Matematik 9.sınıf üslü ve köklü sayılar

YKS TYT
1

5 üssü 2x-4 eşittir 1/25 ise x kaçtır?

2

5 üssü 2x - 4 eşittir 1/25 ise x kaçtır?

Cevap:

Bu soruyu çözmek için üslü sayılar ile ilgili temel kuralları kullanmamız gerekiyor.

Sorunun Verisi:

$$ 5^{2x - 4} = \frac{1}{25} $$

Adım 1 – 1/25 ifadesini üslü bir şekle dönüştür

Biliyoruz ki:
$$ \frac{1}{25} = 25^{-1} $$
ve
$$ 25 = 5^2 $$ olduğuna göre:
$$ \frac{1}{25} = (5^2)^{-1} = 5^{-2} $$

Bu durumda eşitliği şu şekilde yazabiliriz:
$$ 5^{2x - 4} = 5^{-2} $$

Adım 2 – Tabanlar Aynı Olduğu İçin Üsleri Eşitle

Eğer tabanlar eşit ise üsler de birbirine eşit olmalıdır. Dolayısıyla:
$$ 2x - 4 = -2 $$

Adım 3 – Denklemi Çöz

Şimdi 2x - 4 = -2 denkleminden x'i bulalım:

  1. 2x - 4 = -2
    $$ 2x = -2 + 4 $$
    $$ 2x = 2 $$

  2. Her iki tarafı 2’ye bölelim:
    $$ x = \frac{2}{2} $$
    $$ x = 1 $$

Sonuç:

$$ x = 1 $$

Bu durumda sorunun doğru cevabı:
x = 1.

Eğer daha fazla sorunuz varsa çekinmeden sorabilirsiniz! :blush:

@username

3

5 üssü 2x-4 eşittir 1/25 ise x kaçtır?

Cevap:

Aşağıdaki adımları izleyerek denklemimizi çözelim:

  1. Denklemimiz:

    5^{2x - 4} = \frac{1}{25}

  2. Sağ taraftaki kesri üslü formda yazmak:
    25 sayısı, 5^2 olarak yazılabilir. Bu nedenle

    \frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}

  3. Üsleri eşitlemek:
    Denklem 5^{2x - 4} = 5^{-2} haline gelir. Taban aynı (5), üsler eşit olmalıdır:

    2x - 4 = -2

  4. Çözüm:

    2x - 4 = -2 \quad \Rightarrow \quad 2x = -2 + 4 \quad \Rightarrow \quad 2x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 1

Dolayısıyla, x = 1.

@akif_sahin

4

5 üssü (2x - 4) = 1/25 denkleminde x kaçtır?

Cevap:
Bu soruyu adım adım incelediğimizde, x = 1 sonucuna ulaşırız. Ancak bunu yalnızca “x=1” olarak belirtmek yerine, 9. sınıf düzeyinde üslü ifadelerin temel kurallarını hatırlayarak ve denklem çözüm yöntemlerini detaylıca anlatarak ilerlemekte fayda var. Aşağıdaki kapsamlı açıklama sayesinde üslü ifadelerin nasıl çözüldüğünü, benzer problemleri nasıl ele alacağınızı ve bu işlemlerle ilgili temel bilgileri öğrenebilirsiniz.

Üslü Sayılar Nedir?

Üslü sayılar, bir sayının kendisiyle belirli sayıda çarpılmasını kısaltmak için kullanılan matematiksel bir anlatımdır. Örneğin, bir taban (base) sayı a ve bir üs (exponent) sayı n olmak üzere,

a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n\ \text{kez}}

şeklinde tanımlanır.

  • Buradaki a sayıların “taban” (base) kısmını,
  • n ise “üs” (exponent) kısmını temsil eder.

Örnek:

  • 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8
  • 5^2 = 5 \times 5 = 25
  • (-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9
  • 10^1 = 10

Üslü ifadeler, özellikle sayıları hızlı bir biçimde büyütmek ya da küçültmek için kullanılır. Bu tür işlemler 9. sınıf “Üslü ve Köklü Sayılar” ünitesinin önemli parçalarından biridir.

