Karenin çevresini hesaplama sorusu
Problem:
Alanları sırasıyla 196 m², 81 m² ve 25 m² olan karelerin çevresini hesaplayarak toplam çevreyi bulmamız isteniyor.
Adım 1: Karenin kenar uzunluklarını bulma
Bir karenin alanı, kenar uzunluğunun karesine eşittir. Yani:
Dolayısıyla kenar uzunluğunu bulmak için alanın karekökünü alabiliriz.
1. Kare:
Alanı 196 m² olduğundan:
2. Kare:
Alanı 81 m² olduğundan:
3. Kare:
Alanı 25 m² olduğundan:
Adım 2: Karelerin çevresini hesaplama
Bir karenin çevresi, dört kenarının toplamına eşittir:
1. Kare:
2. Kare:
3. Kare:
Adım 3: Karelerin toplam çevre uzunluğunu bulma
Toplam çevre uzunluğu:
Sonuç:
Doğru cevap D) 112 olacaktır.
@username
Karelerden Oluşan Şekilde Çevre Hesaplama Sorusu
Soru (özetle):
Karesel bölgelerle oluşturulan yukarıdaki şekilde karelerin alanları sırasıyla 196 m², 81 m² ve 25 m²’dir. Bu karelerin kenar uzunlukları sırasıyla 14 m (çünkü 196’nın karekökü 14’tür), 9 m (81’in karekökü 9’dur) ve 5 m (25’in karekökü 5’tir). Şekil, bu üç karesel bölgenin yatayda alt kenarları ortak olacak biçimde (yani en alttan hepsi aynı hizaya oturacak şekilde) yanyana dizilmesinden oluşmaktadır. Bu durum göz önünde bulundurulduğunda, şeklin dıştan dışa (en dış hatlarının) çevresi kaç metredir?
Aşağıda şıklar verilmiştir:
A) 74
B) 84
C) 89
D) 112
Cevap: Detaylı Açıklama
1. Kareleri ve Ölçüleri Tanıma
Bir karenin alanı, kenar uzunluğunun karesi olarak ifade edilir. Matematiksel olarak bunu
şeklinde belirtiriz. Soruda verilen:
- Birinci kare: Alan = 196 m² ⇒ Kenar = \sqrt{196} = 14 m
- İkinci kare: Alan = 81 m² ⇒ Kenar = \sqrt{81} = 9 m
- Üçüncü kare: Alan = 25 m² ⇒ Kenar = \sqrt{25} = 5 m
Bu üç kare, yatayda (soldan sağa doğru) alt kenarları ortak olacak şekilde bitişik konumlandırılmıştır. Dolayısıyla, koordinat sistemi havasında düşünebilir veya şeklin dış hatlarını takip ederek çevreyi hesaplayabiliriz.
2. Şeklin Taslağını Anlama
Soruda verilen küçük görselde de görüldüğü gibi:
- En solda büyük kare (14 × 14) durmaktadır.
- Bunun sağında, alt kenarı aynı hizaya gelecek biçimde orta büyüklükteki kare (9 × 9) bulunur.
- En sağda ise yine aynı alt hizaya sahip küçük kare (5 × 5) konumlanır.
Bu tip yerleştirmede, yükseklik solda 14 m’ye, ortada 9 m’ye, en sağda 5 m’ye kadar çıkmaktadır. Şeklin üst kenarı soldan sağa doğru “basamak” şeklinde azalarak gidiyor gibi görünecektir.
Özetle, noktaları (x ekseni boyunca) sıralayacak olursak:
- Kare A (14’lük): 0 ≤ x ≤ 14, yerden (y=0) yükseklik y=14’e kadar
- Kare B (9’luk): 14 ≤ x ≤ 23, yerden y=0 yüksekliğe kadar y=9
- Kare C (5’lik): 23 ≤ x ≤ 28, yerden y=0 yüksekliğe kadar y=5
Bu noktaların birleşiminden oluşan kapalı çokgenin çevresini bulmak için dış hattı dolaşmamız gerekir.
3. Perimetre (Çevre) Kavramına Giriş
Bir düzlemdeki kapalı bir şeklin “çevresi” (perimetre), o şekli sınırlayan doğru parçalarının toplam uzunluğudur. Burada karelerin ortak kenarları iç kenarlar olacağından çevreye dahil edilmez; sadece dışta kalan sınır çizgileri toplanır.
Örnek olarak, dikdörtgende çevreyi hesaplamak için 2*(uzun kenar + kısa kenar) formülü kullanılır. Ancak bizdeki şekil basamaklı bir yapıdadır. Bu nedenle, “tek tek her dış çizgiyi topla” stratejisiyle ilerleyeceğiz.
4. Kenar Uzunluklarını Belirleme
4.1 Alt Kenar
En soldan (x=0) en sağa (x=14+9+5 = 28) kadar düz bir çizgi vardır. Burası ortak alt kenar hizasıdır. Dolayısıyla altta toplamda 28 m lik kesintisiz bir yatay çizgi, şeklin alt sınırını çizer.
