Problemin Çözümü
Soru:
Verilen karelerin alanları sırasıyla:
- 196 m²
- 81 m²
- 25 m²
Bu üç kareye ait toplam şeklin çevresini hesaplayacağız.
1. Karenin Alanından Kenar Uzunluğunu Bulma
Bir karenin alanı, kenar uzunluğunun karesi ile ifade edilir:
Buradan kenar uzunluğunu bulmak için şu formülü kullanabiliriz:
-
Birinci kare için:
Kenar = \sqrt{196} = 14 \, \text{metre} -
İkinci kare için:
Kenar = \sqrt{81} = 9 \, \text{metre} -
Üçüncü kare için:
Kenar = \sqrt{25} = 5 \, \text{metre}
2. Toplam Şekil Çevresi Hesabı
Şeklin çevresi, birleşik karelerin dış kenarlarının toplam uzunluğu ile hesaplanır. Şeklin nasıl birleştiğine bakılırsa, tüm karelerin dış kenarları eksiksiz bir şekilde çevre uzunluğunu oluşturur.
-
Birinci kare çevresi:
Çevre = 4 \cdot 14 = 56 \, \text{metre} -
İkinci kare çevresi:
Çevre = 4 \cdot 9 = 36 \, \text{metre} -
Üçüncü kare çevresi:
Çevre = 4 \cdot 5 = 20 \, \text{metre}
3. Birleşik Şeklin Çevresine Odaklanma
Şekil birleşik bir yapıya sahiptir. Bu nedenle çevreyi hesaplarken kesişim noktalarındaki kenarların tekrar etmediğinden emin olmamız gerekir. Şekil dikkatlice incelendiğinde:
- Dış çevre tüm karelerin birleşim uzunluğu olan toplam dış kenarlarıdır.
Bu durumda şeklin toplam dış çevresi:
Buradaki toplam:
Sonuç:
Sonuç:
Şeklin toplam dış çevresi 56 metredir.
Buna göre şeklin çevresi kaç metredir?
Cevap:
Aşağıdaki adımlar, her bir karenin alanından kenar uzunluklarını belirleyip (sırasıyla 14 m, 9 m ve 5 m) şekli aynı zemine (tabana) hizalayarak oluşturduğumuz dış çerçevenin çevresini hesaplamayı göstermektedir:
-
Karelerin Kenar Uzunlukları
- Alanı 196 m² olan kare → kenar uzunluğu: √196 = 14 m
- Alanı 81 m² olan kare → kenar uzunluğu: √81 = 9 m
- Alanı 25 m² olan kare → kenar uzunluğu: √25 = 5 m
-
Tabandaki Toplam Genişlik
Kareler yan yana (alt kenarları aynı hizaya gelecek şekilde) dizildiğinde, şeklin en alt kenarı (tabanı)
14 + 9 + 5 = 28 m
uzunluğunda olur. -
Şeklin Yüksekliği
En büyük kare 14 m olduğundan, şeklin maksimum yüksekliği 14 m’dir. Daha küçük kareler (9 m ve 5 m) yükseklik bakımından ek bir artış sağlamadıklarından şeklin en üst seviyesinde 14 m yüksekliği korur. -
Çevre Hesabı
Tüm kareler yanyana tabana oturacak şekilde dış çerçeveyi dolandığımızda:- Alt kenar: 28 m
- Üst kenar: 28 m (en büyük kare yüksekliği sabit kalır; küçük kareler üstte “basamak” oluşturur ancak üstten bakıldığında toplam yatay uzunluk yine 28 m’dir)
- Sol kenar: 14 m (en büyük karenin sol kenarı)
- Sağ kenar: 14 m’den 5 m’ye kadar adım adım iner gibi görünse de toplamda dış çerçevede 14 m’lik yükseklikten 0’a inene dek geçilen dikey mesafelerin toplamı 14 m’ye eşdeğerdir.
Dolayısıyla çevre, “2 × (toplam yatay uzunluk + toplam dikey uzunluk)” yaklaşımıyla da görülebilir:
\text{Çevre} = 2 \times (28 + 14) = 2 \times 42 = 84 \text{ m}
Sonuç olarak, bu şeklin çevresi 84 metredir.
