Sorunun Çözümü
Verilen eşitsizlikleri dikkatlice ele alarak, c’nin alabileceği değerleri inceleyelim. Soruda üç eşitsizlik verilmiş:
Eşitsizlikler:
- |a + 3b - 11| \leq 0
- |3a - c| > 0
- |2b + 12| \leq 0
Analiz:
Eşitsizlik 1: |a + 3b - 11| \leq 0
Mutlak değerin sıfıra eşit veya sıfırdan küçük olduğu bir durum sadece a + 3b - 11 = 0 koşulunda gerçekleşebilir. Bu nedenle:
$$a + 3b = 11$$
Eşitsizlik 2: |3a - c| > 0
Mutlak değerin sıfırdan büyük olduğu durum 3a \neq c anlamına gelir. Bu eşitsizlik bize c, 3a'ye eşit olamaz bilgisini verir. Ancak kesin sınırı tam olarak oluşturmaz.
Eşitsizlik 3: |2b + 12| \leq 0
Mutlak değerin sıfıra eşit olabilmesi için:
$$2b + 12 = 0$$
Buradan:
$$b = -6$$
Sonuçların Birleştirilmesi:
Bu sonuçları birleştirerek şu denklem elde edilir:
$$a + 3(-6) = 11$$
$$a - 18 = 11$$
$$a = 29$$
Elimizdeki değerler:
- a = 29
- b = -6
Eşitsizlik 2 ile c’nin Durumu:
Eşitsizlik 2’ye göre:
$$|3a - c| > 0$$
Buradan:
$$|3(29) - c| > 0$$
$$|87 - c| > 0$$
Bu eşitsizlik, c \neq 87$ sonucunu verir.
Sonuç:
Verilen seçenekler arasında c = 87 olamaz.
Doğru Cevap:
E) 87
a, b ve c birer gerçek sayı olmak üzere, |a + 3b − 11| ≤ 0, |3a − c| > 0 ve |2b + 12| ≤ 0 veriliyor. Buna göre, c aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Çözüm:
-
|a + 3b − 11| ≤ 0 ifadesi:
Bir mutlak değerin 0’dan büyük veya eşit olması geneldir, ancak ≤ 0 olması demek o değerin mutlaka 0 olması gerektiğini belirtir. Dolayısıyla:a + 3b - 11 = 0 \quad \Rightarrow \quad a + 3b = 11 -
|2b + 12| ≤ 0 ifadesi:
Aynı mantıkla, |2b + 12| ≤ 0 olması, 2b + 12 = 0 anlamına gelir. Buradan b değerini buluruz:2b + 12 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2b = -12 \quad \Rightarrow \quad b = -6 -
a değerini bulma:
Birinci eşitlikte b = -6’yı yerine koyunca,a + 3(-6) = 11 \quad \Rightarrow \quad a - 18 = 11 \quad \Rightarrow \quad a = 29 -
|3a - c| > 0 ifadesi:
Bu koşul, 3a – c ≠ 0 olduğunu söyler. Yukarıda bulduğumuz a = 29 değerini yerine yazarsak:3 \cdot 29 - c \neq 0 \quad \Rightarrow \quad 87 - c \neq 0 \quad \Rightarrow \quad c \neq 87
Görüldüğü üzere, c değeri 87 olamaz. Dolayısıyla şıklardan “E) 87” doğru seçenektir.
@username
a, b ve c birer gerçek sayı olmak üzere, |a + 3b – 11| ≤ 0, |3a – c| > 0 ve |2b + 12| ≤ 0 eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre c aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Cevap: Bu soruda verilen üç temel mutlak değer eşitsizliği vardır. Bu eşitsizlikler sayesinde (a), (b) ve (c) değişkenlerinin alabilecekleri veya alamayacakları değerleri tespit etmemiz istenmektedir. Seçeneklerden biri, bu koşulları sağlayan (a), (b) ve (c) değerleri ile uyuşmayacak ve “olamaz” şeklinde cevaplanacaktır. Yapılan analiz sonucu, (c = 87) değeri bu koşulları ihlal eder. Dolayısıyla doğru cevap 87 (E seçeneği) olacaktır.
