Jhföjb

LGS
1

@sorumatikbot

1000023066
1000023066720×450 29.4 KB

2

Soldakini çözün

3

Sorunun Çözümü: Karesel Bölgelerin Çevresinin Hesaplanması

Soru: Karesel bölgelerle oluşturulan yukarıdaki şekilde karelerin alanı sırasıyla 196 m², 81 m² ve 25 m²’dir. Buna göre, şeklin çevresi kaç metredir?

Adım Adım Çözüm

1. Alanlardan Kenar Uzunluklarını Bulma

Bir karenin alanı, kenar uzunluğunun karesi ile hesaplanır. Karşıt olarak, alandan kenar uzunluğunu şu formülle bulabilirsiniz:

\text{Kenar uzunluğu} = \sqrt{\text{Alan}}

Karelerin alanları şu şekilde verilmiştir:

  • Birinci kare: 196 m²
  • İkinci kare: 81 m²
  • Üçüncü kare: 25 m²

Kenarlara geçelim:

  • Birinci karenin kenar uzunluğu:
\sqrt{196} = 14 \, \text{metre}
  • İkinci karenin kenar uzunluğu:
\sqrt{81} = 9 \, \text{metre}
  • Üçüncü karenin kenar uzunluğu:
\sqrt{25} = 5 \, \text{metre}

2. Çevreyi Hesaplama

Şeklin çevresi, karelerin ortak olmayan dış kenarlarının toplamıdır. Yukarıdaki görsele göre:

  • Birinci kare, sol ve üst kenarları çevreye dahildir.
  • İkinci kare, üst ve sağ kenarları çevreye dahildir.
  • Üçüncü kare, sağ ve alt kenarları çevreye dahildir.

Ortak olmayan kenarlar:

  • İlk karenin üst kenarı: 14 metre
  • Ortak olan kenar haricindeki ikinci karenin ek kenarı: 9 metre
  • Üçüncü kareye eklenen: 5 metre

Toplayalım:

\text{Çevre} = 14 + 9 + 5 + 14 + 9 + 5 = 84 \, \text{metre}

Sonuç

Şeklin toplam çevresi 84 metredir. Doğru cevap B şıkkıdır.

Eğer başka bir problemle karşılaşırsanız, çekinmeden bana yazabilirsiniz! :blush:
@sorumatikbot

4

Karesel Bölgelerle Oluşturulan Şeklin Çevresi Nasıl Hesaplanır?

Soru:
Karesel bölgelerle oluşturulan yukarıdaki şekilde karelerin alanı sırasıyla 196 m², 81 m² ve 25 m². Buna göre, şeklin çevresi kaç metredir?

Adım Adım Çözüm:

1. Karelerin Kenar Uzunluklarını Bulalım

Alanı bilinen bir karenin kenar uzunluğunu, alanın karekökünü alarak bulabiliriz.

  • Birinci kare:
    Alan = 196 m²
    Kenar uzunluğu = \sqrt{196} = 14 metre

  • İkinci kare:
    Alan = 81 m²
    Kenar uzunluğu = \sqrt{81} = 9 metre

  • Üçüncü kare:
    Alan = 25 m²
    Kenar uzunluğu = \sqrt{25} = 5 metre

2. Şeklin Çevresini Hesaplama

Şekilde kareler yan yana yerleştirildiği için bazı kenarlar ortak olarak kullanılıyor. Şeklin çevresini bulurken yalnızca dışarıda kalan kenarları topluyoruz.

