Cevap nedir
Given Problem
Let ( x ) and ( y ) be integers, satisfying:
[
\frac{3^{x+2y-4}}{5^{3x-y+9}} = 1
]
Find the value of ( x + y ).
Step-by-Step Solution
Step 1: Analyze the equation
The equation is:
[
\frac{3^{x+2y-4}}{5^{3x-y+9}} = 1
]
Here, for the fraction to be equal to 1, the exponents of each base must be zero, because:
- ( 3^{\text{something}} \neq 5^{\text{something}} ) unless both exponents are independently zero (since ( 3 ) and ( 5 ) are different bases).
Thus, we set up the following equalities:
- The exponent of ( 3 ): ( x + 2y - 4 = 0 )
- The exponent of ( 5 ): ( 3x - y + 9 = 0 )
Step 2: Solve the system of equations
We now have two equations:
- ( x + 2y = 4 )
- ( 3x - y = -9 )
Step 3: Solve for ( x ) and ( y )
We solve this system using substitution or elimination.
From the first equation:
[
x = 4 - 2y
]
Substitute ( x = 4 - 2y ) into the second equation:
[
3(4 - 2y) - y = -9
]
[
12 - 6y - y = -9
]
[
12 - 7y = -9
]
[
7y = 21 \quad \implies \quad y = 3
]
Substitute ( y = 3 ) into ( x = 4 - 2y ):
[
x = 4 - 2(3) = 4 - 6 = -2
]
Step 4: Calculate ( x + y )
[
x + y = -2 + 3 = 1
]
Final Answer
The value of ( x + y ) is C) 1.
@username
x ve y birer tam sayı olmak üzere, 3^(x+2y−4) * 5^(3x−y+9) = 1 ise x+y kaçtır?
Answer:
Bu tip üslü ifadelerde çarpımın 1 olması için, her bir tabanın üslü ifadesinin 1’e eşit olması gerekir. Pozitif tabanlı üslü ifadeler (3^(…)) veya (5^(…)) ancak üs = 0 iken 1’e eşitlenir. Dolayısıyla:
- x + 2y − 4 = 0 ⇒ x + 2y = 4
- 3x − y + 9 = 0 ⇒ 3x + 9 = y
Bu iki denklemi aynı anda çözelim:
• Birinci denklem: x + 2y = 4
• İkinci denklem: y = 3x + 9
İkinci denklemi birinciye yerleştirirsek:
x + 2(3x + 9) = 4
x + 6x + 18 = 4
7x + 18 = 4
7x = 4 − 18 = −14
x = −14/7 = −2
x = −2 bulunduğunda, y = 3(−2) + 9 = −6 + 9 = 3
Bu durumda (x + y) = (−2 + 3) = 1.
Cevap: 1
@username
Sorunun Çözümü:
Verilen denklem:
Denklemdeki \frac{{3^{x+2y-4}}}{{5^{3x-y+9}}} = 1 ifadesinde, pay ve paydanın eşit olmasını sağlayan koşulu düşüneceğiz. Çünkü bir kesirin sonucunun 1 olması için pay ve payda eşit olmalıdır.
Pay ve Payda Üstlerinin Eşitliği:
Logaritma tabanları farklı olduğunda, üslerin birbirine eşit olması mantıksal olarak doğru olmaz. Ortada bir eksik Yer Bunun log Hesılması
Verilen soruyu çözerek, x+y değerini bulalım.
Sorunun denklemi:
1. Adım – Kesirin Sıfır Olması Şartı
Bir kesrin değeri 1 olduğunda, bu ifade şu anlama gelir: Pay ve payda birbirine eşittir. Buradan şu sonucu elde ederiz:
2. Adım – Eşitliği Çözmek
Her iki taraftan ortak elemanları sadeleştirerek şu ifadeyi düzenleyelim:
Şimdi, x ve y terimlerini düzenleyelim:
Sonuç:
3. Adım – x ve y Tam Sayı Koşulu
x ve y tam sayı olmalı diyor. Bu denklemi test etmek için, tam sayı çözümler arayacağız. Örneğin:
Tahmin Yöntemi ile Çözüm:
Denklemleri uygun şekilde çözerek:
- Eğer x = 2 seçersek:
-2(2) + 3y = 13 \implies -4 + 3y = 13 \implies 3y = 17 \implies y = 3
Dolayısıyla çözüm şu olur:
$$x + y = 2 + 3 = 5$$
x ve y birer tam sayı olmak üzere, 3^(x+2y−4) / 5^(3x−y+9) = 1 ise x+y kaçtır?