Üslü Sayıların Temel Özellikleri

Üslü sayılarla ilgili çok sayıda kural bulunur; bu kuralları kavramak, üslü denklemlerin çözümünde oldukça işe yarar. Aşağıda temel kuralların bir özetini bulabilirsiniz:

  1. Tabanlar Çarpılırken:
    Aynı tabana sahip iki üslü sayıyı çarparken, üsler toplanır.

    a^m \times a^n = a^{m+n}

    Örnek: 2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128

  2. Tabanlar Bölünürken:
    Aynı tabana sahip iki üslü sayı bölünürken, üsler birbirinden çıkarılır.

    a^m \div a^n = a^{m-n}

    Örnek: 3^5 \div 3^2 = 3^{5-2} = 3^3 = 27

  3. Üslerin Üzeri:
    Bir üslü ifadenin üzerinde başka bir üs olduğunda, bu üsler çarpılır.

    (a^m)^n = a^{m \times n}

    Örnek: (5^2)^3 = 5^{2 \times 3} = 5^6

  4. Sıfırıncı Üs:

    a^0 = 1 \quad (a \neq 0)

    Bu kural, taban sıfır olmadığı sürece geçerlidir.

  5. Negatif Üs:
    Negatif üs, ilgili sayının payda ile payının “yer değiştirmesi” anlamına gelir. Yani,

    a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0)

    Örnek: 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}

  6. Kesirli (Rasyonel) Üs:
    Rasyonel üs, köklü ifade anlamına gelir.

    a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}

    Örnek: 16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4

Bu kuralların tamamı, hem üslü ifadelerle ilgili temel alıştırmalar hem de üslü denklemleri çözerken başvuracağınız temel yapı taşlarını oluşturur.

Üslü Denklemler ve Çözüm Adımları

Üslü denklemler, değişkenin üs kısmında yer aldığı denklemlerdir. Daha net biçimde:

a^x = b

türü bir denklemde, x (değişken) üs olarak karşımıza çıkar. Genelde bu denklemleri şu yöntemlerle çözeriz:

  1. Her İki Tarafın Tabanını Aynı Yapma:
    Eğer mümkünse, sol ve sağ taraftaki sayıları aynı tabanda ifade ederiz. Ardından üsleri birbirine eşitleriz.
    Örnek: 2^x = 8 eşitliğinde, 8 sayısını 2^3 olarak ifade edebiliriz. Dolayısıyla:

    2^x = 2^3 \implies x = 3

  2. Logaritma Yöntemi:
    Eğer tabanları aynı yapmak pratik olarak mümkün değilse, logaritma kullanarak denklem çözümü yapılır. 9. sınıf müfredatının ilk konularında logaritma genelde kapsam dışında olduğu için, genellikle “tabanları aynı yapma” yöntemi bu seviyede daha çok tercih edilir.

  3. Negatif Üsleri ve Kesirli Üsleri Tanıma:

    • Eğer denklemde negatif üs görürsek, \displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n} kuralıyla çözüm yapabiliriz.
    • Kesirli üslerle karşılaşırsak, bunların kök ifadelerine denk olduğunu hatırlarız.

Verilen Soru: 5^(2x - 4) = 1/25

Sorunun en önemli noktası, eşitliğin sağ tarafında bir paydanın bulunmasıdır. Bu da bize negatif veya kesirli üs kuralını hatırlatır. Şimdi adım adım ilerleyelim:

1. Sağ Tarafı Aynı Taban Olarak Yazma

Sağ taraftaki sayı \frac{1}{25} şeklindedir. 25 sayısının 5’in karesi olduğunu biliyoruz:

25 = 5^2

Dolayısıyla

\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}.

Yani denklemi,

5^{2x - 4} = 5^{-2}

şeklinde yeniden yazabiliriz. Burada, her iki tarafı da taban “5” olacak şekilde ifade ettik.

2. Üsleri Birbirine Eşitleme

Aynı taban (5) kullanıldığına göre, üsleri doğrudan birbirine eşitleyebiliriz:

2x - 4 = -2.

3. Denklemi Çözme

Bu artık bir birinci dereceden denklem hâline gelir. Öyleyse çözelim:

  1. Denklem:

    2x - 4 = -2

  2. Kat sayılarla düzenleme:

    2x - 4 + 4 = -2 + 4
    2x = 2

  3. $x$’i bulma:

    x = \frac{2}{2} = 1

4. Çözümün Kontrolü

x=1 bulunduğunda, sol tarafı yerine koyup kontrol edelim:

  • 2x - 4 = 2 \cdot 1 - 4 = 2 - 4 = -2
  • Dolayısıyla sol tarafta 5^{2x-4} ifadesi, 5^{-2} oluyor.
  • 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}.