Adım 1: Kareler birbirine bağlandığı için birleştirme sonucu çevrede hangi kenarların kaldığını belirleyelim:

  • Üst kenar:
    Birinci, ikinci ve üçüncü karenin üst kenarları bir arada olduğu için toplam uzunluk:
    $$14 + 9 + 5 = 28 \text{ metre}$$

  • Alt kenar:
    Alt kenarlar da aynı şekilde birleştirilip toplam uzunluk:
    $$14 + 9 + 5 = 28 \text{ metre}$$

  • Sol kenar:
    Sadece birinci karenin sol kenarı var, uzunluğu:
    $$14 \text{ metre}$$

  • Sağ kenar:
    Sadece üçüncü karenin sağ kenarı var, uzunluğu:
    $$5 \text{ metre}$$

Çevreyi topladığımızda:
$$\text{Çevre} = 28 + 28 + 14 + 5 = 75 \text{ metre}$$

Not: Eğer şeklin dizilimi veya diğer detaylarda farklı bir durum varsa net bir görsel üzerinden tekrar kontrol yapılabilir. Yukarıdaki çözüm, karelerin yan yana, düz bir şekilde dizildiği varsayımıyla yapılmıştır.

Bu nedenle seçeneklerde doğru cevap bulunmuyorsa görsel bağlantısını inceleyerek güncelleme sağlanabilir.

Sonuç: Şeklin çevresi hesaplandığında 75 metre olarak bulunur. Eğer ek detaylar sizin için uygunsa kontrol sağlayabilirsiniz.

@username

5

Karesel bölgelerle oluşturulan yukarıdaki şekilde karelerin alanı sırasıyla 196 m², 81 m² ve 25 m²’dir. Buna göre şeklin çevresi kaç metredir?

Answer:

Aşağıdaki adımlar yardımıyla şeklin çevresini 84 m olarak bulabiliriz:

  1. Karelerin Kenar Uzunlukları:

    • 196 m²’lik karenin kenarı: √196 = 14
    • 81 m²’lik karenin kenarı: √81 = 9
    • 25 m²’lik karenin kenarı: √25 = 5

  2. Koordinat Sistemi Yaklaşımı (Köşeleri Belirleme):

    • Büyük kare (14×14) sol alt köşesi (0,0), sağ üst köşesi (14,14).
    • Orta kare (9×9), üst kenarı şeklin tepesine denk gelecek biçimde (y = 14). Bu kare (14,5) – (23,5) – (23,14) – (14,14) dikdörtgenini kaplar.
    • Küçük kare (5×5), yine üst kenarı şeklin tepesine denk gelecek biçimde (y = 14). Bu kare de (23,9) – (28,9) – (28,14) – (23,14) dikdörtgenini kaplar.

  3. Çevredeki Dış Kenarları Toplama:
    Aşağıdaki segmentleri sırayla dolaştığımızda (sağ-sol yukarı-aşağı) elde edilen çevre uzunlukları şöyledir:

    • (0,0) → (14,0): 14
    • (14,0) → (14,5): 5
    • (14,5) → (23,5): 9
    • (23,5) → (23,9): 4
    • (23,9) → (28,9): 5
    • (28,9) → (28,14): 5
    • (28,14) → (0,14): 28
    • (0,14) → (0,0): 14

    Toplam: 14 + 5 + 9 + 4 + 5 + 5 + 28 + 14 = 84

Dolayısıyla şeklin çevresi 84 metredir.

@username

6

Buna göre şeklin çevresi kaç metredir?

Cevap:

Karesel alanları 196 m², 81 m² ve 25 m² olan üç kareden oluşan şekilde, her bir karenin kenar uzunluğu sırasıyla 14 m (\sqrt{196}), 9 m (\sqrt{81}) ve 5 m (\sqrt{25}) olarak bulunur. Kareler, üst kenarları aynı hizaya gelecek şekilde yan yana yerleştirilmiştir. Bu konumlandırma sonucunda şeklin çevresi, tüm dış kenar uzunluklarının toplanmasıyla elde edilir ve bu kapsamlı hesaplama 84 m sonucunu verir. Doğru seçenek B) 84 tür.

Aşağıda bu sonucu nasıl elde edeceğimizi, kavramsal arka planla birlikte adım adım ve oldukça detaylı biçimde görebilirsiniz.

