Qwresdfdh

LGS
1

Üç farklı alan büyüklüğüne sahip (196 m², 81 m² ve 25 m²) karelerden oluşan bir şeklin çevresini bulmayı amaçlayan bir matematik sorusu gösterilmektedir. (AI tarafından altyazılı)
Üç farklı alan büyüklüğüne sahip (196 m², 81 m² ve 25 m²) karelerden oluşan bir şeklin çevresini bulmayı amaçlayan bir matematik sorusu gösterilmektedir. (AI tarafından altyazılı)592×577 32 KB

@sorumatikbot

2

Bir şeklindeki karelerden oluşan toplam çevre nasıl bulunur?

Sorunun Çözümü:

1. Karelerin Kenar Uzunluklarını Bulalım:
Karelerin alan formülü şudur:

A = a^2

Buradan kenar uzunluklarını bulabiliriz:

  • Birinci kare alanı = 196 m²:
    a = \sqrt{196} = 14 \, \text{metre.}
  • İkinci kare alanı = 81 m²:
    a = \sqrt{81} = 9 \, \text{metre.}
  • Üçüncü kare alanı = 25 m²:
    a = \sqrt{25} = 5 \, \text{metre.}

2. Şeklin çevresini hesaplayalım:

Şeklin çevresini hesaplarken üzer üste gelen kenarları çıkartıyoruz. Karelerin toplam çevresi:

  • Birinci karenin çevresi:
    4 \cdot 14 = 56 \, \text{metre.}
  • İkinci karenin çevresi:
3

Karesel bölgelerin çevresini nasıl buluruz?

Soru:
“Karesel bölgelerle oluşturulan yukarıdaki şekilde karelerin alanı sırasıyla 196 m², 81 m² ve 25 m²’dir. Buna göre şeklin çevresi kaç metredir?”
A) 74 B) 84 C) 89 D) 112

Çözüm Adımları:

  1. Karelerin Kenar Uzunlukları:

    • Alanı 196 m² olan karenin kenarı:
      √196 = 14 m
    • Alanı 81 m² olan karenin kenarı:
      √81 = 9 m
    • Alanı 25 m² olan karenin kenarı:
      √25 = 5 m

  2. Şeklin Yerleşimi:
    Soru görselinde kareler üst kenarları aynı hizaya gelecek biçimde soldan sağa doğru sıralanmış durumdadır:

    • Solda (en büyük) kare: kenarı 14 m
    • Ortadaki kare: kenarı 9 m
    • Sağdaki (en küçük) kare: kenarı 5 m

    Dolayısıyla üst taraftan bakıldığında toplam yatay uzunluk
    14 + 9 + 5 = 28 m
    olup, bu üç kare alt kısımlarında “basamak” gibi bir dizilim oluşturur.

  3. Dış Çevrenin Hesaplanması:
    Şeklin dış sınırını (perimetre) adım adım takip ederek uzunlukları toplayalım:

    • Üst kenar: 14 + 9 + 5 = 28 m
    • Sağ dikey kenar (küçük kare yüksekliği): 5 m
    • Küçük kare alt kenarı: 5 m
    • Orta kare kalan dikey kenarı: 9 − 5 = 4 m
    • Orta kare alt kenarı: 9 m
    • Büyük kare kalan dikey kenarı: 14 − 9 = 5 m
    • Büyük kare alt kenarı: 14 m
    • Sol dikey kenar (14 m aşağı): 14 m

    Bu uzunlukların toplamı:
    28 + 5 + 5 + 4 + 9 + 5 + 14 + 14 = 84 m

Dolayısıyla şeklin dış çevresi 84 metredir.

@username

4

Karesel bölgelerle oluşturulan yukarıdaki şekilde karelerin alanı sırasıyla 196 m², 81 m² ve 25 m²’dir. Buna göre şeklin çevresi kaç metredir?

Cevap:
Aşağıda, bu üç kareden oluşan şeklin çevresini adım adım nasıl bulabileceğinizi, ayrıntılı bir şekilde açıklayacağız. En sonunda, şeklin çevresinin 84 metre olduğunu göreceğiz.

1. Kareler ve Özellikleri

Bu problemde üç farklı kare vardır:

  1. Büyük Kare: Alanı 196 m²
  2. Orta Kare: Alanı 81 m²
  3. Küçük Kare: Alanı 25 m²

Bir karede alan (A), kenar uzunluğunun karesine eşittir:

A = \text{(Kenar Uzunluğu)}^2

Dolayısıyla her bir karenin kenar uzunlukları şu şekilde bulunur:

  • Büyük Kare (196 m²): Kenar uzunluğu \sqrt{196} = 14 metredir.
  • Orta Kare (81 m²): Kenar uzunluğu \sqrt{81} = 9 metredir.
  • Küçük Kare (25 m²): Kenar uzunluğu \sqrt{25} = 5 metredir.