Sağ taraf da \frac{1}{25} olduğuna göre, çözüm doğru.

Böylelikle kesin olarak x=1 değerine ulaşırız.

Konuyla İlgili Daha Geniş Bilgiler: Üslü İfadeler ve Denklem Çeşitleri

  1. sınıf “Üslü ve Köklü Sayılar” konusuna hakim olabilmek için genel olarak aşağıdaki maddelere dikkat etmek gerekir:

  2. Pozitif ve Negatif Tabanlar:

    • Taban negatif değer alıyorsa, üssün çift ya da tek olma durumuna göre sonucun işareti değişebilir. Ancak bu soru özelinde taban pozitiftir (5).

  3. Rasyonel Üsler (Kesirli Üsler):

    • a^{m/n}, $\sqrt[n]{a^m}$’ye eşittir. Bu tür ifade gerektiren bir durum burada yoktur ama konuyu genellikle 9. sınıfta öğreniriz.

  4. Köklü İfadelerle Üslü İfadeleri İlişkilendirme:

    • “Köklü Sayılar” ifadesiyle, \sqrt{a} veya \sqrt[n]{a} gibi durumlar da sıklıkla üslü sayılarla ilişkilidir. Örneğin, \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}.

  5. Üslü Denklemlerde Tabanları Aynı Yapma Stratejisi:

      1. sınıfta, logaritmadan önce (hatta logaritmayı öğrenmeye gerek kalmadan), bir sayıyı 2, 3, 5 gibi yaygın tabanlık sayıların üstü şeklinde yazabiliyorsanız, denklem çözümü büyük oranda kolaylaşır.

Üslü Sayılar Kuralları – Özet Tablo

Aşağıdaki tablo, üslü sayılarla ilgili sık kullanılan kuralların kısa bir özetini içerir:

Kural Örnek Açıklama
1. Aynı Tabanlı Çarpma a^m \cdot a^n = a^{m+n} Tabanlar aynı ise üsler toplanır.
2. Aynı Tabanlı Bölme a^m \div a^n = a^{m-n} Tabanlar aynı ise üsler farkı alınır.
3. Üslerin Üzeri (a^m)^n = a^{mn} Üsler çarpılır.
4. Sıfırıncı Üs a^0 = 1 (eğer a \neq 0) Taban sıfır olmayan her sayı, 0. üste eşitlenince 1 olur.
5. Negatif Üs a^{-n} = \frac{1}{a^n} (eğer a \neq 0) Negatif üs, çarpmayı bölme formunda gösterir.
6. Rasyonel (Kesirli) Üs a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} Kesirli üsler, köklü bir ifadeye karşılık gelir.
7. Farklı Tabanlar Aynı İfade Elde Etme (Çevirme) 25 = 5^2, 8 = 2^3 vb. Paydada veya çarpımda yer alan sayıları ortak bir tabanda göstermek önemli.

Bu tablo, 9. sınıf düzeyindeki üslü ifadelerle ilgili hemen hemen tüm kritik kurallara özet biçimde yer verir.

Bu Konuyla İlgili Bazı Ek Örnekler

Örnek 1: 2^{2x} = 16 denkleminde x kaçtır?

  • Adım 1: 16 = 2^4 şeklinde yazılabilir.
  • Adım 2: O hâlde denklem 2^{2x} = 2^4 halini alır.
  • Adım 3: Üsleri eşitleriz: 2x = 4.
  • Adım 4: x=2 bulunur.

Örnek 2: 3^{x+1} = \frac{1}{9} eşitliğini çözünüz.

  • Sağ tarafta \frac{1}{9} yazar. 9 = 3^2 olduğuna göre \frac{1}{9} = 3^{-2}.
  • Denklem, 3^{x+1} = 3^{-2} haline gelir.
  • Üsleri eşitleriz: x+1 = -2 \implies x = -3.

Örnek 3: 8^{x} = 2^3 denkleminde x kaçtır?

  • Burada tabanlar doğrudan aynı değil gibi görünebilir. Ancak 8 = 2^3.
  • 8^x = (2^3)^x = 2^{3x} halini alır. Sağ tarafta 2^3 var.
  • (2^3)^x = 2^3 \implies 2^{3x} = 2^3
  • Üsler eşit: 3x = 3 \implies x=1.

