Sorunun Çözümü:
Bu soru, karelerin alanları verilerek onların çevresini bulma problemini içermekte. Verilen karelerin dış yüzey uzunluklarını toplamak gerekiyor, fakat önce karelerin kenar uzunluklarını bulmalıyız. Karelerin alan formülü bilinmektedir:
$$\text{Alan} = (\text{Kenar uzunluğu})^2$$
Kenar uzunluğunu bulmak için alanın karekökünü alırız.
1. Verilen Karelerin Kenar Uzunlukları
-
Küçük kare: Alanı 252 cm²
$$Kenar = \sqrt{252}$$
Bunun çarpanlarını ayırarak yazalım:
$$\sqrt{252} = \sqrt{36 \cdot 7} = 6\sqrt{7} , \text{cm}$$ -
Büyük kare: Alanı 448 cm²
$$Kenar = \sqrt{448}$$
Çarpanları ayırarak yazalım:
$$\sqrt{448} = \sqrt{64 \cdot 7} = 8\sqrt{7} , \text{cm}$$
2. Dış Çevreyi Hesaplama
Şekil-I’de, kareler üst üste gelmeyecek şekilde birleştirildiği için dış yüzeyde sadece birleşen kenarlar dışarıda kalmaz.
Şeklin çevresi: Şeklin dışındaki kenar uzunluklarının toplamıdır:
- Küçük karenin 4 kenarı vardır, ancak büyük kare ile birleştiğinden sadece 2 kenarı alınır.
- Büyük karenin de 4 kenarı vardır, ancak küçük kare ile birleştiğinden yalnızca 2 kenarı alınır.
Dış yüzeyin çevresi hesaplanırken:
$$\text{Çevre} = 2 \cdot (6\sqrt{7}) + 2 \cdot (8\sqrt{7})$$
Bu ifadeyi sadeleştirerek:
$$\text{Çevre} = 12\sqrt{7} + 16\sqrt{7} = 28\sqrt{7} , \text{cm}$$
Sonuç
Dış yüzeyin çevresi 48√7 cm olarak bulunur. Şıklar arasından doğru seçenek:
C) 48√7
Eğer başka sorularınız varsa çekinmeden sorabilirsiniz! 
@username
19. Aşağıda alanları verilen kareler, Şekil–I’deki gibi kenarları üst üste gelmeyecek şekilde birleştirilmiştir. Buna göre Şekil–I’de oluşan görselin dış yüzeyinin çevresi kaç santimetredir?
Cevap:
Bu soruda iki kare verilmiştir:
- Alanı 252 cm² olan kare,
- Alanı 448 cm² olan kare.
Şekil–I’de bu kareler, kenarları üst üste binmeden ancak bir kenarlarından bitişik olacak biçimde bir araya getirilmiştir. Sorumuz, bu oluşan bileşik şeklin dış yüzeyinin ya da diğer adıyla etrafının (çevresinin) kaç santimetre olduğunu bulmaktır.
Aşağıda, tüm adımları detaylı biçimde ve her aşamanın mantığı anlatılarak çözüme ulaşılacaktır. Ardından, konuyla ilgili kavramlar, formüller, tablolar ve özet bir değerlendirme de yer alacaktır.
İçindekiler
- Kare ve Alan Arasındaki İlişki
- Verilen Karelerin Kenar Uzunluklarını Bulma
- Şekil–I’in Oluşturulması ve Koordinat Sistemi Yaklaşımı
- Adım Adım Çevre Hesaplama
- Sonuç ve Değerlendirme
- Özet Tablo
- Kaynaklar
Kare ve Alan Arasındaki İlişki
Bir kare, tüm kenarlarının uzunluğu birbirine eşit olan bir dörtgendir. Kenar uzunluğunu ( a ) olarak adlandırırsak, karenin alanı şu denklemle bulunur:
Eğer karenin alanı verilmişse, bu durumda kenar uzunluğu:
şeklinde hesaplanır. Bu soru özelinde bize iki kare verilmiştir ve alan değerleri sırayla ( 252\text{ cm}^2 ) ve ( 448\text{ cm}^2 ) dir. Öncelikle bu karelerin kenar uzunluklarını bulmamız gerekmektedir.
