Vvbnjj
Bu havuz problemine ilişkin çözümü detaylı bir şekilde yapalım:
Problem Özeti
Boş bir havuzu, aynı anda açılan 8 musluk toplamda 15 saatte dolduruyor. Ancak 3 musluk bozuluyor ve artık 5 sağlam musluk çalışıyor. Bu durumda, sağlam musluklar birlikte çalıştığında havuz kaç saatte dolar?
Çözüm
Bu tür sorular, ters orantı mantığına dayanır. Muslukların sayısı azaldığında, havuzu doldurma süresi uzar.
Adım 1: Bir musluğun doldurma kapasitesini bul
8 musluğun havuzu 15 saatte doldurduğunu biliyoruz. Bu durumda, bir musluk havuzun 1/8 kapasitesini 15 saatte doldurur. Başka bir ifadeyle:
\text{Bir musluk 1 saatte havuzun doldurma oranı:} \frac{1}{8 \times 15} = \frac{1}{120}
Adım 2: 5 musluğun doldurma oranı
5 sağlam musluğun bir saatte doldurma oranını bulalım:
\text{5 musluğun toplam oranı} = 5 \times \frac{1}{120} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24}
Adım 3: Havuzun tamamen dolma süresi
Havuzun tamamı 1 birim olduğuna göre, sağlam musluklar havuzu şu sürede doldurur:
\text{Dolma Süresi} = \frac{1}{\frac{1}{24}} = 24 \text{ saat}.
Sonuç
3 musluk bozulduktan sonra, havuzdaki sağlam 5 musluk havuzu 24 saatte doldurur.
Eğer başka sorularınız veya ek açıklama ihtiyacınız varsa, çekinmeden sorabilirsiniz! 
@username
Soru: “Boş bir havuzun tamamını, aynı anda açılan 8 musluk 15 saatte doldurmaktadır. Bu musluklardan 3 tanesi bozulduğuna göre sağlam muslukların tümü aynı anda açıldığında boş havuzun tamamı kaç saatte dolar?”
Cevap:
• 8 musluğun 15 saatte doldurduğu bir havuz toplamda “8 × 15 = 120 musluk-saat” iş gerektirir.
• Dolayısıyla her bir musluk, havuzu tek başına 120 saatte doldurur.
• 3 musluk bozulduğunda geriye 5 sağlam musluk kalır.
• 5 musluk, havuzu 120 ÷ 5 = 24 saatte doldurur.
@username
Boş bir havuzun tamamını, aynı anda açılan 8 musluk 15 saatte doldurmaktadır. Bu musluklardan 3 tanesi bozulduğuna göre sağlam muslukların tümü aynı anda açıldığında boş havuzun tamamı kaç saatte dolar?
Cevap:
Aşağıdaki adımlarda, muslukların sayısıyla havuzu doldurma süreleri arasındaki ilişkiyi inceleyerek soruyu çözmüş olacağız. Bu tür problemlerde genellikle “doğru ve ters orantı” konuları kullanılır. Burada, havuzu dolduran muslukların sayısı arttıkça doldurma süresi azalır. Bu durum, ters orantı olarak adlandırılan bir ilişkidir. Soruda 8 musluk çalıştığında havuzu 15 saatte doldurabiliyorken, 3 musluk bozulduğunda geriye 5 sağlam musluk kalır. Bu noktada, 5 musluğun havuzu doldurma süresi hesaplanacaktır.
Aşağıda hem temel kavramları hem de adım adım çözümü bulabilir, ardından önemli noktaları ve tabloyu inceleyebilirsiniz.
1. Doğru ve Ters Orantı Kavramı
-
Doğru Orantı: Bir nicelik artarken, ona bağlı olan diğer nicelik de aynı oranda artıyorsa doğru orantıdan söz edilir. Örneğin, bir arabanın yolculuk süresi sabitse, hızı arttıkça aldığı mesafe de doğrusal olarak artar.
-
Ters Orantı: Bir nicelik artarken, diğer nicelik aynı oranda azalıyorsa ters orantı söz konusu olur. Bu problemde de musluk sayısı arttığında doldurma süresi azalacaktır. Çünkü musluklar birlikte çalışarak havuzu daha kısa sürede doldurur.
Dolayısıyla, bir havuzu dolduran musluk sayısı ile havuzu doldurmak için gereken süre ters orantılıdır.
2. Problemdeki Verilerin İncelenmesi
- 8 musluk beraber çalıştığında, havuz 15 saatte dolmaktadır.
- Aynı musluklardan 3 tanesi bozuksa, geriye 5 musluk kalır.
- Bu 5 musluk birlikte açıldığında havuzun tamamını kaç saatte dolduracakları sorulmaktadır.
Ters orantıyı anlamak için önce her bir musluğun “dakikadaki” veya “saatteki” doldurma oranını hesaplayabilir ya da doğrudan mevcut orantı kurallarını uygulayabilirsiniz.
3. Adım Adım Çözüm
Adım 1: 8 Musluğun Bir Saatte Doldurduğu Havuz Miktarı
8 musluk havuzu 15 saatte doldurduğuna göre, bu 8 musluk ortaklaşa 1 saatte havuzun $\tfrac{1}{15}$’ini doldurur.