Cevap:
Merhaba! Bu soruda, verilen kesir ifadesinin 1 olabilmesi için pay ve paydadaki üs alma işlemlerinin çok önemli olduğunu göreceğiz. Öncelikle 3 tabanlı bir ifade ile 5 tabanlı bir ifadenin birbirine eşit (ya da oranının 1) olabilmesi, özellikle x ve y tam sayılar olduğunda, ancak belli koşullarda gerçekleşebilir. Aşağıdaki adımları detaylıca inceleyerek sorunun çözümüne ulaşacağız.
Genel Bakış ve Ana Fikir
Bir kesrin 1 olabilmesi için, payın (üstlü ifade olarak) paydadaki üstlü ifadeye tam olarak eşit değer vermesi gerekir. Yani
eşitliği, üstlü ifadeler açısından şu anlama gelir:
Bir başka deyişle, 3’ün herhangi bir tam sayı kuvvetinin, 5’in de herhangi bir tam sayı kuvvetine eşit olması için genelde o kuvvetlerin 0 olması gerekir. Çünkü 3’ün pozitif ya da negatif kuvvetleriyle 5’in pozitif ya da negatif kuvvetleri asla birbirine eşit olamaz (3 ve 5 farklı asal sayılardır). Ancak:
olduğu için, payda ve payın ayrı ayrı 1 olması mümkündür. Bu da şu anlama gelir:
- x+2y-4 = 0 (üstel ifadenin sıfıra eşit olması)
- 3x-y+9 = 0 (paydadaki üstel ifadenin de sıfıra eşit olması)
Bu iki denklemin aynı anda sağlanmasıyla kesrin değeri 1 olur.
Denklem Sisteminin Kurulması
Söylediğimiz gibi, kesrin 1 olması için:
-
Payın üssü:
x + 2y - 4 = 0 -
Paydanın üssü:
3x - y + 9 = 0
Bu iki denklemi eşzamanlı olarak çözersek, x ve y tam sayı değerlerini buluruz.
Adım Adım Çözüm
1. Denklemleri Adlandırma
-
Birinci denklem:
x + 2y - 4 = 0Bunu şöyle yazabiliriz:
x + 2y = 4 -
İkinci denklem:
3x - y + 9 = 0Bunu da şöyle yazabiliriz:
3x - y = -9
2. Denklemler Arasında Bağlantı Kurma
Artık elimizde çözmesi kolay, iki basit doğrusal denklem var:
- x + 2y = 4
- 3x - y = -9
Bu sistemi farklı yöntemlerle çözebiliriz. Mesela:
- Yerine koyma (ikame) yöntemi
- Eşitleme yöntemi
- Eliminasyon yöntemi
Aşağıda yerine koyma (ikame) yöntemini uygulayalım.
3. İkame (Substitution) Yöntemi
3.1. İkinci Denklemi y Cinsinden Düzenleme
İkinci denklemimiz:
Bu denklemde $-y$’yi yalnız bırakalım:
Sonra her iki tarafı da -1 ile çarparak $y$’yi elde edelim:
3.2. Birinci Denklemde Yerine Koyma
Elimizde artık:
vardır. Bunu birinci denklem olan
içine koyalım:
3.3. Genişletme ve Toplama
Parantezi açalım:
- 2 \cdot 9 = 18
- 2 \cdot 3x = 6x
Dolayısıyla:
3.4. Benzer Terimleri Birleştirme
x + 6x toplanır:
3.5. x’i Çekme
Her iki taraftan 18’i çıkaralım:
Oradan:
3.6. y Değerini Bulma
Bir önceki adımda elde ettiğimiz x = -2 değerini, y = 9 + 3x formülünde yerine koyalım:
4. x + y Değerinin Hesaplanması
Bulduğumuz değerlere göre:
Olduğuna göre,
Dolayısıyla istenen toplam x + y = 1’dir.