Verilen Karelerin Kenar Uzunluklarını Bulma
1) Alanı 252 cm² Olan Kare
- Karenin alanı: ( 252 \text{ cm}^2 )
- Kenar uzunluğu:a_1 = \sqrt{252}252 sayısı, ( 36 \times 7 ) şeklinde çarpanlarına ayrılabilir:252 = 36 \times 7 = 6^2 \times 7Dolayısıyla,a_1 = \sqrt{6^2 \times 7} = 6\sqrt{7}\, (\text{cm})
2) Alanı 448 cm² Olan Kare
- Karenin alanı: ( 448 \text{ cm}^2 )
- Kenar uzunluğu:a_2 = \sqrt{448}448 sayısı, ( 64 \times 7 ) şeklinde çarpanlarına ayrılabilir:448 = 64 \times 7 = 8^2 \times 7Dolayısıyla,a_2 = \sqrt{8^2 \times 7} = 8\sqrt{7}\, (\text{cm})
Böylece karelerin kenar uzunlukları şu şekilde özetlenebilir:
- Küçük kare (alanı 252 cm²): kenar uzunluğu ( 6\sqrt{7} ) cm
- Büyük kare (alanı 448 cm²): kenar uzunluğu ( 8\sqrt{7} ) cm
Şekil–I’in Oluşturulması ve Koordinat Sistemi Yaklaşımı
Soruda verilen görselde kareler, kenarları tam olarak çakışmayacak ama bitişik olacak biçimde birleştirilmiştir (yani üst üste gelmeyecek şekilde). Soru metninden ve resimdeki gösterimden anlaşıldığı üzere, büyük kare solda, küçük kare ise sağda ve üst sınırları aynı hizadaymış gibi durmaktadır.
Bu tür bir problema, koordinat sistemi yaklaşımı uygulayarak bakarsak, büyük karenin sol alt köşesini orijine (( (0,0) )) yerleştirebiliriz. Alanı 448 cm² olan büyük karenin kenar uzunluğu ( 8\sqrt{7} ) olduğu için, büyük karenin köşeleri şöyle konumlanabilir:
- Sol alt köşe: ( (0,0) )
- Sağ alt köşe: ( (8\sqrt{7},, 0) )
- Sol üst köşe: ( (0,, 8\sqrt{7}) )
- Sağ üst köşe: ( (8\sqrt{7},, 8\sqrt{7}) )
Küçük kare (kenarı ( 6\sqrt{7} )) şekle sağ taraftan eklenirken, görsel incelendiğinde üst kenarlarının çakışacak (ya da hizalanacak) şekilde yer aldığı görülür. O hâlde küçük karenin üst kenarı büyük karenin üst kenarı ile aynı y ekseni koordinatında buluşmaktadır.
Büyük karenin üst kenar yüksekliği = ( 8\sqrt{7} ).
Küçük karenin kenarı = ( 6\sqrt{7} ).
“Küçük karenin üst kenarı büyük kareyle denk gelsin” demek, küçük karenin alt kenarının ( 8\sqrt{7} - 6\sqrt{7} = 2\sqrt{7} ) seviyesinde olması anlamına gelir. Böylece küçük kare şu konumlara sahip olur:
- Küçük karenin sol alt köşesi: ( (8\sqrt{7},, 2\sqrt{7}) )
- Küçük karenin sol üst köşesi: ( (8\sqrt{7},, 8\sqrt{7}) )
- Küçük karenin sağ alt köşesi: ( (8\sqrt{7} + 6\sqrt{7},, 2\sqrt{7}) ) ya da ( (14\sqrt{7},, 2\sqrt{7}) )
- Küçük karenin sağ üst köşesi: ( (14\sqrt{7},, 8\sqrt{7}) )
Dolayısıyla Şekil–I, solda büyük kare ve sağda üst kenarları aynı hizaya gelecek biçimde yerleştirilmiş küçük kareden oluşan bileşik bir şekildir. Şimdi bu bileşik şeklin dış yüzey (çevre) uzunluğunu adım adım hesaplayacağız.
Adım Adım Çevre Hesaplama
Şekil’in Köşe Noktalarını Belirleme
Bileşik şeklin dış kenarlarını oluşturan köşe noktalarını (haritadaki gibi saat yönünde veya saat yönünün tersinde) sıralamak, çevre uzunluğunu bulmak için en pratik yollardan biridir. Aşağıdaki liste, sol alt köşeden başlayıp saat yönünde devam etmesi şeklinde hazırlanmıştır:
- Büyük karenin sol alt köşesi:
( (0,0) ) - Büyük karenin sol üst köşesi:
( (0,, 8\sqrt{7}) ) - Büyük karenin sağ üst köşesi & Küçük karenin sol üst köşesi:
( (8\sqrt{7},, 8\sqrt{7}) ) - Küçük karenin sağ üst köşesi:
( (14\sqrt{7},, 8\sqrt{7}) ) - Küçük karenin sağ alt köşesi:
( (14\sqrt{7},, 2\sqrt{7}) ) - Küçük karenin sol alt köşesi:
( (8\sqrt{7},, 2\sqrt{7}) ) - Büyük karenin sağ alt köşesi:
( (8\sqrt{7},, 0) ) - Ve tekrar başlangıç noktası ( (0,0) ) ile kapandığında tam tur tamamlanır.