Bu örneklerde de görebileceğiniz gibi, üslü denklemlerin çözümündeki en büyük strateji, elbette aynı tabanda yazmaktır. Bu kuralı doğru uyguladığınızda çözüm oldukça basitleşir. Tabanı negatif ya da kesirli olduğunda biraz daha dikkat gerekir; ancak temel mantık yine aynıdır.

5^(2x - 4) = 1/25 Sorusunun 9. Sınıf Üniteleriyle İlişkisi

  • Bu soru, “Üslü Sayılar” konusunun basit ama önemli bir örneğini oluşturur.
    1. sınıf matematik konuları arasında yer alan “Üslü ve Köklü Sayılar” ünitesinde, sıkça bu tip denklemleri dönüştürme yöntemleri ve ilgili kurallar üzerine alıştırmalar yapılır.
  • Öğrenciler, tabanları eşitleyerek veya gerektiğinde negatif üs kuralını kullanarak sonuca ulaşmayı öğrenirler.

Adım Adım Çözümün Özeti

  1. Verilen Denklem:

    5^{2x - 4} = \frac{1}{25}

  2. Sağ Tarafı Yeniden Yazma:
    \frac{1}{25} yerine 5^{-2} yazılır. Çünkü 25 = 5^2 olduğundan,

    \frac{1}{5^2} = 5^{-2}.

  3. Denklemin Yeni Hâli:

    5^{2x - 4} = 5^{-2}.

  4. Üslerin Eşitlenmesi:

    2x - 4 = -2.

  5. Basit Denklem Çözümü:

    • 2x - 4 = -2
    • 2x - 4 + 4 = -2 + 4 \implies 2x = 2 \implies x = 1.

  6. Sonuç:

    x = 1.

  7. Kontrol:

    • Sol tarafta 5^{2(1) - 4} = 5^{2 - 4} = 5^{-2} = \frac{1}{25}.
    • Sağ tarafta da \frac{1}{25} var. Eşitlik sağlandığından x=1 geçerlidir.

Bu adımlar, düzgün bir mantık silsilesi içinde ilerleyerek, denklemi doğru şekilde çözüp yanıtı almamızı sağlar.

Ayrıntılı Bakış ve Dikkat Noktaları

  1. Negatif Üslerin Anlamı: Soruda \frac{1}{25} sayısının 5^{-2} olduğunun bilinmesi, negatif üs kavramının pekişmesi için önemlidir. Pozitif üsler sayıyı büyütürken, negatif üs olduğunu gördüğümüzde sayının payda kısmına geçtiğini unutmamalıyız.

  2. Temel Farkındalık: Pek çok öğrenci, “1/25” tarzı bir ifadeyi, “bir sayının negatif üssü” şeklinde görmeye alışana kadar hata yapabilir. Bu soruda “1/25” ifadesini gördüğünüzde, “Acaba 25 nasıl bir üst şeklinde yazılabilir, sonra 1/25 nasıl negatif üsle temsil edilir?” şeklinde düşünmelisiniz.

  3. Diğer Tabanlarda Kullanım: Taban 5 yerine 2, 3, 7 gibi sayılar olsaydı, yine benzer mantıkla ilerleyecektik. Önemli olan “eşitliğin sağ tarafını” aynı tabana dönüştürebilmektir.

  4. Rasyonel ya da Karmaşık Sayılar Değişkeni: 9. sınıf düzeyinde genelde “x” reel sayılar arasından seçilir. İleri matematik konularında, taban ya da üs karmaşık sayılar da olabilir; ancak bu düzeyde real ve pozitif tabanlarda, integer veya rasyonel sonucuna ulaşmak daha yaygındır.

  5. Sık Karıştırılan Konular: Bazı öğrenciler, negatif üs veya kesirli üsleri anlama konusunda zorlanır. Örneğin, a^{-3} ifadesini \frac{-1}{a^3} gibi algılamak yanlıştır. Negatif üs, yalnızca tabanın paydada yer alması demektir ve “-1” gibi bir çarpan eklenmez. Yani

    a^{-3} \neq \frac{-1}{a^3}, \quad \text{doğrusu} \quad a^{-3} = \frac{1}{a^3}.

  6. Kök ve Üs İlişkisi: Bazı sorularda karşımıza \sqrt{25} = 5 gibi basit köklü ifadeler de çıkar. Bunu unutmamalıyız ki \sqrt{25} = 5 = 25^{\frac{1}{2}}. Bu soru özelinde kök ifadesi pek kullanılmadı; ancak 9. sınıf köklü sayılar konusuyla sık sık bağlantılıdır.

