Verilen Problemi Çözme
Elimizde şu denklem var:
Bu tip problemlerde, üslü ifadelerin çözümünde bir ifadenin 1 eşit olması için üstel ifadelerin sıfır olması gerekir. Bunu kullanarak problemi çözebiliriz.
1. Temel Çıkarım
Bir kesrin sonucunun 1 olması için, kesirin payı ve paydası eşit olmalıdır.
Bu durumda şu eşitliği yazarız:
Fakat 3 tabanı ve 5 tabanı farklı olduğu için bu eşitlik yalnızca her iki üstel değerin sıfır olması durumunda sağlanabilir.
2. Üstel Değerlerin Sıfır Olması Koşulu
Aşağıdaki iki denklem yazılır:
ve
3. İki Bilinmeyenli Denklem Sistemini Çözme
Birinci Denklem:
Buradan:
İkinci Denklem:
x = 4 - 2y değerini yerine koyarak:
y değerini yerine koyarak x'i bulalım:
4. x + y Hesaplama
Sonuç
Verilen şartları sağlayan çözüm,
olarak bulunur.
Cevap: 1
@username
Soru:
x ve y birer tam sayı olmak üzere,
olduğuna göre, x + y kaçtır?
Cevap:
Kesrin 1’e eşit olabilmesi için, paydaki ve paydaydaki üs ifadelerinin tabanları farklı olduğundan (3 ve 5), üslerin her ikisinin de sıfır olması gerekir. Yani:
-
3’ün üssü olan ifadenin sıfır olması:
$$x + 2y - 4 = 0 \implies x + 2y = 4$$ -
5’in üssü olan ifadenin sıfır olması:
$$3x - y + 9 = 0 \implies 3x - y = -9$$
Bu iki denklem sistemini çözelim:
• Birinci denklemden x’i çekelim:
x = 4 - 2y
• İkinci denklemde x yerine (4 - 2y) yazalım:
$$3(4 - 2y) - y = -9$$
$$12 - 6y - y = -9$$
$$12 - 7y = -9$$
$$-7y = -9 - 12$$
$$-7y = -21$$
$$y = 3$$
• y = 3 değerini birinci denklemde yerine koyarak x’i bulalım:
x + 2(3) = 4
x + 6 = 4
x = -2
Bu durumda,
$$x + y = -2 + 3 = \boxed{1}$$
@username
x ve y birer tam sayı olmak üzere, \frac{3^{x+2y-4}}{5^{3x-y+9}} = 1 olduğuna göre x+y kaçtır?
Cevap:
Aşağıda bu üslü denklemin çözümünü, ilgili temel kavramları, çeşitli kontrol ve düşünme yöntemlerini ve kapsamlı açıklamaları bulabilirsiniz. Amacımız, üslü denklemlerde nasıl bir strateji izlemeniz gerektiğini detaylı bir şekilde göstermek ve konuyu derinlemesine anlamanızı sağlamaktır. Lütfen her adımı dikkatle inceleyerek ilerleyiniz. Ayrıca yazının sonunda konuyu özetleyen bir tablo da yer almaktadır.
Üslü Denklemlere Giriş
Üslü denklemler, bir veya birden fazla değişkenin üs olarak yer aldığı özel bir denklem türüdür. Matematikte sıklıkla karşımıza çıkan bu denklemleri çözmek için genellikle:
- Aynı tabanları karşılaştırma,
- Taban dönüştürme (örneğin 2^3 = 8 gibi),
- Her iki tarafı logaritma alma,
- Türevsel veya mantıksal yaklaşım,
- Üslerin eşitlenmesi,
- Sayıların 1 olma durumundan faydalanma (tabanlar farklı ise ve sonuç 1 ise üssün 0 olması gibi),
gibi yöntemler uygulanır. Bu soruda, 3 ve 5 gibi farklı tabanlara sahip iki üslü ifadenin oranının 1 olması durumu söz konusudur. Dolayısıyla inceleyeceğimiz temel strateji, “Bölüm 1 ise pay ve payda birbirine eşittir” mantığına dayanmaktadır.