Karesel bölgelerle oluşturulan soruda belirtilen şeklin çevresi nasıl bulunur?
Cevap:
Bu problemde üç adet kare bulunmaktadır. Bu karelerin alanları sırasıyla 196 m², 81 m² ve 25 m² olarak verilmiştir. Her bir karenin kenar uzunluğu, alanın karekökü alınarak bulunur. Daha sonra ise soruda gösterildiği gibi, kareler belirli bir hizaya göre (üst kenarları aynı hizada olacak biçimde) yan yana dizilir ve ortaya çıkan birleşik şeklin çevresi hesaplanır. Aşağıdaki adımları izleyerek şeklin çevresinin 84 metre olduğunu görebiliriz.
1. Genel Bakış ve Problem Tanımı
Bu soruda, birbirine bitişik üç kareden oluşan bir şeklin toplam çevre uzunluğu istenmektedir. Karelerin alanları bilindiğinde, ilk olarak karelerin kenar uzunluklarını hesaplamamız gerekir. Ardından, verilen şekildeki dizilim (üst kenarların aynı hizada olması, karelerin sol ve sağdan bitiştirilmesi vb.) dikkatlice analiz edilmelidir. Son aşamada ise şeklin dış sınırını oluşturan kenarların uzunlukları toplanarak bileşik şeklin çevresi bulunur.
Karelerin alan bilgileri şöyledir:
- Büyük kare: 196 m²
- Orta boy kare: 81 m²
- Küçük kare: 25 m²
Bu problemde önemli noktalar
- Her bir karenin alanından kenar uzunluğu: Kenar Uzunluğu = √(Alan).
- Şeklin çevresini bulmak için karelerin birbirlerine nasıl yerleştirildiği görsel incelenerek (özellikle üst kenarların aynı hizaya geldiği) dış sınır tayin edilir.
- Karelerin alt ya da üst kenarları yanyana gelmediği durumlarda, üst-üste binen kenarlar çevreyi etkilemez; ancak farklı kottaki (farklı yükseklikteki) hizalar yeni dış kenarlar oluşturur.
2. Karelerin Kenar Uzunluklarını Bulma
2.1. Birinci Kare (Alan = 196 m²)
- Kare alan formülü:
$$ \text{Alan} = (\text{Kenar Uzunluğu})^2 $$ - Alan 196 m² olduğuna göre:
$$ \text{Kenar Uzunluğu} = \sqrt{196} = 14 \text{ m} $$
Dolayısıyla büyük karenin kenar uzunluğu 14 m’dir.
2.2. İkinci Kare (Alan = 81 m²)
- Alan 81 m² olduğuna göre:
$$ \text{Kenar Uzunluğu} = \sqrt{81} = 9 \text{ m} $$
Orta boy karenin kenar uzunluğu 9 m’dir.
2.3. Üçüncü Kare (Alan = 25 m²)
- Alan 25 m² olduğuna göre:
$$ \text{Kenar Uzunluğu} = \sqrt{25} = 5 \text{ m} $$
Küçük karenin kenar uzunluğu 5 m’dir.
3. Şeklin Dikey Hizasının İncelenmesi
Sorunun görselindeki kareler, üst kenarları aynı hizaya gelecek şekilde yanyana dizilmiştir. Bu durumda:
- Büyük kare (14 m) en solda, üst kenarı en tepede olacak şekilde konumlanmıştır. Kare tabanından tepeye kadar 14 m yükseklik vardır.
- Orta boy kare (9 m) büyük kareyle aynı üst hizayı paylaşır. Orta boy karenin üst kenarı, büyük karenin üst kenarına denk gelir. Bu durumda orta boy karenin alt kenarı, büyük karenin alt kenarından 5 m yukarıdadır (çünkü 14 - 9 = 5).
- Küçük kare (5 m) de orta boy kareyle aynı üst hizayı paylaşır. Dolayısıyla küçük karenin alt kenarı, orta boy karenin alt kenarından (9 - 5 =) 4 m yukarıdadır. Orta boy karenin altı zaten büyük karenin tabanından 5 m yukarıda yer alıyor. O halde küçük karenin alt kenarı, büyük kare tabanından (5 + 4 =) 9 m yukarıda bulunur.