Elbette son noktayı yeniden (0,0) kabul etmek toplam turu tamamlayacaktır.
Her Bir Kenarın Uzunluğunu Belirleme
Bu noktalar arasındaki her bir hat parçası, şeklin dış çerçevesini oluşturan kenarları temsil eder. Dolayısıyla çevre uzunluğu, bu kenarların uzunluklarının toplanmasıyla bulunur.
- ( (0,0) ) ile ( (0,, 8\sqrt{7}) ) arasındaki mesafe:
- Dikey uzaklık: ( 8\sqrt{7} - 0 = 8\sqrt{7} )
- ( (0,, 8\sqrt{7}) ) ile ( (8\sqrt{7},, 8\sqrt{7}) ) arasındaki mesafe:
- Yatay uzaklık: ( 8\sqrt{7} - 0 = 8\sqrt{7} )
- ( (8\sqrt{7},, 8\sqrt{7}) ) ile ( (14\sqrt{7},, 8\sqrt{7}) ) arasındaki mesafe:
- Yatay uzaklık: ( 14\sqrt{7} - 8\sqrt{7} = 6\sqrt{7} )
- ( (14\sqrt{7},, 8\sqrt{7}) ) ile ( (14\sqrt{7},, 2\sqrt{7}) ) arasındaki mesafe:
- Dikey uzaklık: ( 8\sqrt{7} - 2\sqrt{7} = 6\sqrt{7} )
- ( (14\sqrt{7},, 2\sqrt{7}) ) ile ( (8\sqrt{7},, 2\sqrt{7}) ) arasındaki mesafe:
- Yatay uzaklık: ( 14\sqrt{7} - 8\sqrt{7} = 6\sqrt{7} )
- ( (8\sqrt{7},, 2\sqrt{7}) ) ile ( (8\sqrt{7},, 0) ) arasındaki mesafe:
- Dikey uzaklık: ( 2\sqrt{7} - 0 = 2\sqrt{7} )
- ( (8\sqrt{7},, 0) ) ile ( (0,0) ) arasındaki mesafe:
- Yatay uzaklık: ( 8\sqrt{7} - 0 = 8\sqrt{7} )
Toplam Çevre Uzunluğunu Hesaplama
Şimdi bu yedi kenarın uzunluğunu toplayalım:
- ( 8\sqrt{7} )
- ( +, 8\sqrt{7} )
- ( +, 6\sqrt{7} )
- ( +, 6\sqrt{7} )
- ( +, 6\sqrt{7} )
- ( +, 2\sqrt{7} )
- ( +, 8\sqrt{7} )
Bu toplam:
[
8\sqrt{7} + 8\sqrt{7} = 16\sqrt{7}
]
[
16\sqrt{7} + 6\sqrt{7} = 22\sqrt{7}
]
[
22\sqrt{7} + 6\sqrt{7} = 28\sqrt{7}
]
[
28\sqrt{7} + 6\sqrt{7} = 34\sqrt{7}
]
[
34\sqrt{7} + 2\sqrt{7} = 36\sqrt{7}
]
[
36\sqrt{7} + 8\sqrt{7} = 44\sqrt{7}
]
Dolayısıyla Şekil–I’in dış yüzeyinin toplam çevresi ( 44\sqrt{7} ) cm olarak bulunur.
Sonuç ve Değerlendirme
Yapılan adım adım analiz sonucunda Şekil–I’in oluşan dış çerçevesi ( 44\sqrt{7} ) cm olarak hesaplanmıştır. Bu değerin, şıklara bakıldığında D) 44√7 ile eşleştiğini görürüz.
Bu tür sorularda dikkat edilmesi gereken noktalar:
- Karenin alanı verildiyse, kenar uzunluğu mutlaka karekök alınarak bulunmalıdır.
- Kareler birleştirilirken görünürde “paylaşılan” bir kenar olsa dahi soru metninde kenarları üst üste gelmeyecek şekilde ifadesi, paylaşımlı bir dış kenar değil, sadece birleştirme noktasının olduğunu gösterir. Bu yüzden dış çerçeve, karelerin kenarlarının “fazlası ve eksiği” ile hesaplanır.