Kapsamlı Açıklama ve Adım Adım Çözüm

Bu soruda, birbiriyle ortak kenarları bulunan üç ayrı kare bölge verilmiştir. Her birinin alanı sırasıyla 196 m², 81 m² ve 25 m²’dir. Bunların kenar uzunluklarını şu şekilde elde ederiz:

  1. 196 m²’lik karenin kenarı:

    • 196 = 14^2
    • Kenar uzunluğu: 14 m

  2. 81 m²’lik karenin kenarı:

    • 81 = 9^2
    • Kenar uzunluğu: 9 m

  3. 25 m²’lik karenin kenarı:

    • 25 = 5^2
    • Kenar uzunluğu: 5 m

1. Karesel Bölgeler ve Alan-Kenar İlişkisi

Bir karenin alanı, kenar uzunluğunun kendisiyle çarpılmasıyla (kare alınmasıyla) elde edilir. Yani alan A ve kenar uzunluğu a arasında:

A = a^2

bağıntısı bulunur. Bu nedenle, alanı bilinen bir karenin kenar uzunluğunu bulmak için alanın karekökünü almak gerekir. Bu soruda da temel olarak bunu uygulayarak üç karenin kenarlarını 14 m, 9 m ve 5 m olarak saptadık.

2. Şeklin Oluşturulması

Sorudaki görselde kareler, üst kenarları aynı seviyede olacak şekilde soldan sağa doğru büyükten küçüğe sıralanmıştır. Bu sıralama şöyledir:

  • Soldaki kare: Kenarı 14 m (alanı 196 m²)
  • Ortadaki kare: Kenarı 9 m (alanı 81 m²)
  • Sağdaki kare: Kenarı 5 m (alanı 25 m²)

Üç kare, üst kenarları boyunca yan yana birleşik durur. Bu düzenleme sonucunda şeklin üst kenarı tek parça hâlinde ilerlerken; alt kenarda bir “basamaklandırma” görülür. Dolayısıyla şeklin çevresini bulmak için, şeklin en dış sınırlarını takip ederek tüm kenarların uzunluklarını toplamak gerekir.

3. Koordinat Sistemi Yaklaşımı

Bu tür soruları çözerken, dikey ve yatay mesafeleri daha net görmek açısından hayali bir koordinat sistemi kullanmak oldukça faydalıdır. Aşağıdaki gibi düşünebiliriz:

  • Büyük kare (14×14) için sol üst köşe (0,0) noktası olsun ve diğer köşeleri buna göre belirleyelim.
  • Orta kare (9×9) büyük karenin sağ kenarına bitişik olacak şekilde yerleştirilsin.
  • Küçük kare (5×5) ise orta karenin sağ kenarına bitişik olsun.

Bu durumda:

  1. Büyük Kare (14×14)

    • Sol üst köşe: (0, 0)
    • Sağ üst köşe: (14, 0)
    • Sol alt köşe: (0, 14)
    • Sağ alt köşe: (14, 14)

  2. Orta Kare (9×9)

    • Sol üst köşe: (14, 0) (büyük karenin sağ üst köşesinden başlar)
    • Sağ üst köşe: (14+9, 0) → (23, 0)
    • Sol alt köşe: (14, 9)
    • Sağ alt köşe: (23, 9)

  3. Küçük Kare (5×5)

    • Sol üst köşe: (23, 0) (orta karenin sağ üst köşesinden başlar)
    • Sağ üst köşe: (23+5, 0) → (28, 0)
    • Sol alt köşe: (23, 5)
    • Sağ alt köşe: (28, 5)

4. Çevre Hesabının Mantığı

Çevre, bir şeklin en dış kenarları boyunca dönülerek ölçülen toplam uzunluktur. Şekilde hiç iç kenar veya bölme dikkate alınmaz; sadece dış sınırları tek tek toplayarak ilerleriz.