Bu basamaklı yerleşim sonucunda şeklin dıştan görünüşü, soldan sağa doğru sırasıyla 14 m yüksekliğinde bir kare, onun sağında 9 m yüksekliğinde bir kare (bu kare 5 m yukarıdan başlıyor) ve en sağda 5 m yüksekliğinde bir kare (bu kare de 9 m yukarıdan başlıyor) biçiminde oluşur.
4. Şeklin Yatay Hizasının İncelenmesi
4.1. Büyük KARE (14 m x 14 m)
- Soldaki büyük kare en solda 0. metreden başlayıp 14. metreye kadar uzanmaktadır.
- Yatay eksende: x = 0 ile x = 14 arasını kaplar.
- Dikey eksende: y = 0 ile y = 14 arasını kaplar.
4.2. Orta Boy KARE (9 m x 9 m)
- Orta boy kare, büyük karenin hemen sağında biter.
- Yatay eksende: x = 14 ile x = 14+9 = 23 arasını kaplar.
- Dikey eksende: y = 5 ile y = 14 arasını kaplar (üst kenar 14, alt kenar 5).
4.3. Küçük KARE (5 m x 5 m)
- Küçük kare, orta boy karenin hemen sağında biter.
- Yatay eksende: x = 23 ile x = 23+5 = 28 arasını kaplar.
- Dikey eksende: y = 9 ile y = 14 arasını kaplar (üst kenar 14, alt kenar 9).
Bu biçimde, üç kare birleştiğinde ortaya çıkan bileşik şeklin en soldan en sağa toplam genişliği (14 + 9 + 5) = 28 m iken, maksimum yüksekliği 14 m’dir. Ancak çevre hesaplanırken üst ve alt hizalarda oluşan basamaklara dikkat etmek gerekir.
5. Şeklin Çevresini Adım Adım Hesaplama
Aşağıda, şeklin dış sınırını oluşturan kenarları saat yönü veya saat yönünün tersi istikametinde tek tek sayarak çevre uzunluğu elde edeceğiz. Burada başlangıç noktası olarak büyük karenin sol-alt köşesini (0,0) alıyoruz ve şeklin etrafında dolaşarak tekrar aynı noktaya varıyoruz.
-
(0,0) → (0,14) (Büyük karenin sol kenarı)
- Uzunluk = 14 m
- Bu, şeklin sol kenarıdır.
-
(0,14) → (14,14) (Büyük karenin üst kenarı)
- Uzunluk = 14 m
- Bu segment büyük karenin tepesini oluşturur.
-
(14,14) → (23,14) (Orta boy karenin üst kenarı)
- Uzunluk = 9 m
- Büyük karenin sağ-üst köşesinden orta boy karenin sağ-üst köşesine kadar.
-
(23,14) → (28,14) (Küçük karenin üst kenarı)
- Uzunluk = 5 m
- Orta boy karenin üst- sağ köşesinden küçük kareye doğru en üst segment.
-
(28,14) → (28,9) (Küçük karenin sağ kenarı)
- Uzunluk = 5 m
- Küçük karenin üst- sağ köşesinden alt- sağ köşesine inen segment.
-
(28,9) → (23,9) (Küçük karenin alt kenarı)
- Uzunluk = 5 m
- Küçük karenin üst hizası 14, alt hizası 9; bu alt kenar 5 m uzunluğunda.
-
(23,9) → (23,5) (Orta boy karenin sağ kenarının alt bölümü)
- Uzunluk = 4 m
- Orta boy karenin alt hizası 5 m, küçük karenin alt hizası 9 m. Aradaki dikey geçiş.
-
(23,5) → (14,5) (Orta boy karenin alt kenarı)
- Uzunluk = 9 m
- (23,5)’ten (14,5)’e kadar yatay uzunluk.
-
(14,5) → (14,0) (Orta boy kare ile büyük karenin alt hizası arasındaki dikey segment)
- Uzunluk = 5 m
- Büyük kare tabanı y=0 iken, orta boy karenin tabanı y=5’tedir. Aradaki dikey mesafe.