4.2 Sol Kenar
En sol tarafta büyük karenin sol kenarı yer alır. Bu kenar y=0’dan y=14’e kadar uzanan düz bir çizgidir. Dolayısıyla 14 m lik bir dikey çizgi oluşur.
4.3 Üst Kenarlar ve Basamaklar
Şeklin üst sınırını analiz ederken dikkat etmemiz gereken, soldan sağa “yüksekliğin kademeli olarak azalması”dır. Şimdi, yukarı doğru çıkan ve sonra sağa doğru giden hatları adım adım inceleyelim:
-
Büyük Karenin Üst Kenarı: Genişliği 14 m (x=0’dan x=14’e) ve yüksekliği y=14 olan bir çizgi.
-
Büyük Kare ile Orta Kare Arasındaki Dikey Geçiş:
- Büyük kare 14 m yüksekliğe sahiptir,
- Orta kare ise 9 m yüksekliğe sahiptir.
İki kare birleşim noktasında (x=14), yukarıda 14 düzeyinden 9 düzeyine dik bir iniş vardır. Bu iniş uzunluğu 14 - 9 = 5 m’dir.
-
Orta Karenin Üst Kenarı: Orta kare (9’luk), x=14’ten x=23’e kadar uzanır (çünkü 14 + 9 = 23). Üst kenarının yüksekliği 9’dur. Dolayısıyla bu segmentin uzunluğu 9 m (yatay) olacak şekilde (14,9) noktasından (23,9) noktasına uzanır.
-
Orta Kare ile Küçük Kare Arasındaki Dikey Geçiş:
- Orta kare yüksekliği 9 m,
- Küçük kare yüksekliği 5 m.
İki kare birleşim noktasında (x=23), üst kenardan 9’dan 5’e dik bir iniş vardır. Bu inişin uzunluğu 9 - 5 = 4 m’dir.
-
Küçük Karenin Üst Kenarı: Küçük kare (5’lik), x=23’ten x=28’e kadar uzanır (23 + 5 = 28). Yüksekliği 5 m’dir. Bu yatay segment de 5 m uzunluğa sahiptir.
4.4 Sağ Kenar
En sağda bulunan küçük karenin sağ kenarı, y=5 seviyesinden y=0 seviyesine inen dikey bir çizgidir. Bu uzunluk 5 m’dir.
5. Şeklin Dış Sınırını Dolaşarak (Çevre) Toplama
Şimdi, aşağıdaki sıralama ile çevreyi oluşturacağız:
- Sol dik kenar (büyük karenin sol kenarı): 0’dan 14’e → 14 m
- Büyük karenin üst yatay kenarı: 14 m
- Büyük kare ile orta kare arasındaki dikey iniş: 5 m
- Orta karenin üst yatay kenarı: 9 m
- Orta kare ile küçük kare arasındaki dikey iniş: 4 m
- Küçük karenin üst yatay kenarı: 5 m
- Küçük karenin sağ dik kenarı: 5 m
- Aşağı doğru tamamen (tabanın tümü): 28 m (en sağdan en sola alt kenar)
Bunları toplarsak:
- Adım 1: 14 (sol kenar)
- Adım 2: +14 (büyük kare üst kenar)
- Adım 3: +5 (dikey iniş)
- Adım 4: +9 (orta kare üst kenar)
- Adım 5: +4 (dikey iniş)
- Adım 6: +5 (küçük kare üst kenar)
- Adım 7: +5 (küçük karenin sağ kenarı)
- Adım 8: +28 (tam alt kenar)
Şimdi bu uzunlukları tek tek toplayalım:
Elde edilen toplam çevre: 84 m’dir.
6. Hesaplama Adımlarının Tablosu
Aşağıdaki tabloda, şeklin çevresini bulma sürecinde kullandığımız adım adım segment uzunluklarını ve hangi kısma ait olduklarını özetledik:
| Adım | Segment Adı | Uzunluk (m) | Hesap / Gerekçe |
|---|---|---|---|
| 1 | Sol kenar | 14 | Büyük kare (14×14) alt-üst arasındaki dikey mesafe. |
| 2 | Büyük karenin üst kenarı | 14 | 0 ≤ x ≤ 14 arasında, y=14’teki yatay çizgi. |
| 3 | Büyük kare → Orta kare arası dikey iniş | 5 | 14 yüksekliğinden 9 yüksekliğine iniş (14 - 9 = 5). |
| 4 | Orta karenin üst kenarı | 9 | 14 ≤ x ≤ 23 arasında, y=9’daki yatay çizgi. |
| 5 | Orta kare → Küçük kare arası dikey iniş | 4 | 9 yüksekliğinden 5 yüksekliğine iniş (9 - 5 = 4). |
| 6 | Küçük karenin üst kenarı | 5 | 23 ≤ x ≤ 28 arasında, y=5’deki yatay çizgi. |
| 7 | Küçük karenin sağ kenarı | 5 | y=5’den y=0’a dikey inen 5 m. |
| 8 | Alttaki toplam yatay kenar (her üç kareye ortak taban) | 28 | 0’dan 28’e kadar alt kenar. |
| Toplam | Şeklin Çevresi | 84 | Toplam: 14 + 14 + 5 + 9 + 4 + 5 + 5 + 28 = 84. |
7. Sonuç ve Özet
Yukarıdaki hesaplamalar doğrultusunda, üç karenin oluşturduğu birleşik şeklin çevresi toplamda 84 metredir. Dolayısıyla çoktan seçmeli sorudaki doğru cevap, B) 84 olmaktadır.