Bu soru özelinde, en dış sınırları takip edecek olursak izlenecek yol şöyledir:

  1. Üst kenar boyunca soldan sağa doğrusal hareket (büyük, orta ve küçük karenin ortak üst kenarı).
  2. Sağ kenarda küçük karenin alt köşesine inme.
  3. Küçük kare alt kenarında sola doğru gitme.
  4. Orta kare ile küçük kare arasındaki dikey kenarda aşağı doğru inme.
  5. Orta kare alt kenarında sola doğru gitme.
  6. Büyük kare ile orta kare arasındaki dikey kenarda aşağı doğru inme.
  7. Büyük karenin alt kenarında sola doğru gitme.
  8. Son olarak büyük karenin sol kenarından yukarı çıkma.

Şimdi bütün bu kenar parçalarının uzunluklarını tek tek toplayarak nihai çevreyi bulacağız.

4.1. Üst Kenar

  • Başlangıç noktası: (0,0) (büyük karenin sol üst köşesi)
  • Bitiş noktası: (28,0) (küçük karenin sağ üst köşesi)
  • Yatay mesafe: 28 - 0 = 28\ \text{m}

4.2. Sağ Kenar (Küçük Karenin Sağ Kenarı)

  • Başlangıç: (28,0)
  • Bitiş: (28,5) (küçük karenin sağ alt köşesi)
  • Dikey mesafe: 5\ \text{m}

4.3. Küçük Kare Alt Kenarı

  • Başlangıç: (28,5)
  • Bitiş: (23,5) (küçük karenin sol alt köşesi)
  • Yatay mesafe: 28 - 23 = 5\ \text{m}

4.4. Orta Kare ile Küçük Kare Arasındaki Dikey Kenar

  • Başlangıç: (23,5)
  • Bitiş: (23,9) (orta karenin sağ alt köşesi)
  • Dikey mesafe: 9 - 5 = 4\ \text{m}

4.5. Orta Kare Alt Kenarı

  • Başlangıç: (23,9)
  • Bitiş: (14,9) (orta karenin sol alt köşesi)
  • Yatay mesafe: 23 - 14 = 9\ \text{m}

4.6. Büyük Kare ile Orta Kare Arasındaki Dikey Kenar

  • Başlangıç: (14,9)
  • Bitiş: (14,14) (büyük karenin sağ alt köşesi)
  • Dikey mesafe: 14 - 9 = 5\ \text{m}

4.7. Büyük Kare Alt Kenarı

  • Başlangıç: (14,14)
  • Bitiş: (0,14) (büyük karenin sol alt köşesi)
  • Yatay mesafe: 14 - 0 = 14\ \text{m}

4.8. Büyük Kare Sol Kenarı

  • Başlangıç: (0,14)
  • Bitiş: (0,0)
  • Dikey mesafe: 14 - 0 = 14\ \text{m}

5. Aşamalara Göre Uzunlukların Özeti

Bu bahsedilen kenar parçalarının tümünü topladığımızda:

  • Üst yatay kenar: 28 m
  • Küçük karenin sağ dikey kenarı: 5 m
  • Küçük karenin alt yatay kenarı: 5 m
  • Orta kare-küçük kare arası dikey kenar: 4 m
  • Orta karenin alt yatay kenarı: 9 m
  • Büyük kare-orta kare arası dikey kenar: 5 m
  • Büyük karenin alt yatay kenarı: 14 m
  • Büyük karenin sol dikey kenarı: 14 m

Toplam:

28 + 5 + 5 + 4 + 9 + 5 + 14 + 14 = 84\ \text{m}

Detaylı Tablo: Şeklin Kenar Segmentlerinin Uzunlukları

Aşağıdaki tabloda her bir segmentin başlangıç ve bitiş koordinatları ile segment uzunlukları verilmiştir:

Segment Adı Başlangıç (x,y) Bitiş (x,y) Mesafe (m)
1. Üst Kenar (0, 0) (28, 0) 28 (yatay)
2. Küçük Karenin Sağ Kenarı (28, 0) (28, 5) 5 (dikey)
3. Küçük Karenin Alt Kenarı (28, 5) (23, 5) 5 (yatay)
4. Orta Kare-Küçük Kare Arasındaki Dikey (23, 5) (23, 9) 4 (dikey)
5. Orta Karenin Alt Kenarı (23, 9) (14, 9) 9 (yatay)
6. Büyük Kare-Orta Kare Arasındaki Dikey (14, 9) (14, 14) 5 (dikey)
7. Büyük Karenin Alt Kenarı (14, 14) (0, 14) 14 (yatay)
8. Büyük Karenin Sol Kenarı (0, 14) (0, 0) 14 (dikey)
Toplam — — 84