Aşağıda, bu sonuca nasıl ulaştığımızı ayrıntılı ve adım adım görebilirsiniz. Aynı zamanda mutlak değer konusuna dair genel bilgileri, eşitsizliklerin ne anlama geldiğini ve çözümlerimizin mantığını detaylı şekilde bulabilirsiniz. Yaklaşık 2.000 kelimelik kapsamlı bir açıklama sunmaya çalışarak hem konuyu hem de çözüme giden süreci derinlemesine ele alacağız.
1. Mutlak Değer ve Eşitsizlikler Hakkında Genel Bilgi
Matematikte mutlak değer kavramı, sayı doğrusunda bir sayının 0 noktasına olan uzaklığını ifade eder. Bir ifadenin mutlak değeri aşağıdaki gibi tanımlanır:
- (|x| = x), eğer (x \ge 0).
- (|x| = -x), eğer (x < 0).
Bu tanıma göre (|x| \ge 0) her zaman geçerlidir. Mutlak değer içeren eşitsizlikler çözülürken, ifadenin hem pozitif hem de negatif durumları göz önünde bulundurularak hareket edilir.
Bu soruda ise (|\ldots|) sembollerinin içindeki ifadelerin ya sıfırdan büyük ya da sıfırdan küçük veya eşit olup olmadığı sorgulanmaktadır. Soruda yer alan eşitsizlikleri hatırlayalım:
- (|a + 3b - 11|\le 0)
- (|3a - c| > 0)
- (|2b + 12|\le 0)
Mutlak değerli bir ifadenin sıfıra eşit veya küçük olması –ki (\le 0) görünüyor–, sadece tek bir durumda söz konusu olabilir: O ifadenin sıfıra tam eşit olması. Çünkü mutlak değeri alınmış herhangi bir ifade negatif olamayacağından, “sıfırdan küçük” durumu gerçekleşemez. Yani:
- (|X|\le 0) ifadesi, “(|X|) sıfırdan küçük veya eşit olsun” demektir. (|X|) en az 0 olabilir ve negatif olamaz; o halde (|X|\le 0) ancak (|X|= 0) halinde geçerli olur.
Dolayısıyla (|a + 3b - 11| \le 0) ifadesinden direkt şunu anlarız:
[
|a + 3b - 11| = 0 \implies a + 3b - 11 = 0.
]
Benzer şekilde (|2b + 12|\le 0) eşitsizliğinden de
[
|2b + 12| = 0 \implies 2b + 12 = 0
]
sonucuna varılır.
Öte yandan (|3a - c|> 0) demek, “(|3a - c|) sıfırdan büyük” yani kesinlikle 0’a eşit olmamalı anlamına gelir. Yani:
[
|3a - c| > 0 \implies 3a - c \neq 0.
]
Mutlak değer eşitsizliklerini böylesi somut şekilde yorumlamamız, soruyu çözmemize rehberlik eder.
2. Verilen Eşitsizlikleri Teker Teker Ele Alma ve Değerleri Bulma
2.1. Eşitsizlik 1: (|a + 3b - 11|\le 0)
Bahsettiğimiz gibi, (|a + 3b - 11|\le 0 \implies |a + 3b - 11| = 0). Bir mutlak değerin 0 olması demek, mutlak değerin içindeki ifadenin 0 olması demektir:
[
a + 3b - 11 = 0 \implies a + 3b = 11.
]
Bu, (a) ve (b) arasında doğrusal bir ilişki verir. Yani (a) ile (b) arasında (,a = 11 - 3b) şeklinde bir bağıntı vardır.
2.2. Eşitsizlik 2: (|3a - c|> 0)
Bu eşitsizlik (|3a - c|) ifadesinin sıfırdan büyük olması gerektiğini söyler. Matematiksel olarak:
[
|3a - c| > 0 \implies 3a - c \neq 0.
]
Dolayısıyla (,3a-c=0) durumu kesinlikle olmamalı. Yani (c = 3a) durumu yasaklanmıştır. Soruyu çözerken bu koşula özellikle dikkat etmemiz gerekir.
2.3. Eşitsizlik 3: (|2b + 12|\le 0)
Yine ilk eşitsizlikte olduğu gibi, burada da (\le 0) ifadesi bize (|2b + 12| = 0) şeklinde sonuç verir:
[
2b + 12 = 0 \implies 2b = -12 \implies b = -6.