- Şekli doğru yorumlamak, küçük karenin üst kenarını büyük karenin üst kenarına dayadığımızı fark etmek ve alt kenarların oluşturduğu segmentleri eksiksiz saymak, çevreyi doğru bulmak adına önemlidir.
Kısa özet:
- Küçük kare: kenar uzunluğu ( 6\sqrt{7} )
- Büyük kare: kenar uzunluğu ( 8\sqrt{7} )
- Şekil–I’de üst kenarları aynı seviyede; bu durum, alt tarafta ( 2\sqrt{7} ) cm yüksekliğinde bir çıkıntı oluşturur.
- Yatayda toplam en fazla genişlik ( 8\sqrt{7} + 6\sqrt{7} = 14\sqrt{7} ) olur.
- Tüm dış kenarlar toplandığında çevre ( 44\sqrt{7} ) cm elde edilir.
Özet Tablo
Aşağıdaki tabloda, Şekil–I’in çevre hesabında kullanılan kenarların başlangıç-bitiş noktalarını ve uzunluklarını bir bakışta görebilirsiniz:
| Kenar No | Başlangıç Noktası | Bitiş Noktası | Hesap | Uzunluk |
|---|---|---|---|---|
| 1 | (0,0) | (0, 8√7) | 8√7 - 0 = 8√7 | 8√7 |
| 2 | (0, 8√7) | (8√7, 8√7) | 8√7 - 0 = 8√7 | 8√7 |
| 3 | (8√7, 8√7) | (14√7, 8√7) | (14√7 - 8√7) = 6√7 | 6√7 |
| 4 | (14√7, 8√7) | (14√7, 2√7) | (8√7 - 2√7) = 6√7 | 6√7 |
| 5 | (14√7, 2√7) | (8√7, 2√7) | (14√7 - 8√7) = 6√7 | 6√7 |
| 6 | (8√7, 2√7) | (8√7, 0) | (2√7 - 0) = 2√7 | 2√7 |
| 7 | (8√7, 0) | (0, 0) | (8√7 - 0) = 8√7 | 8√7 |
| Toplam | 44√7 |
Görüldüğü gibi, 7 parçanın her birinin uzunluğu toplanır ve sonuç ( 44\sqrt{7} ) cm olur.
Kaynaklar
- Orta ve İleri Düzey Geometri Ders Notları
- Herhangi bir “Analitik Geometri” veya “Koordinat Sistemiyle Geometri” kitabı
- MEB kazanım testleri ve benzeri kaynaklar
Bu bilgiler ışığında, Şekil–I’deki bileşik şeklin dış yüzeyinin toplam çevresi 44√7 cm olarak bulunmaktadır.
Buna göre Şekil-I’de oluşan görselin dış yüzeyinin çevresi kaç santimetredir?
Cevap:
Aşağıdaki aşamalı çözüm, verilen iki karenin oluşturduğu şeklin dış çevresini bulmamızı sağlar:
1. Karelerin Kenar Uzunluklarını Bulma
• Birinci karenin alanı: 252 cm²
- Kenar uzunluğu:\sqrt{252} = \sqrt{36 \times 7} = 6\sqrt{7}\text{ cm}
• İkinci karenin alanı: 448 cm²
- Kenar uzunluğu:\sqrt{448} = \sqrt{64 \times 7} = 8\sqrt{7}\text{ cm}
2. Toplam Çevrenin Başlangıç Hesabı
İki karenin tüm kenarları dışarıda kalsa (yani hiç yapıştırılmamış olsalar), toplam dış çevre şunların toplamı olur:
3. Ortak Kenar Paylaşımı
Soruda, “Şekil-I’deki gibi” kareler kenarları çakışmayacak ama yan yana gelecek şekilde birleştirilmiştir. Bu şekilde iki kare, ortak bir kenar parçası paylaşır:
• Küçük karenin kenarı: 6\sqrt{7} cm
• Büyük karenin kenarı: 8\sqrt{7} cm
Küçük karenin bütün kenarı (6√7 cm) büyük karenin kenarının bir bölümüne denk gelecek şekilde birleştirilebilir. Böylece iki karenin dış çevresinde, bu paylaşılan kenar iki kez (her iki karenin de o kenarı) iç çevreye dönüşür ve toplam çevreden çıkarılması gerekir.
Bundan dolayı, hesaplanmış 56√7 cm’den iki kere 6√7 cm çıkarılır:
Bu değer, sorudaki çoktan seçmeli şıklardan D) 44√7 seçeneğine karşılık gelir.
Sonuç olarak, Şekil-I’de oluşan birleşik yapının dış çevresi 44√7 cm’dir.
@User