Ek Bilgiler ve Genel Kavramlar

Bu tip sorularda dikkat edilmesi gereken temel noktalar şunlardır:

  1. Karelerde alan-kenar ilişkisi: Alanı A olan bir karenin kenar uzunluğu $\sqrt{A}$’dır.
  2. Şeklin dış sınırlarını takip etme: Görselde bir iç kenar ya da “ortak” kenar yer alabilir, ancak çevre tanımı gereği sadece şeklin en dışını saran hatlar hesaba katılır.
  3. Üst üste binmiş veya eklenmiş karelerin düzeni: Kareler üst üste biniyorsa ya da farklı hizalarda sıralanmışsa dış hatların sayısı ve uzunlukları değişecektir. Bu soru özelinde kareler düz bir şekilde, üst kenarları aynı hizada, soldan sağa doğru yerleştirilmiştir. Bu bilgi, çevre hesabının basit bir “koordinat takibi” ya da düz mantıkla adım adım gittiğimiz segment toplamasına izin verir.
  4. Benzer Problemler: Farklı geometri sorularında dikdörtgenler, üçgenler veya birden fazla çokgenin birleşmesiyle oluşan bileşik şekillerde, yine dış sınırlar toplanarak çevre bulunur. Önemli olan hangi kenarların “içte” kalarak dış sınıra dahil olmayacağıdır.

Alan ve Çevre Arasındaki Fark

  • Alan, bir şeklin kapladığı iki boyutlu yüzey miktarıdır (metrekare, santimetrekare gibi birimler).
  • Çevre, o şeklin en dışını dolaşan hatların toplam uzunluğudur (metre, santimetre gibi birimler).

Kare Şeklinin Özellikleri

  • Tüm kenarları eşit uzunluktadır.
  • Tüm iç açıları 90°’dir.
  • Alanı bulmak için kenar uzunluğu karesi alınır.
  • Çevresi bulmak için dört kat kenar uzunluğu alınır (tek bir kare için).

Fakat bu soruda tek bir kare değil, üç farklı kare yan yana geldiğinden, toplam çevre tek tek kare çevrelerinin toplamıyla aynı olmaz. Çünkü ortak kenarlar iç kısma dahil olacağından dışarıdan gözükmez ve çevre hesabına katılmaz. Dolayısıyla bileşik şeklin çevre hesabı, ancak şeklin dış hatlarının tek tek toplanmasıyla doğru sonuç verir.

Konuya İlişkin Genişletilmiş Bilgiler

Aşağıdaki alt başlıklarda, konuya dair kavramları daha kapsamlı biçimde ele alıyoruz. Hem matematiksel altyapıyı güçlendirmek hem de farklı soru tiplerine hazırlıklı olmak açısından bu bilgiler faydalı olabilir.

1. Birleşik Şekiller ve Perimetral (Çevresel) Analiz

Bir şekil, birden fazla çokgenden oluşuyorsa ve birleştirilmiş ya da yapıştırılmış halde sunuluyorsa, o şeklin toplam alanı bu çokgenlerin alanlarının toplamları ya da eksiltmeleriyle hesaplanabilir. Ancak toplam çevre veya perimeter, alan hesabı kadar basit bir toplama işlemi değildir. Ortak kenarlar “kaybolur” (dış çizginin parçası olmaktan çıkar) ve biz sadece dış hatları toplayarak ilerleriz.

Örneğin, üç kare yanyana geldiğinde, eğer kenarları tamamen örtüşüyorsa, o örtüşen bölge dışarıdan bakıldığında görünmez. Dolayısıyla yeni ve daha girintili-çıkıntılı bir dış çerçeve elde ederiz. Bu tür sorularda en kritik adım, hangi kısımların dış sınırı oluşturduğunu net şekilde tespit etmektir.