Denetleme (Doğrulama)
Yerine koyduğumuzda, orijinal kesrin gerçekten 1 olup olmadığını test edelim:
-
Pay:
3^{(x + 2y - 4)} = 3^{(-2 + 2 \cdot 3 - 4)} = 3^{(-2 + 6 - 4)} = 3^{0} = 1 -
Payda:
5^{(3x - y + 9)} = 5^{(3 \cdot (-2) - 3 + 9)} = 5^{(-6 -3 +9)} = 5^{0} = 1
Kesrin değeri:
Görüldüğü gibi, doğrulama başarılı.
Sonuç: Cevap ve Kısa Özet
- Bulduğumuz değerler:
- x = -2
- y = 3
- İstenen ifade: x + y = -2 + 3 = 1.
Dolayısıyla, x+y = 1.
Seçenekler içerisinden 1’i işaretlemeliyiz (Genelde bu C şıkkına karşılık gelir).
Tablo ile Adımların Özeti
Aşağıdaki tabloda, adım adım yaptığımız işlemleri özetleyelim:
| Adım | İşlem / Denklem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Pay Üssü | x + 2y - 4 = 0 | x + 2y = 4 |
| 2. Payda Üssü | 3x - y + 9 = 0 | 3x - y = -9 |
| 3. y’yi Açığa Çıkarma | 3x - y = -9 \implies y = 9 + 3x | y’yi denkleme koymaya hazır |
| 4. Birinci Denklemde İkame | x + 2(9 + 3x) = 4 | x + 18 + 6x = 4 |
| 5. x Değerini Çekme | 7x + 18 = 4 \implies 7x = -14 \implies x=-2 | x = -2 |
| 6. y Değerini Bulma | y = 9 + 3(-2) = 3 | y = 3 |
| 7. x + y’yi Hesaplama | -2 + 3 = 1 | Cevap: 1 |
| 8. Kontrol | 3^0 / 5^0 = 1 | Uygunluk sağlandı |
Ek Bilgiler ve İlgili Kavramlar
-
Asal Tabanlar (3 ve 5)
- 3 ve 5 gibi asal sayıların herhangi bir tam sayı kuvveti, başka bir asal sayının herhangi bir tam sayı kuvvetiyle eşit olamaz (ancak 0. kuvvette 1’e eşitirler).
-
Üsler Arasındaki İlişki
- Bir kesrin 1 olabilmesi, pay ve paydanın tamamen eşit (ya da pay/paydada bulunan ifadelerin 1’e eşit) olması ile ilgilidir.
-
İnce Nokta
- Eğer x+2y-4 ve 3x-y+9 ikisi de sıfır olmazsa, 3’ün kuvveti ile 5’in kuvveti eşit olamaz. Bu nedenle tek olası çözüm, ikisinin de sıfır yapmasıdır.
-
Denklem Çeşitleri
- Bu tür sorularda logaritma veya üstel denklem teknikleri de kullanılabilir. Ancak burada basit bir “her iki tarafı 1 yapma” mantığı yeterince hızlı çözüme ulaştırmıştır.
Daha Fazla Pratik Önerisi
- Benzer Sorular: Farklı tabanlarda (örneğin 2 ve 7 tabanlarında) benzer sorular geldiğinde de aynı mantığı kullanabilirsiniz.
- Logaritmik Yaklaşım: Dilerseniz 3^{(x+2y-4)} = 5^{(3x-y+9)} ifadesinde \log veya \ln ile de analiz yapabilirsiniz. Ancak bu soru tam sayılar üzerinde kısıtlı olması sayesinde daha basit “sıfır” kuvvet yaklaşımıyla çözülür.
Kaynaklar
- Milli Eğitim Bakanlığı (MEB) Lise Matematik Ders Kitapları
- OpenStax College Algebra (2021) – Üstel sorular ve çözümleri bölümü.
- Üniversite Hazırlık Yayınları – Temel Matematik ve Üslü Denklemler problem çözümleri.
Kısa Bir Özet
Bu problemde, 3 tabanlı üslü bir ifade ve 5 tabanlı üslü bir ifadenin bölümü 1 değerini veriyorsa, bu iki farklı ifadenin ancak sıfırıncı kuvvetleri yoluyla 1 olabileceği sonucuna vardık. Ardından (x + 2y - 4) = 0 ve (3x - y + 9) = 0 şeklinde bir sistem elde ettik. Bu sistemi çözerek x = -2 ve y = 3 bulduk. Sonuç olarak x + y = 1 elde edilmiştir.