Problemin İncelenmesi
Problem şunu söylüyor:
Temel olarak bölümün 1 olması, pay ile paydanın birbirine eşit olduğu anlamına gelir:
- \displaystyle \frac{\text{Pay}}{\text{Payda}} = 1 \implies \text{Pay} = \text{Payda}.
Dolayısıyla,
Şimdi, 3^{\alpha} = 5^{\beta} gibi bir ifadede \alpha ve \beta birer tam sayı ise, bu denklemin sağlanabilmesi için genellikle şu mutlak yaklaşım geçerlidir:
- 3 ve 5, birbirinden farklı asal tabanlardır ve hiçbir tam sayı üssünde bu iki farklı taban aynı değerde olamaz.
- Bu eşitliği yalnızca 3^0 = 5^0 = 1 değeri sağlayabilir.
Bu gözlem, üslü denklemler dünyasında çok kritik bir noktadır: 3 ve 5 asaldır, dolayısıyla 3^\alpha = 5^\beta denkliği \alpha \neq 0 veya \beta \neq 0 iken sağlanamaz. Ancak \alpha = 0 ve \beta = 0 olduğunda her iki taraf 1 değerini verir ve eşitlik sağlanır.
Bu problemde de durum tam olarak budur. O halde:
ve
olmak zorundadır. Bu iki denklemden x ve y değerlerini bulmamız gerekiyor.
Adım Adım Çözüm
1. Denklem Sistemi Elde Etme
Az önce belirttiğimiz üzere, pay = payda olması için aşağıdaki koşulların sağlanması gerektiğini gördük:
- Üst x + 2y - 4 = 0.
- Üst 3x - y + 9 = 0.
Bu iki denklem birlikte bir lineer denklem sistemi oluşturur.
2. Birinci Denklemi Düzenleyelim:
Denklem (1)
şeklindedir. Bunu
olarak yazabiliriz. Buradan istenirse aşağıdaki gibi x yalnız da bırakılabilir:
3. İkinci Denklemi Düzenleyelim:
Denklem (2)
şeklindedir. Düzenlediğimizde:
Bunu daha net görmek için
gibi yazabiliriz veya x ya da y yi tek başına bırakmak için farklı manipülasyonlar uygulayabiliriz. Ancak en pratik yol, ilk denkleme göre x i bulup ikinciye yerleştirmektir.
4. İlk Denklemdeki x Değerini İkinciye Yerleştirme
İlk denklemde
olarak bulmuştuk. Şimdi bu ifadeyi ikinci denklemde x gördüğümüz yere koyacağız:
-
İkinci denklem:
3x - y + 9 = 0. -
x = 4 - 2y değerini yerine koyarsak:
3(4 - 2y) - y + 9 = 0. -
İçeri dağıtalım:
12 - 6y - y + 9 = 0. -
Benzer terimleri birleştirelim:
12 + 9 - 6y - y = 0 \quad \Rightarrow \quad 21 - 7y = 0. -
Buradan:
-7y = -21 \quad \Rightarrow \quad y = 3.
5. y Değerini Bulduktan Sonra x Değerini Bulma
Bir önceki adımda y = 3 bulduğumuza göre, şimdi de x i hesaplayalım. İlk denklemden (veya istediğimiz denklemden) faydalanabiliriz:
- İlk denklem: x = 4 - 2y.
- y = 3 değerini yerine yazalım:x = 4 - 2 \times 3 = 4 - 6 = -2.
Dolayısıyla,
Çözümün Kontrolü
Elde ettiğimiz çözümü, ifadenin orijinal hâlinde de kontrol edebiliriz. Şu şekilde:
-
Üstleri Sıfırlama Mantığı:
-
x + 2y - 4 = -2 + 2(3) - 4 = -2 + 6 - 4 = 0.
Yani \displaystyle 3^{0} = 1. -
3x - y + 9 = 3(-2) - 3 + 9 = -6 - 3 + 9 = 0.
Yani \displaystyle 5^{0} = 1.
-
-
Dolayısıyla, pay = 3^0 = 1 ve payda = 5^0 = 1. Oran \frac{1}{1} = 1 elde edilir ve denklem sağlanır.