Başka bir ifade ile şu şekilde de düşünebiliriz:
- Havuzun tamamı: 1 birim (ya da 100%).
- 8 musluk tarafından 15 saatte dolma = 1 birim kapasiteli havuz.
- 1 saatte dolan miktar = \frac{1}{15} birim.
Adım 2: Bir Musluğun Bir Saatteki Doldurma Oranı
Burada muslukların her birinin aynı debide (aynı hızda) su akıttığı varsayılır. 8 musluk ortaklaşa 1 saatte \tfrac{1}{15} havuz dolduruyorsa, 1 musluk 1 saatte \tfrac{1}{15 \times 8} = \tfrac{1}{120} havuz dolduracaktır.
Adım 3: 5 Musluğun Bir Saatteki Doldurma Oranı
Artık sadece 3’ü bozuk olduğuna göre 5 musluk sağlam kalmıştır. Her musluk 1 saatte \tfrac{1}{120} havuz dolduruyorsa, 5 musluk birlikte 1 saatte
5 \times \frac{1}{120} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24}
havuz doldurur. Yani, 5 musluğun 1 saatlik toplam doldurma miktarı havuzun $\tfrac{1}{24}$’üdür.
Adım 4: Havuzun Tamamını Ne Kadar Sürede Doldururlar?
5 musluk 1 saatte \tfrac{1}{24} havuz dolduruyorsa, tamamını (1 birim havuz) doldurmak için gereken süre:
\text{Gerekli süre} = \frac{1}{\frac{1}{24}} = 24 \text{ saat}
Buna göre, 5 sağlam musluğun tümü aynı anda açıldığında, havuz 24 saatte dolar.
4. Orantı Yoluyla Alternatif Çözüm
Bu tip sorularda sıklıkla “musluk sayısı ile süre arasında” ters orantı kurulur. Ters orantı için basitçe şu denklem kullanılabilir:
m_1 \times t_1 = m_2 \times t_2
Burada:
- m_1: İlk durumda musluk sayısı (8)
- t_1: İlk durumda gereken süre (15 saat)
- m_2: İkinci durumda musluk sayısı (5)
- t_2: İkinci durumda gereken süre (bilinmiyor)
Denklemimizi kuralım:
8 \times 15 = 5 \times t_2
120 = 5 \times t_2
t_2 = \frac{120}{5} = 24
Aynı sonuca, ters orantı formülüyle de 24 saat olarak ulaşırız.
5. Önemli Notlar ve Kavramlar
- Ters Orantı: Musluk sayısı \uparrow → Doldurma süresi \downarrow (azalır).
- Bir Musluğun Kapasitesi: Bir havuz yavaşça da olsa tek muslukla da dolabilir; ancak bu süre, tüm muslukların açılması durumunda gerekli süreden çok daha uzun olur.
- Eşit Debi Varsayımı: Soruda tüm muslukların aynı oranda (eşit debide) su akıttığı varsayılır. Gerçekte farklı musluklar farklı debilerde olabilir, ancak problemde bu tür bir bilgi olmadığı için her musluğun debisi eşit kabul edilir.
6. Tablo ile Gösterim
Aşağıdaki tabloda, musluk sayısı ve doldurma süresi arasındaki ilişkiyi özetleyebilirsiniz:
| Durum | Musluk Sayısı (adet) | Doldurma Süresi (saat) | Açıklama |
|---|---|---|---|
| Başlangıç (Verilen) | 8 | 15 | 8 musluk, 15 saatte 1 havuz (tümü) dolduruyor |
| İkinci Durum | 5 | ? (Aranıyor) | 3 musluk bozuk, 5 musluk çalışıyor |
| Hesaplanan Sonuç | 5 | 24 | 5 musluk 24 saatte 1 havuzu doldurur (geri kalan sağlam musluklar aynı anda açılınca) |
Tabloda görüldüğü üzere, muslukların sayısı 8’den 5’e düştüğünde, doldurma süresi de 15 saatten 24 saate yükselmiştir. Bu yükseliş, ters orantının tipik bir örneğidir.
7. Sonuç ve Özet
- Verilen: 8 musluk → 15 saat.
- Aranan: 5 musluk → ?
Bir musluğun doldurma oranını çıkarabilir veya doğrudan ters orantı formülünü (m_1 t_1 = m_2 t_2) kullanabilirsiniz. Burada hesaplanan sonuç, 5 musluğun havuzu 24 saatte dolduracağı şeklindedir. Dolayısıyla bozuk olan 3 musluk devreden çıktığında, havuz daha uzun sürede (24 saat) dolmaya başlayacaktır.
Bu problem, “doğru ve ters orantı” konusunun en klasik örneklerinden birisidir. Genel olarak;
- Musluk sayısı, havuzu doldurma süresiyle ters orantılıdır.
- 8 musluğun 15 saatte doldurduğu bir havuzu, daha az muslukla doldurmak istersek mutlaka ek süre gerekecektir.
- 3 musluk bozulduğu için 5 musluk kaldığında sabit debi kuralıyla (her musluk aynı miktarda su akıtıyor) hesap yapıldığında elde edilen 24 saat, sorunun nihai sonucudur.
Kısa Özet: 8 musluk havuzu 15 saatte dolduruyorsa, 5 musluk aynı işi 24 saatte yapar.
@username