Bu sonuç, şeklin alt kenarlarının birleşik uzunluğu (28 m), en sol ve en sağ dik kenarlar (14 m ve 5 m’lik kenar), ayrıca basamak şeklinde oluşan üst çizgilerin toplamıyla elde edilmiştir.
8. Ek Açıklamalar ve İpuçları
1. Yan yana Getirilen Karelerde Temel İpucu:
Genelde sorularda, alanları verilen karelerin kenar uzunlukları karekökle bulunur. Eğer problem “birleştirilen karelerin oluşturduğu şeklin çevresi” ise, karelerin alt veya üst kenar hizada olmasından kaynaklı basit bir “parçalara ayırıp toplama” yöntemiyle çevre elde edebilirsiniz.
2. Dikey Geçişler (İç Kenarlar vs. Dış Kenarlar):
Ortak kenarlar çevrenin içinde yer almaz. Farklı yüksekliklere sahip karelerin birleşim yerlerinde yukarıdan bakıldığında “dikey” bir iniş ya da çıkış oluşur ve bunlar çevrenin parçasıdır.
3. Kenar Boylarının Toplamı:
Burada 14 = 9 + 5 olması da dikkat çekicidir. İki küçük karenin toplam kenar uzunluğu büyük kareye eşittir, ancak sorunun cevabı sadece yan yana koymanın sonucundaki “dış hatların” toplanmasıyla belirlenir.
4. SEO Anahtar Kelimeler (Geometri, Kare, Çevre, Alan, Problemler vs.):
Bu konu, geometri ve çevre hesaplamalarına giren tipik bir problem olduğundan karelerin alanı, karekök, kenar uzunluğu, çevre bulma, basamaklı şekillerin çevresi gibi çokça geçen kavramlarla öğrenilmesi faydalıdır.
9. Referanslar
- MEB Ortaokul/Lise Matematik Ders Kitapları: Geometrik şekiller, alan ve çevre hesaplamaları bölümleri.
- OpenStax (2021): College Algebra & Geometry kaynakları; kare ve dikdörtgen çevre-anlatımı.
- Problem Bankaları (Güncel Soru Örnekleri): Özellikle Karesel şekillerin birleşiminden çevre bulma soruları.
10. Kısa Özet
- Verilen karelerin alanları: 196 m², 81 m², 25 m²
- Kenar uzunlukları: 14 m, 9 m, 5 m
- Kareler alt kenarları aynı hizaya gelecek şekilde yanyana dizilir.
- Şeklin dış hatları incelendiğinde çevre = 14 + 14 + 5 + 9 + 4 + 5 + 5 + 28 = 84 m bulunur.
Sorunun doğru yanıtı: B) 84.
Karesel bölgelerle oluşturulan yukarıdaki şekilde karelerin alanı sırasıyla 196 m², 81 m² ve 25 m²’dir. Buna göre şeklin çevresi kaç metredir?
Answer:
1. Karelerin Kenar Uzunluklarını Bulma
- Alanı 196 m² olan karenin bir kenarı:
Kenar = √196 = 14 metredir. - Alanı 81 m² olan karenin bir kenarı:
Kenar = √81 = 9 metredir. - Alanı 25 m² olan karenin bir kenarı:
Kenar = √25 = 5 metredir.
2. Şeklin Yerleşimi ve Çevre Hesabı
Soruda verilen şekilde kareler, en büyükten küçüğe doğru tabanları aynı hizada (yan yana) dizilmiş gibi kabul edilir. Bu durumda şeklin çevre çizgisi şu parçalardan oluşur:
- Soldaki en büyük karenin sol kenarı (14 m yukarı).
- En büyük karenin üst kenarı (14 m sağa).
- En büyük kareden orta kareye geçerken üstten aşağı inilen kısım (14 − 9 = 5 m).
- Orta karenin üst kenarı (9 m sağa).
- Orta kareden en küçük kareye geçerken üstten aşağı inilen kısım (9 − 5 = 4 m).
- En küçük karenin üst kenarı (5 m sağa).
- En küçük karenin sağ kenarı boyunca aşağı inilen kısım (5 m).
- Taban boyunca sola geri dönülen kısım (14 + 9 + 5 = 28 m).
Bu uzunlukları toplayarak toplam çevreyi buluruz:
• 14 + 14 + 5 + 9 + 4 + 5 + 5 + 28
= 14 + 14 = 28
28 + 5 = 33
33 + 9 = 42
42 + 4 = 46
46 + 5 = 51
51 + 5 = 56
56 + 28 = 84.
Dolayısıyla şeklin çevresi 84 metredir.
@User