-
x + y:
- x + y = -2 + 3 = 1.
Bu şekilde çözüm doğrulanmış ve problemde istenen, “x + y kaçtır?” sorusuna 1 yanıtını almış olduk.
Konuyla İlgili Ek Bilgiler ve Derinlemesine Anlatım
1. Farklı Tabanlı Üslü Denklemler
3 ve 5 gibi farklı tabanlara sahip üslü ifadelerin toplanması veya bölünmesi durumunda, genellikle bu ifadelerin eşitlenmesi ancak belli başlı özel durumlarda mümkündür. Örneğin:
- 3^a = 5^b şeklinde bir denklem yalnızca a=b=0 ise sağlanır (tam sayılar için).
- Eğer denklemde logaritma kullanılabilseydi, \ln(3^a) = \ln(5^b) gibi bir ilişki kurar ve a \ln 3 = b \ln 5 sonucuyla karşılaşırdık. Tam sayılarda \ln 3 ile \ln 5 in orantılı olması mümkün değildir; ancak a = 0 ve b = 0 iken sağlanabilir.
2. Üslerin Sıfır Olması
Üs formundaki bir ifade 1 değerini veriyorsa, en yaygın ve basit çözüm üs = 0 olmasıdır. Örnekler:
- 7^0 = 1.
- (-4)^0 = 1.
- 0^0 ifadesi matematikte belirli bir tartışma konusu olsa da birçok uygulamada 0^0 = 1 kabul edilir; ancak bu problemde negatif veya sıfır taban gibi bir durum olmadığı için ayrıca tartışmaya gerek yoktur.
Bu problemde, \displaystyle 3^{x+2y-4} ve \displaystyle 5^{3x-y+9} in her ikisinin de 1 olması, en makul ve tek tam sayı çözümünü vermektedir.
3. Çözümün Eşsizliği
Gördüğümüz üzere x ve y nin tam sayı olması koşulunda, 3^{x+2y-4} = 5^{3x-y+9} = 1 olması, x+2y-4=0 ve 3x-y+9=0 gibi lineer bir sistem yaratır. Lineer sistemin tek çözümü belirli bir (x,y) çifti verdiğinden bu çözümün tek olduğu sonucuna varıyoruz.
4. Benzer Problemlere Yaklaşım
Benzer türde sorular, farklı tabanların eşitlenmesi veya bölünmesiyle 1 elde edilmesi gerektiği zaman sık sık karşımıza çıkar. Genel yaklaşım:
- Eğer üslü ifadelerden oluşan bir bölüm 1 değeri veriyorsa, ya pay = payda, ya da ilgili ifadelerin her biri 1’e (veya -1’e) eşit olabilir. Taban pozitif ve payda-pay pozitif olduğunda 1 değeri, üslerin 0 olmasıyla sağlanır.
- Eğer tabanlar çarpılarak 1 olma gibi bir durum istenseydi (örneğin 2^x \cdot 3^y = 1), o zaman da 2^x = \frac{1}{3^y} veya benzeri stratejiler uygulanır.
- Eğer tabanlar aynı olsaydı (örneğin 2^{x+3y}, 2^{2x-y} vb.) üsler direkt eşitlenebilir. Adımlar çok daha kolay olurdu. Buradaysa tabanlar 3 ve 5 olduğu için farklıdır.
5. Öğrenciler İçin Tavsiyeler
- Üslü denklemleri çözerken hem tabanlara hem üslere odaklanmalısınız.
- Herhangi bir üslü ifade bir tam sayı denkleminde 1’e eşit oluyorsa, üs genellikle 0 olabilir.
- Çözüm yollarını adım adım yazıp mantığınızı doğrulamanız hataları en aza indirir.
- Eğer bir denklemde \displaystyle \frac{A}{B} = 1 ise mutlaka A=B sonucunda ilerleyin.
- 3^a = 5^b ifadesiyle sıkça karşılaşabileceğiniz için, asal tabanların bu şekilde eşit olma ihtimalinin sadece üslerin 0 olmasıyla mümkün olduğunu aklınızda tutun.