Üç kare, soru görseline göre yatay yönde yanyana, üst kenarları aynı hizaya gelecek şekilde dizilmiştir. Bu hizalama, şeklin üst kenarında (14 + 9 + 5) = 28 metrelik düz bir çizgi oluşmasına yol açar. Ancak alt kenarlar farklı uzunluklara ulaştığı için şeklin çevresi, birkaç “basamaklı” kısımdan oluşur.

2. Şeklin Tasviri ve Koordinat Sistemi Yaklaşımı

Bu tip bir soruda şeklin sınırlarını (çevresini) daha anlaşılır kılmak için, sıkça koordinat sistemi yaklaşımı kullanılır. Böylece her bir karenin köşelerini ayrı ayrı tanımlar ve çevreyi köşe köşe takip ederek buluruz. Mantık olarak:

  1. Büyük Kareyi (kenarı 14 m) sol tarafa yerleştirelim.
  2. Orta Kareyi (kenarı 9 m) büyük karenin sağ tarafına, üst kenarları aynı hizaya gelecek biçimde ekleyelim.
  3. Küçük Kareyi (kenarı 5 m) de orta karenin sağ tarafına, yine üst kenarları aynı hizaya gelecek biçimde ekleyelim.

Aşağıdaki tabloda, her bir karenin koordinatları (köşe noktaları) özetlenmiştir. Koordinat sisteminde, noktayı (x, y) biçiminde belirteceğiz. Burada x sağa doğru, y ise yukarıdan aşağıya doğru artan eksen olarak düşünülmüştür (soruda üst kenarlar hizada olduğu için, y=0 satırı hepsinin üst çizgisini tanımlar).

Kare Üst Sol Köşe Üst Sağ Köşe Alt Sağ Köşe Alt Sol Köşe Kenar
Büyük (14x14) (0, 0) (14, 0) (14, 14) (0, 14) 14
Orta (9x9) (14, 0) (23, 0) (23, 9) (14, 9) 9
Küçük (5x5) (23, 0) (28, 0) (28, 5) (23, 5) 5

2.1. Adım Adım Koordinatlar

  • Büyük Kare sol üst noktası (0,0) kabul edilince, sağ üst noktası (14,0) olur.
  • Orta Kare sol üst noktası, büyük karenin sağ üst noktası olan (14,0) ile çakışır. Kenarı 9 m olduğu için, sağ üst noktası (14+9, 0) = (23,0) olur.
  • Küçük Kare sol üst noktası, orta karenin sağ üst noktası olan (23,0) ile çakışır. Kenarı 5 m olduğundan, sağ üst noktası (23+5, 0) = (28,0) olur.

Altta ise büyük kare 14 m kadar aşağıya iner (0,14) ve (14,14). Orta kare (14,9) ile (23,9) arasında, küçük kare (23,5) ile (28,5) arasında alt kenarlarını belirlemiş olur.

3. Şeklin Çevresi Nasıl Bulunur?

Şeklin çevresini bulmak için, şeklin dış sınırlarını oluşturan kenarların toplam uzunluğunu hesaplamak gerekir. İç kısımlarda kalan ortak kenarlar (örneğin, karelerin bitişim çizgileri) çevrenin parçası değildir. Yani biz yalnızca şeklin en dışta kalan çizgilerini dolaşarak çevre uzunluğunu bulmalıyız.

Bu çevreyi, koordinat yaklaşımına göre:

  1. Sol üst köşeden başlayalım: (0,0)
  2. Saat yönünde veya ters yönde, dış hatları adım adım izleyerek ilerleyelim.
  3. Başladığımız noktaya geri dönünceye kadar tüm segment uzunluklarını toplayalım.

Aşağıda, saat yönünde (sol üst köşeden başlayarak) sırası ile geçeceğimiz kenarların, başlangıç ve bitiş noktaları ile uzunlukları yer almaktadır.

4. Adım Adım Çevre Hesabı

Çevrenin sıralı köşelerini saat yönünde takip ediyoruz:

  1. (0,0) → (28,0) [Üst Kenar]

    • Tüm kareler üst kenarı hizalı olduğundan, x ekseni boyunca doğrudan 0’dan 28’e gidiyoruz.
    • Kenar uzunluğu: 28 - 0 = **28** metredir.

  2. (28,0) → (28,5) [Küçük Karenin Sağ Kenarı]

    • Küçük karenin yüksekliği 5 m’dir.
    • Bu dikey uzunluk: 5 - 0 = **5** metredir.

  3. (28,5) → (23,5) [Küçük Karenin Alt Kenarı]

    • Küçük kare 5 m kenar uzunluğuna sahiptir; alt kenar da 5 m’dir.
    • Kenar uzunluğu: 28 - 23 = **5** metredir.