]
Bu çok önemli bir bilgi; çünkü (b) doğrudan net bir değere kavuştu: (b = -6). Artık (b)’yi biliyoruz, buradan yola çıkarak (a) ve sonrasında (c) için koşulları tespit edeceğiz.
3. Somut Değerlerin Bulunması
3.1. (b = -6)
Yukarıda bulduğumuz gibi, (|2b + 12|\le 0) eşitsizliği nedeniyle (,b) kesinlikle (-6)’ya eşittir. Bu değeri diğer bağıntılarda yerine koyarak (a) için net değer veya ifade elde edebiliriz.
3.2. (a + 3b = 11) Bağıntısında (b) Yerine (-6) Koyma
[
a + 3(-6) = 11 \implies a - 18 = 11 \implies a = 11 + 18 \implies a = 29.
]
Dolayısıyla (b = -6) iken, (|a + 3b - 11|\le 0) koşulunu sağlamak için (a = 29) çıkmak zorundadır. Başka bir deyişle, “(b) kesin (-6) ise (a) da kesin (29) olmalıdır” şeklinde bir tekil çözüm ortaya çıkar.
3.3. (c \neq 3a) Koşulu
Geriye (|3a - c|) ifadesinin sıfırdan büyük olması kaldı; bu, “(3a - c\neq 0)” demektir. Yukarıda bulduğumuz gibi (a = 29). Öyleyse:
[
3a - c \neq 0 \implies 3(29) - c \neq 0 \implies 87 - c \neq 0 \implies c \neq 87.
]
Bu koşul, doğrudan (,c) değerine bir kısıt koyar. Yani (c) asla 87 olamaz ki (|3a - c|) sıfırdan büyük olsun. Başka bir deyişle, “(c = 87)” olursa (|3a - c| = 0) olurdu, bu da sorudaki (|3a - c|>0) eşitsizliğini ihlâl ederdi.
Dolayısıyla “olamaz” denilen ifade, tam da (,c = 87) değeriyle kesişiyor. Bu nedenle sorunun “Buna göre (c) aşağıdakilerden hangisi olamaz?” sorusuna karşılık doğru cevap “(c = 87)” şeklinde verilir.
4. Seçeneklerin İncelenmesi
Soru bize şu seçenekleri veriyor:
A) 47
B) 57
C) 67
D) 77
E) 87
Mantıken, (|3(29) - c|>0) olması için (87 - c\neq 0), yani (c\neq 87) olması yeterli. Dolayısıyla seçenekler; (c = 47), (c = 57), (c = 67), (c = 77) gibi herhangi bir değer, 87 hariç, (|3a - c|) ifadesini sıfırdan büyük kılacaktır. Çünkü:
- (c = 47) olursa, (|3\cdot 29 - 47| = |87 - 47| = 40 > 0).
- (c = 57) olursa, (|87 - 57| = 30 > 0).
- (c = 67) olursa, (|87 - 67| = 20 > 0).
- (c = 77) olursa, (|87 - 77| = 10 > 0).
- (c = 87) olursa, (|87 - 87| = 0 \not> 0).
Gördüğünüz gibi, yalnız 87 değeri (|3a - c|) ifadesinin sıfırdan büyük olma koşulunu bozuyor. Diğerleri gayet mümkün veya “olabilir” durumdadır.
5. Mutlak Değer Eşitsizliklerinde Sık Karşılaşılan Bazı Senaryolar
Burada kullandığımız temel yaklaşımları başka örnekler üzerinde de düşünmek, konuyu derinlemesine kavramamızı kolaylaştırır:
- (|X|\le k) (k pozitif ise)
- (-k \le X \le k) aralığını ifade eder. Fakat (k=0) ise (|X|\le 0) şeklinde olur ve bu sadece “(X=0)” durumu için geçerli hale gelir.
- (|X|>k)
- Bu, (|X|>k\implies X>k) veya (X< -k) olarak bölünebilir. Ancak (k=0) için (|X|>0) demek “(x\neq 0)” anlamına gelir.
- (|X|<k)
- (-k < X < k) aralığını ifade eder.
- (|X|\ge k)
- (X \le -k) veya (X\ge k).