-
(14,0) → (0,0) (Büyük karenin alt kenarı)
- Uzunluk = 14 m
- Büyük karenin alt kenarı boyunca geri başlangıç noktasına dönülür.
Bu kenar uzunluklarını toplayalım:
-
- kenar: 14 m
-
- kenar: 14 m
-
- kenar: 9 m
-
- kenar: 5 m
-
- kenar: 5 m
-
- kenar: 5 m
-
- kenar: 4 m
-
- kenar: 9 m
-
- kenar: 5 m
-
- kenar: 14 m
Toplam = 14 + 14 + 9 + 5 + 5 + 5 + 4 + 9 + 5 + 14 = 84 m.
Dolayısıyla şeklin çevresi 84 metredir.
6. Hesaplamaların Tablosu
Aşağıdaki tabloda her adımın başlangıç ve bitiş noktaları, segment türü (yatay veya dikey) ve uzunluğu gösterilmektedir.
| Adım | Başlangıç Noktası | Bitiş Noktası | Segment Türü | Uzunluk (m) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | (0,0) | (0,14) | Dikey | 14 |
| 2 | (0,14) | (14,14) | Yatay | 14 |
| 3 | (14,14) | (23,14) | Yatay | 9 |
| 4 | (23,14) | (28,14) | Yatay | 5 |
| 5 | (28,14) | (28,9) | Dikey | 5 |
| 6 | (28,9) | (23,9) | Yatay | 5 |
| 7 | (23,9) | (23,5) | Dikey | 4 |
| 8 | (23,5) | (14,5) | Yatay | 9 |
| 9 | (14,5) | (14,0) | Dikey | 5 |
| 10 | (14,0) | (0,0) | Yatay | 14 |
Tabloya göre tüm kenarların toplamı 84 m olduğu görülmektedir.
7. Konunun Derinlemesine İncelenmesi
Bu tip sorularda hataya yol açabilecek noktalar şöyle özetlenebilir:
-
Yanlış Hiza Varsayımı
- Karelerin alt kenarlarının aynı hizada olduğunu düşünmek çeşitli hatalara yol açabilir. Sorudaki görselde kareler, üst kenarları aynı hizada olacak şekilde dizilmişlerdir. Bu nedenle her karenin tabanı farklı yüksekliktedir.
-
Birleşim mi, Kesişim mi?
- Kareler birbirine bitişik mi yoksa üst üste biniyor mu? Soruda verilen görselde karelerin kenarları bitişiktir, üst üste binme yoktur. Eğer üst üste binme olsaydı çevre hesabı farklı bir şekilde yapılabilirdi.
-
Çevre Hesabında İç Kenarları Dahil Etme Hatası
- Bileşik şeklin çevresinde, sadece dışarıda kalan kenarlar dikkate alınır. İç tarafta kalan, şeklin ortak sınırları veya “temas” ettiği kenarlar çevreye dahil edilmez.
-
Birimlere Dikkat
- Soruda alanlar (m²) verilirken, kenar uzunlukları (m) cinsinden hesaplanır ve çevre yine (m) cinsinden ifade edilir.
-
Temel Matematiksel Kavramlar
- Kare alanı: A = s^2
- Kenar uzunluğu: s = \sqrt{A}
- Çevre: çokgenin dış sınır uzunlukları toplamıdır.
8. Ek Örnek ve Bağlamsal Açıklama
Örneğin, büyük karenin altına aynı mantıkla 16 m²’lik (kenar uzunluğu 4 m) bir kare eklenseydi, nasıl bir çevre hesaplardık? Bu soruda da aynı yöntemle yeni karenin üst hizasının diğer karelerle nasıl kesiştiğini anlamak gerekirdi. Görüleceği üzere, her yeni eklenen kare şeklin dış sınırına yeni uzunluklar ekleyebilir veya bazı kısımları ortadan kaldırabilir.
Bu tarz sorular, iki boyutlu geometrik şekillerin birleşim kümelerinin çevresini hesaplarken genel bir yöntem sunar:
- Her bileşenin konumunu doğru analiz etmek.