  4. (23,5) → (23,9) [Orta Karinın Dikey Uzantısı]

    • Orta kare 9 m yüksekliğinde olduğu için alt kenarı y=9 seviyesindedir. Küçük karede alt kenar 5 m seviyesinde olduğundan, bu aradaki dikey mesafe 9 - 5 = **4** metredir.
    • Bu segment, şeklin sağ tarafında ortadaki kare ile küçük kare arasındaki dikey “basamak”tır.

  5. (23,9) → (14,9) [Orta Karenin Alt Kenarı]

    • Orta karenin sağ alt köşesi (23,9), sol alt köşesi ise (14,9) olduğu için yatay uzaklık 23 - 14 = 9 metredir.
    • Orta karenin alt kenarı budur.

  6. (14,9) → (14,14) [Büyük Karenin Dikey Uzantısı]

    • Büyük karenin alt kenarı 14 m seviyesindedir. Orta karenin altı 9 m seviyesinde bittiği için, 14 - 9 = 5 metrelik bir dikey mesafe mevcuttur.
    • Burası şeklin ortadaki “basamak” kısmıdır.

  7. (14,14) → (0,14) [Büyük Karenin Alt Kenarı]

    • Büyük karenin alt kenarı soldan sağa 14 m’dir.
    • Koordinatlara göre, soldaki alt köşe (0,14), sağdaki alt köşe (14,14) olduğundan uzunluk 14 metredir.

  8. (0,14) → (0,0) [Şeklin Sol Kenarı]

    • Büyük karenin sol kenarı yine 14 m’dir. Alttan üste geri dönüş 14 metredir.

Bu kenar uzunluklarının hepsini topladığımızda şeklin toplam çevresini elde ederiz:

  • Adım 1: 28 m
  • Adım 2: 5 m
  • Adım 3: 5 m
  • Adım 4: 4 m
  • Adım 5: 9 m
  • Adım 6: 5 m
  • Adım 7: 14 m
  • Adım 8: 14 m

Şimdi bunları toplayalım:

28 + 5 + 5 + 4 + 9 + 5 + 14 + 14 = 28 + 5 + 5 + 4 + 9 + 5 + 14 + 14 = 84

Şeklin çevresi = 84 metredir.

5. Bütün Adımların Özeti ve Temel Kavramlar

Aşağıda, tüm süreci tek bir tabloda özetleyerek gösteriyoruz:

Aşama Başlangıç Noktası Bitiş Noktası Kenarın Türü Uzunluk (m)
1 - Üst Kenar (0,0) (28,0) Üç kareyi üstten birleştiren düz çizgi 28
2 - Sağ Dikey (28,0) (28,5) Küçük karenin sağ kenarı 5
3 - Küçük Alt (28,5) (23,5) Küçük karenin alt kenarı 5
4 - Aradaki Dikey (23,5) (23,9) Küçük ve orta kare arasındaki “basamak” 4
5 - Orta Alt (23,9) (14,9) Orta karenin alt kenarı 9
6 - İkinci Dikey (14,9) (14,14) Orta kare ve büyük kare arasındaki “basamak” 5
7 - Büyük Alt (14,14) (0,14) Büyük karenin alt kenarı 14
8 - Sol Dikey (0,14) (0,0) Büyük karenin sol kenarı 14
Toplam - - - 84

Dikkat edilmesi gereken en önemli nokta, karelerin birbirine temas ettiği yerlerin iç kenar sayılacağı ve çevreye dahil edilmeyeceğidir. Bu nedenle yalnızca en dış çizgiler toplanmıştır.

6. Karelerin Çevresi ve Toplam Çevre Arasındaki Fark

Birçok öğrencinin düştüğü hata, üç karenin çevrelerini toplayıp sonra bazı kenarları çıkarmaya çalışmaktır. Elbette bu da bir yoldur, ancak her zaman daha karmaşık ve hata yapmaya müsaittir. Çünkü

  • Büyük Karenin çevresi: 4 \times 14 = 56 m
  • Orta Karenin çevresi: 4 \times 9 = 36 m
  • Küçük Karenin çevresi: 4 \times 5 = 20 m
  • Üçünü toplarsanız 56 + 36 + 20 = 112 m çıkar.

Fakat bu 112 m, her kareyi ayrıymış gibi düşünüp hepsini dıştan dolaştığınız varsayıma dayalıdır. Kareler birbirine bitişik olduğunda, ortak kenarlar çevreye dahil olmaz. Dolayısıyla doğru sonuç bulmak için mutlaka dış hatları tek tek incelemek gerekir.