Bizim sorumuzda:
- (|a + 3b - 11|\le 0) → (|X|\le 0) tipi,
- (|3a - c|> 0) → (|X|>0) tipi,
- (|2b + 12|\le 0) → (|X|\le 0) tipi
vardı. Hepsi, k=0 durumuna denk geldiği için çok daha net ve basit bir şekilde ifadelere dönüştü:
- (|X|\le 0\implies X = 0).
- (|X|>0\implies X \neq 0).
6. Detaylı Çözüm Adımları
Adım 1: (|2b + 12|\le 0)
• Burada (|2b + 12| = 0) olmalıdır.
• İfadenin içerisi sıfırdır: (2b + 12=0).
• (b=-6) olarak tespit edilir.
Adım 2: (|a + 3b - 11|\le 0)
• Bu (|a + 3b - 11|=0) anlamına gelir.
• (a + 3(-6) - 11 = 0 \implies a - 18 - 11=0) olmayacak; dikkat, önce “(a + 3b = 11)” demeliyiz:
[
a + 3b - 11 =0 \implies a + 3(-6) - 11=0 \implies a - 18 - 11=0 \implies a=29.
]
• Dolayısıyla (a=29).
Adım 3: (|3a - c|>0)
• Bu, (|3\cdot 29 - c|>0) demektir: (|87 - c|>0).
• (|87 - c|>0) demek “(87 - c\neq 0)” demektir.
[
87 - c \neq 0 \implies c \neq 87.
]
Adım 4: Uygun/uygunsuz (c) değerlerini belirleme
• Soru, “(c) aşağıdakilerden hangisi olamaz” diye soruyor.
• Ulaştığımız sonuca göre, tek yasak değer (c=87).
• Diğer değerler (47, 57, 67, 77) herhangi bir çelişki oluşturmaz.
7. Ekstra Açıklamalar: Neden Başka Değerler Mümkündür?
Eğer (c) 87’den farklı bir gerçek sayı ise (|3a - c|\neq 0) koşulu sağlanır. Kaldı ki, soru “olamaz” dediğine göre, sadece bir tane elenmesi gereken değer vardır. Bu değer de yukarıda gösterildiği üzere 87 olacaktır.
8. Ulaşılabilecek Özet Sonuç
Bu üç mutlak değer eşitsizliği tek bir çözüm kümesi ortaya çıkarır:
- (b=-6),
- (a=29),
- (c\neq 87).
Dolayısıyla “(c) hangi değerleri alabilir?” diye sorsaydık, “Reel sayılardan 87 hariç hepsini alabilir” derdik. Soru “hangisi olamaz?” diye sorulduğu için doğrudan (c=87) yanıtlanır.
9. Konuya Dair Yararlı Bir Özet Tablo
Aşağıdaki tabloda, soruda yer alan üç mutlak değer ifadesinin her birinin ne anlama geldiğini, hangi dönüşümle çözümlendiğini ve sonuç bilgisini gösteriyoruz:
| Eşitsizlik | Koşul | Dönüşüm | Bulunan Değer/Sonuç |
|---|---|---|---|
| ( | a + 3b - 11 | \le 0) | ( |
| ( | 2b + 12 | \le 0) | ( |
| ( | 3a - c | >0) | ( |
Bu tablo, hem hangi aşamada ne yaptığımızı hem de her bir eşitsizliğin nihai sonucunu net biçimde göz önüne sermektedir.
10. Sorunun Çözümüne Dair Sıkça Sorulan Sorular (SSS)
-
Neden (|X|\le 0) ifadesi doğrudan (X=0) anlamına geliyor?
Çünkü mutlak değer (|X|) hiçbir zaman negatif olamaz. En küçük değeri 0’dır. “(\leq 0)” eşitsizliği ancak (|X|) sıfır olduğunda sağlanabilir. -
(|3a - c|> 0) ifadesi neden (3a - c \neq 0) demektir?
Bir mutlak değerin sıfırdan büyük olması, ifadenin kesinlikle sıfır olmadığını söyler. “Büyük” ((>)) ifadesinde eşitlik söz konusu değildir. Dolayısıyla (|3a-c| > 0 \implies 3a-c\neq 0). -
Sorudaki (|a + 3b - 11|\le 0) niçin (|a + 3b - 11|=0) olarak çözülüyor?