Konunun Matematiksel Arka Planı ve Benzeri Örnekler
Daha geniş bir bakış açısından, a ve b pozitif tamsayılarsa, 3^a = 5^b denkleminin Prime Factorization (Asal Çarpanlara Ayırma) ilkesi uyarınca çözümsüz olduğu öne sürülebilir. Çünkü herhangi bir sayıyı asal çarpanlarına ayırdığımızda:
- 3^a nın asal çarpanları sadece 3’dür.
- 5^b nin asal çarpanları sadece 5’tir.
İkisi sadece 1 değeri üzerinden kesişebilir. Bu bakımdan problemde tam sayı kısıtı varsa ve pay/payı oran 1 ise, matematiksel olarak en basit ihtimal, pay = payda = 1 medyanın sağlandığı durumdan ibarettir.
Erken düzeyde öğrenciler şöyle bir hata yapabilir: “Acaba tabanları birbirine dönüştürebilir miyiz?” Ancak 3 ve 5 arasında böyle bir dönüşüm tam sayılarla mümkün değildir. Logaritma gibi araçlar kullansak dahi tam sayıda bir çözüm elde etmeyiz. Dolayısıyla sorularda 3 ve 5’in üsleri birbiriyle eşitlenecekse ve sonuç 1 ise çoğunlukla yukarıdaki mantık geçerlidir.
Detaylı Adımlar Tablosu
Aşağıdaki tabloda, denklem sistemini nasıl kurduğumuz ve çözdüğümüz adım adım özetlenmiştir:
| Adım | Matematiksel İşlem | Açıklama |
|---|---|---|
| 1 | Orijinal denklem: \frac{3^{x+2y-4}}{5^{3x-y+9}}=1 | Pay/Payda = 1 ise Pay = Payda. Dolayısıyla 3^{x+2y-4} = 5^{3x-y+9} yazılır. |
| 2 | 3 ve 5 farklı asallar | 3^a = 5^b nin sadece a=0, b=0 iken mümkün olduğunu belirleriz. |
| 3 | Üsleri sıfır eşitleme | x+2y-4=0 ve 3x-y+9=0 denklem sistemini elde ederiz. |
| 4 | Birinci denklem: x=4-2y | x + 2y - 4 = 0 denkleminden yola çıkarak x i yalnız bırakırız. |
| 5 | İkinci denklemde yerine koyma | 3x - y + 9=0 \implies 3(4-2y) - y + 9=0 ifadesiyle y yi bulmaya çalışırız. |
| 6 | Hesaplama | 12 - 6y - y + 9 = 0 \implies 21 - 7y=0 \implies y=3 |
| 7 | x i bulma | x=4-2(3)=4-6=-2 |
| 8 | Kontrol | x+2y-4 = -2 + 2(3) - 4 = 0 ve 3x-y+9 = 3(-2)-3+9=0; bu da 3^0=1 ve 5^0=1 i doğrular. |
| 9 | Sonuç | x+y=(-2)+3=1 |
Görüldüğü gibi dizi dizi ilerleyen bu işlemlerle sonuca ulaşmak oldukça sistematik bir süreçtir.
Kısa Özet
- Verilen: \displaystyle \frac{3^{x+2y-4}}{5^{3x-y+9}}=1.
- Sonuç: Bu ifade ancak \displaystyle 3^{x+2y-4}=5^{3x-y+9} olduğunda geçerlidir ve 3^a = 5^b nin tam sayı çözümü a=b=0 dur.
- Dolayısıyla x+2y-4=0 ve 3x-y+9=0 sistemini çözeriz.
- Bu lineer sistemden x=-2, y=3 elde edilir.
- İstenen: x+y = -2+3 = 1.
Sonuç ve Nihai Cevap
Yukarıdaki tüm açıklamalardan ve hesaplardan sonra, problemde sorulan “x + y kaçtır?” sorusuna eriştiğimiz sonuç:
x + y = 1.
Böylece, üslü bir denklem koşulu altında pay ve paydanın birbirine eşit olması, tabanların asal olması ve bu tabanlar arasındaki tek ortak noktanın 1 değeri (yani üssün 0 olması) olması bizlere tek ve kesin cevabı vermektedir.