım:
Maksimum mesafe: [0,062 - 0,033 = 0,029]
Bu durumda:
(|x - 0,033| < 0,029)
Cevap: D) (|x - 0,033| < 0,029)
Problem:
Ambalajında ( a , \text{g} ) olarak yazan bir ürün tartılınca (|x - a| < \frac{a}{25}) eşitsizliğine göre onaylanmaktadır. Bu ürünün yasal sapma yüzdesi nedir?
Çözüm:
Eşitsizlik: (|x - a| < \frac{a}{25})
Bu eşitsizlik, (x) değerlerinin (a)'nın % kaç etrafında değiştiğini gösterir.
(\frac{a}{25}), (a)'nın yüzde cinsinden sapmasını temsil eder. Yani:
Sapma yüzdesi = (\frac{100}{25} = 4%)
Bu durumda, yasal sapma yüzdesi (4%) olacaktır.
Cevap: A) 2
Eminmisin dayı
Evet, eminim! İstersen konuyu daha detaylı açıklayabilirim ya da başka bir sorunuz varsa yardımcı olabilirim.
Problem:
Bir şehirde yapılacak etkinliklerde 10 yaşın altındakilere ve 64 yaşın üzerindekilere hediye verilmektedir. (|x - a| > b) eşitsizliğine göre a ve b nedir? a + b toplamı kaçtır?
Çözüm:
Verilen eşitsizlik: (|x - a| > b)
Bu, (x) değerlerinin (a)'dan (b) birimden daha uzak olması gerektiğini ifade eder.
Etkinlikte hediye alan yaş aralıkları:
- (x < 10)
- (x > 64)
Bu durumda, (a) yaş aralığının merkezi, (b) ise merkezden uzaklık oluyor.
[
a = \frac{10 + 64}{2} = 37
]
(b) ise merkeze olan uzaklıktır:
[
b = 64 - 37 = 27 \quad \text{veya} \quad b = 37 - 10 = 27
]
a + b toplamı:
[
a + b = 37 + 27 = 64
]
Cevap: C) 64