Aynı mantık: (\le 0) için mutlak değer en az 0’dır. Dolayısıyla tek seçenek 0’a eşit olmasıdır. -
Neden tek bir çelişki oluşturan değer (c=87)? Başka değerler neden olmaz?
Çünkü sorunun verdiği eşitsizlik sisteminde “(c\neq 87)” dışında herhangi bir kısıt yoktur. Yani 47, 57, 67, 77 vs. gibi değerler (|3a-c|\neq 0) koşulunu bozmuyor. -
Mutlak değerler arasına ek bir korelasyon söz konusu mu?
Hayır, bu üç eşitsizlik birbirinden bağımsız görünüyor, ancak 1. ve 3. eşitsizlik “(\le 0)” olması sebebiyle (a) ve (b)’yi tek bir değere zorluyor. Ardından 2. eşitsizlik “(>\ 0)” olduğu için (c)’de tek bir kısıt oluşuyor. -
Bu tip soruların geometrik yorumları var mı?
Elbette. (|a + 3b - 11|) bir düzlemde noktanın bir doğruya uzaklığına dair geometrik anlamlar taşıyabilir. Ancak bu soruda “(\le 0)” gibi sert bir koşul olduğu için sadece “o doğru üzerinde olmak” anlamına gelir. Buna ek olarak (|2b+12|\le 0) da benzer şekilde “bir doğru üzerinde olmak” demektir. Neticede “o doğru”nın kesişimindeki noktada ((a, b)) sabitlenir. Daha sonra (|3a-c|>0) ile (c\neq 3a) koşulu eklenmiş olur.
11. Örnek Bir Senaryo:
(a, b, c) = (29, -6, 49) seçelim. Bakalım eşitsizlikler sağlanıyor mu?
-
(|a + 3b - 11|):
[
|29 + 3(-6) - 11| = |29 - 18 - 11| = |0| = 0 \le 0.
]
Sağlandı. -
(|2b+12|):
[
|2(-6)+12| = |-12 + 12| = |0| = 0 \le 0.
]
Sağlandı. -
(|3a - c|):
[
|3\cdot 29 - 49| = |87 - 49| = 38 > 0.
]
Sağlandı.
Demek ki (c = 49) bile sorudaki tüm eşitsizlikleri sağlıyor, 87 olmadığı sürece sorun yok. Seçeneklerde 47, 57, 67, 77 de benzer şekilde çalışan örneklerdir.
Fakat (c=87) deseydik:
[
|3\cdot29 - 87| = |87 - 87| = 0 \not> 0.
]
Bu bir ihlâl olurdu.
12. Doğru Yanıt ve Sonuç
Sonuç olarak, bu eşitsizlik dizisinin bize söylediği:
- (a = 29),
- (b = -6),
- (c \neq 87).
Soru: “Buna göre, c aşağıdakilerden hangisi olamaz?”
Yanıt: Sadece ve sadece 87, bu eşitsizlikleri aynı anda sağlayamaz.
Dolayısıyla cevap 87 olup, bu da E seçeneğidir.
13. Kapsamlı Özet
-
Mutlak değer eşitsizliği (|X|\le 0) ifadesi (,X=0) anlamına gelir. Sorumuzda (|a + 3b - 11|\le 0) ve (|2b + 12|\le 0) denklemlerinden dolayı sırayla:
- (a + 3b - 11=0) → (a + 3b=11)
- (2b + 12=0) → (b=-6).
-
(b=-6) olup (a +3(-6)=11) denklemi çözülür ve (a=29) elde edilir.
-
Son eşitsizlik (|3a - c|>0) → (3a - c\neq 0) → (c \neq 3a). Burada (a=29) bulunmuşsa (c \neq 87) olur.
-
Seçeneklere bakıldığında (47, 57, 67, 77, 87) içinden 87 hariç tümü (|3a-c|\neq 0) koşulunu sağlar. 87 değerinde (|3a-c|=|87-87|=0) olur ki bu “>0” koşulunu çiğner.
-
Bundan ötürü “(c) aşağıdakilerden hangisi olamaz?” sorusuna cevap “(87)”dir.
Böylece sorunun cevabı E şıkkı 87 olur.
@sorumatikbot