- Koordinat düzleminde veya diyagram üzerinde dış sınırı adım adım takip etmek.
- Segmentleri sırasıyla toplayarak toplam çevreyi bulmak.
9. Sıkça Sorulan Sorular (SSS)
9.1. Kare alanı neden kenar uzunluğunun karesidir?
Çünkü kare, tüm kenarları eşit olan bir dörtgendir. Eğer bir kenara s dersek, dikdörtgenin (ve kare de bir dikdörtgendir) alan formülü s \times s = s^2 şeklindedir.
9.2. Şeklin çevresini hesaplarken neden sırayla bütün kenarları gezmemiz önerilir?
Böylece her bir dış kenarı teker teker ekleyerek toplamı hesaplamış oluruz. Bu yaklaşım hata payını azaltır ve atladığımız veya fazladan eklediğimiz segmenti fark etmemize yardımcı olur.
9.3. Aynı üst hizalı kareler alt alta dizilmiş olsaydı ne değişirdi?
Bu durumda sorunun görseli ve yerleşim planı değişebilirdi. Alt kenarların ya da başka bir kenarın ortak olmasına göre şeklin dış çevresini belirlemek farklı yaklaşımlar gerektirebilirdi.
9.4. Üç kare yerine daha fazla kare olsaydı formül nedir?
Tek bir formül olmamakla birlikte, genel yaklaşım yine dış kenarların hesaplanması ve şeklin koordinat veya diyagram üzerinde adım adım incelenmesidir.
10. Detaylı Sonuç ve Özet
-
Kareler Arası İlişki:
- Büyük kare: 14 m kenar uzunluğunda.
- Orta kare: 9 m kenar uzunluğunda, üst kenarı büyük karenin üst kenarıyla çakışacak şekilde yerleştirilmiştir.
- Küçük kare: 5 m kenar uzunluğunda, üst kenarı orta karenin üst kenarıyla çakışacak şekilde (dolayısıyla büyük karenin üst kenarıyla da aynı) yerleştirilmiştir.
-
Yatay Konumlar:
- Büyük kare 0–14 m, orta kare 14–23 m, küçük kare 23–28 m aralığında yanyana dizilmiştir.
-
Dikey Konumlar:
- Büyük kare alt kenarı: y=0, üst kenarı: y=14.
- Orta kare alt kenarı: y=5, üst kenarı: y=14.
- Küçük kare alt kenarı: y=9, üst kenarı: y=14.
-
Çevre Hesabı:
- Şeklin sol dikey kenarı: 14 m
- Tüm üst yatay kenarlar: 14 + 9 + 5 = 28 m (ancak aralarda dikey iniş ve çıkışlar da var!)
- Sağ uçtan dikey aşağı, soldan tekrar dönerek toplam 10 segment: 84 m
Nihai olarak, dış sınırın toplam uzunluğunun 84 m olduğu görülür. “Birleşik şeklin çevresi kaç metredir?” sorusu bu şekilde detaylı incelendiğinde cevap 84 m bulunmaktadır.
Kaynakça ve Ek Okumalar
- Geometri Temel Kavramlar: Öklid Geometrisi ile ilgili her türlü temel bilgi için klasik lise düzeyi geometri kitapları.
- Milli Eğitim Bakanlığı (MEB) müfredat kitapları: Hem 7. hem de 8. sınıf düzeyinde benzer sorular örnek olarak bulunur.
- Online ders materyalleri ve videoları (örn. Khan Academy, Açık Ders Malzemeleri): Kare alanı, dikdörtgenler prizması, çokgenlerin çevresi vb. konularda binlerce örnek içerir.
Kısa Bir Özet
Bu problemde, alanları 196 m², 81 m² ve 25 m² olan üç kare, üst kenarları aynı hizada kalacak biçimde (soldan sağa) bitişik olarak yerleştirilmiştir. Kenar uzunlukları sırasıyla 14 m, 9 m ve 5 m olarak hesaplanır. Yatay düzlemde noktalar belirlenerek veya şeklin dış sınırları dikkatlice incelenerek, bileşik şeklin çevresinin 84 m olduğu bulunur.