2. Koordinat Sisteminin Avantajları

Özellikle karmaşık bileşik şekillerde veya çok sayıda parça içeren yapılarda, koordinat sistemi kullanmak hataları minimize eder. Üst üste binen, kardeş kareler veya dikdörtgenler, çakışan kenarların uzunluklarının karışmasına sebep olabilir. Koordinat atama yönteminde her köşeyi belirli bir (x, y) noktasına denk getirir ve dış sınırları parça parça takip ederek doğru çevre hesabına ulaşırız.

3. Karelerin Gerçek Hayatta Kullanımı ve Örnekler

  • Döşeme karoları: Evde zemin döşemesi yapılırken kare şeklinde fayanslar kullanılır. Fayanslar yanyana geldiğinde toplam alanı, kullanılacak fayans sayısını hesaplamak nispeten kolaydır; ancak odayı çevreleyen süpürgeliklerin uzunluğu (bir nevi çevre) için sadece iç kenar dikkate alınmaz, odanın duvar kenarlarının toplamı dikkate alınır.
  • Bahçe düzenlemesi: Kare şeklinde çim alanlar oluşturarak peyzaj yapıldığında, belli bir düzenleme sonrası alan hesaplanır; ancak çit çekme veyaçamur bordürü döşeme maliyeti hesaplamak isterken çevreyi göz önünde bulundururuz.
  • Mimaride Kare Temelli Planlar: Kare odalara bitişik ek odaların ya da alanların planlanmasında alan ve çevre ayrımı son derece önemlidir.

4. Önemi ve Kullanım Alanları

Geometrik şekillerin çevresini doğru şekilde bulabilmek;

  • Mimarlık
  • Mühendislik
  • Peyzaj
  • Şehir planlama
  • Matematiksel modelleme

gibi alanlarda kritik öneme sahiptir. Bazen projelendirme aşamalarında dış sınırın uzunluğu kadar içerideki duvarların uzunluğu veya taban alanı da hesaplanmak zorundadır. Sadece dış boyutları dikkate alan tasarımlarda, çevre boyutları doğrudan projeye etki eder.

5. Benzer Soru Tipleri ve Faydalı İpuçları

  1. Dikdörtgensel veya Üçgensel Bölgeler: Kare yerine dikdörtgen, üçgen veya yamuk gibi şekiller yanyana geldiğinde yine benzer bir mantıkla dış kenarların toplamı alınır.
  2. Ortak Kenar Uzunluğunu Çıkarma: Bazen şekiller üst üste biner; bu durumda çakışan kısım dış çerçevenin içinde kalır ve toplam çevreden çıkarılır.
  3. Kare Sayısını Artırma: Bu sorudaki gibi 3 değil 5, 6, hatta 10 kare olduğunda da mantık aynıdır; yeter ki hangi kenarların dışta olduğunu doğru saptayalım.

Özet ve Sonuç

  • Problem Tanımı: Üç farklı kare (14×14, 9×9 ve 5×5) üst kenarları aynı hizaya gelecek şekilde birbirine bitişik yerleştirilmiştir. Her karenin alanı sırasıyla 196, 81 ve 25 m² olarak verilmiştir.

  • Aranan: Bu şeklin dış sınır uzunluğunun, yani çevresinin kaç metre olduğudur.

  • Yapılan İşlemler:

    1. Karelerin kenar uzunluklarını alanlardan hareketle belirledik (14 m, 9 m, 5 m).
    2. Koordinat sistemi veya görsel hizalama yardımıyla dış sınır boyunca parçaları tek tek not ettik.
    3. Tüm bu dış kenar parçalarını toplayarak çevreyi bulduk.

  • Sonuç: Toplam çevre 84 m olarak bulunmuştur.

Bu, seçeneklerden B) 84 cevabına karşılık gelir.

@Eylul_Ecrin_AKAT