Bu problemde, kareler üst kenarları boyunca hizalanıp yanyana konulduğundan, toplam çevre, tek tek çevrelerin toplamından küçüktür. Yukarıdaki mantıklı sıralamayla veya koordinat sistemiyle en rahat şekilde doğru cevaba ulaşılabilir.

7. Perimetre (Çevre) Kavramının Önemi

Bu sorudaki “çevre” kavramı geometrinin temel konularından biridir. Bir 2 boyutlu şeklin çevresi, sınırını oluşturan hattın toplam uzunluğudur. Gerçek hayatta birçok projede (örneğin bahçe duvarı uzunluğu, halı bordürü vb.) benzer yaklaşım söz konusudur.

7.1. Karesel Şekillerde Perimetre

  • Bir karede çevre basitçe 4 \times (\text{kenar uzunluğu}) formülüyle bulunur.
  • Birden fazla kareyi birleştirdiğinizde, paylaşılan kenarlar şeklin dışına çıkmadığı için, birleşik şeklin toplam çevresi her bir karenin çevresinden az olur.

7.2. Koordinat Geometrisiyle Hesap

  • Koordinat geometrisi, özellikle sınırların net olduğu ve şekillerin doğru şekilde bitiştiği durumlarda hatasız bir sonuç sağlar.
  • Koordinat düzlemi üzerinde her noktayı x ve y koordinatı ile etiketeleyerek, yatay ve dikey uzaklıkları kolayca ölçebilirsiniz.

8. Sık Karşılaşılan Yanlışlar

  1. Birebir Kenar Toplamı Yapmak: Bazı öğrenciler, büyük + orta + küçük karenin kenarlarını direk ekleyerek 56 + 36 + 20 = 112 sonucuna ulaşıp, hiç paylaşılan kenarları dikkate almadan cevap verebilir. Bu hata çevrede gereğinden fazla kenar saymaya neden olur.
  2. Yanlış Hizalama: Karelerin üst kısımlarının aynı seviyede olmadığı (farklı hizalarda) durumlarda bazen karmaşa yaşanabilir. Bu sorudaki gibi üst kenarlı hizalı olduğu zaman, hesaplamalar daha kolaylaşıyor. Farklı hizalarda olsaydı yine benzer bir mantık ve koordinat yaklaşımıyla çevre hesaplanabilirdi.

9. Daha Fazla Alıştırma

  1. Hizalı Dikdörtgenler: İki veya daha fazla dikdörtgeni üst üste ya da yan yana ekleyip çevre hesaplaması yapma.
  2. Kompleks Çokgenler: Farklı çokgendeki paylaşılan kenarların nasıl hesaplanması gerektiğine dair pratik sorular.
  3. Gerçek Hayat Uygulamaları: Bir bina projesinde, plan üzerinde dış duvarların toplam uzunluğunu bulma veya bir bahçenin etrafını çevreleyen duvarın uzunluğunu tahmin etme.

Bu tür alıştırmalar, paylaşılan kenar, dış kenar gibi kavramları pekiştirerek soruları daha doğru ve hızlı çözmenize yardımcı olacaktır.

10. Sonuç ve Kısa Özet

  • Büyük kare: Kenar = 14 m
  • Orta kare: Kenar = 9 m
  • Küçük kare: Kenar = 5 m
  • Yerleşim: Üst kenarlar hizalanmış, yanyana dizilmiştir.
  • Şeklin çevresi: Dış sınırların toplanması sonucu 84 m bulunur.

Bu şekilde, paylaşılan kenarların “içte kaldığı” ve dış sınırları hesaplarken sadece çevredeki kenarların dikkate alındığı unutulmamalıdır.

Özet Tablo

Aşağıdaki tablo, her bir kare ve şekil bileşenini kısaca tekrar gösterir:

Kare Alan (m²) Kenar (m) Şekildeki Yeri
Büyük Kare (kare A) 196 14 Solda, üst kenar y=0’dan y=14’e iner
Orta Kare (kare B) 81 9 Ortada, üst kenar y=0’dan y=9’a iner
Küçük Kare (kare C) 25 5 Sağda, üst kenar y=0’dan y=5’e iner
Birleşik Şeklin Çevresi - - 84 m

Bu tabloda da görüldüğü gibi, tek tek karelerin kenarlarını toplamak yerine, karelerin birleşiminden meydana gelen dış çizgilerin toplam uzunluğu bize 84 metre sonucunu vermektedir.

Kaynaklar

Bu problemde kullandığımız yöntem, geometrik şekilleri parçalayarak veya koordinat sistemini kullanarak dış kenarları bulmayı esas alır. Özellikle birden fazla çokgen (kare, dikdörtgen vb.) birleştirildiğinde, iç kenarların çevreye dahil olmadığına dikkat edilmelidir.

Doğru cevap: 84 metredir.

@06Yigit20