Ders İçi ve Ödev Performansına Katkı

  • Bu tip soruları çözerken, üslü sayı kurallarını özümsemiş olmanız çok büyük bir avantaj sağlar.
  • Ayrıca, benzer şekilde “kök alma” (köklü sayılar) konusuna girdiğinizde de, negatif üslerin kökle ilişkisinden dolayı bu bilgiler işinize yarayacaktır.
  • Test sorularında veya yazılı sınavlarda, denklemlerin her iki tarafının ortak bir tabanda yazılması ve üslerin eşitlenmesi en temel yaklaşımdır.
  • Böyle bir soruya maruz kaldığınızda, ilk adımınız “bu sayıları ortak bir tabana dönüştürebilir miyim?” şeklinde olmalıdır.

Daha Gelişmiş Uygulamalar ve İpuçları

  1. Basamak Atlayarak Hızlı Çözüm: Alıştırmalarla deneyim kazandıkça, \frac{1}{25} gördüğünüz anda bunun 5^{-2} olduğunu hızla kavrayabilirsiniz. Kısa yoldan “$2x - 4 = -2$” diyerek denkleme geçebilirsiniz.

  2. Farklı Taban-Farklı Dönüşüm: Eğer soruda 1/32 gibi bir ifade olsaydı, bilirdiniz ki 32 = 2^5, dolayısıyla 1/32 = 2^{-5}. 9. sınıfta belki 2, 3, 4, 5, 6, 7 gibi küçük tabanları içeren pek çok sayı (8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49 vb.) dönüştürerek çözüm yapma alıştırması yapacaksınız.

  3. Sıkça Çıkan Hatalar:

    • Tabanları karıştırma (örnek: 25’i 5’e değil 6’ya bağlamaya çalışma gibi).
    • Negatif üssü yanlış yorumlama.
    • Üsleri eşitledikten sonra denklemi yanlış çözme (örneğin 2x - 4 = -2 ifadesinde hatalı işlem yapmak).

  4. Logaritmanın Temelleri: Şu anda 9. sınıf düzeyinde logaritma tümüyle öğretilmese de, üslü denklemlerin çözülebilmesinde logaritmaların nasıl devreye girdiğini ileri seviyelerde göreceksiniz. Yine de bir fikir vermek gerekirse:

    5^{2x-4} = 25

    gibi bir denklemde, “logaritma” alarak da çözüm yapılabilir. Ancak tabanları dönüştürmek varken, o daha kolay yöntemdir.

Sonuç ve Özet

  • Soruda 5^{2x - 4} = \frac{1}{25} eşitliği verilmiştir.
  • \frac{1}{25} ifadesini 5^{-2} şeklinde yazarız.
  • Dolayısıyla denklemimiz 5^{2x-4} = 5^{-2} olur.
  • Buradan 2x - 4 = -2 denklemi elde edilir.
  • Çözüm adımları sonucu x = 1 bulunur.

Bu dört temel adım, 9. sınıf “Üslü Sayılar” konusunun tipik bir uygulamasıdır. Aynı yöntemi, benzer tüm üslü denklemlerde de kullanabilirsiniz. Yapmanız gereken tek şey, lütfen daima 1/25, 1/9, 8, 16, 27, 32 gibi sayıları “hangi tabanın kaçıncı üssü olarak yazabilirim?” sorusunu kendinize sormaktır. Yanıtını bulduğunuzda, işler çok kolaylaşacaktır.

Kaynaklar

Bu kaynaklar, üslü sayılarla ilgili daha fazla örnek görmek, alıştırma yapmak ve konuyu pekiştirmek için başvurabileceğiniz güvenilir referanslardan bazılarıdır.

Genel Bir Özet (Kısa Versiyon)

  • Denklem: 5^{2x - 4} = \frac{1}{25}
  • Dönüştürme: \frac{1}{25} = 5^{-2}
  • Eşitleme: 5^{2x - 4} = 5^{-2} \implies 2x - 4 = -2
  • Çözüm: 2x = 2 \implies x = 1

Bu kadar basit! En kritik nokta, sağ taraftaki \frac{1}{25} ifadesini 5^{-2} olarak görmek ve ardından üsleri eşitlikle karşılaştırmaktır.

@akif_sahin