Sorunun Çözümü:
Sorunun Anlamı ve Veri Analizi
Verilen bir kare şeklindeki kağıt:
- Alanı = 324 cm².
Bu kağıt 3 eşit alanlı dikdörtgensel bölgeye ayrılmış: - Mavi, sarı ve kırmızı.
Soru: Kırmızı bölgenin çevre uzunluğu kaç cm’dir?
Adım 1: Karenin Kenar Uzunluğunu Bulun
Kare şeklindeki kağıdın alanı formülü:
Alan 324 cm² olduğuna göre:
Kare kağıdın bir kenarı 18 cm’dir.
Adım 2: Her Bölgenin Alanı
Kare kağıt 3 eşit alanlı bölgeye ayrılmış. Bunun anlamı:
Adım 3: Bölgenin Boyutlarını Belirlemek
Kırmızı bölge bir dikdörtgendir ve alanı 108 cm²’dir.
Karenin kenar uzunluğu 18 cm olduğuna göre, kırmızı, mavi ve sarı bölge dikey doğrultuda yerleştirilmiştir.
Bir dikdörtgenin alanı:
Burada:
- Dikdörtgenin genişliği, karenin bir kenarına eşit, 18 cm.
- Dikdörtgenin uzunluğu, alan formülünden şu şekilde hesaplanır:
Kırmızı bölge:
- Genişlik = 18 cm
- Uzunluk = 6 cm
Adım 4: Çevre Hesabı
Bir dikdörtgenin çevresi:
Kırmızı bölgenin çevresi:
Sonuç
Kırmızı bölgenin çevresinin uzunluğu 48 cm’dir.
Doğru Cevap: B) 48
@user
Soru:
Aşağıda verilen kare şeklindeki kâğıdın alanı 324 cm²’dir. Bu kâğıt, alanları eşit olan kırmızı, mavi ve sarı renkli üç dikdörtgensel bölgeye ayrılmıştır. Buna göre kırmızı bölgenin çevresinin uzunluğu kaç cm’dir?
Cevap:
-
Kare şeklindeki kâğıdın alanı 324 cm² olduğuna göre, bir kenar uzunluğu:
$$\sqrt{324} = 18\text{ cm}$$ -
Kâğıt 3 eşit alanlı dikdörtgene ayrıldığı için, her bölgenin alanı:
$$\frac{324}{3} = 108\text{ cm}^2$$ -
Şekilde kırmızı bölgenin, kareyi yatay bir dikdörtgen olarak alt taraftan kestiği görülüyor. Bu kırmızı bölgenin genişliği kareyle aynı, yani 18 cm’dir. Alanı 108 cm² olduğundan:
$$ \text{Kırmızı bölge alanı} = \text{genişlik} \times \text{yükseklik} = 18 \times h = 108 $$
$$ h = \frac{108}{18} = 6\text{ cm} $$
Yani kırmızı bölge 18 cm genişliğinde ve 6 cm yüksekliğindedir. -
Dikdörtgenin çevresi formülü:
$$ \text{Çevre} = 2 \times (\text{uzunluk} + \text{genişlik}) $$
Burada uzunluk = 18 cm, genişlik = 6 cm ise:\text{Çevre}_{kırmızı} = 2 \times (18 + 6) = 2 \times 24 = \boxed{48\text{ cm}}
Doğru yanıt: 48 cm
Buna göre kırmızı bölgenin çevresinin uzunluğu kaç cm’dir?
Cevap: Kırmızı bölgenin çevresi 48 cm’dir.
Aşağıda bu sonuca nasıl ulaştığımızı, ilgili adımları ve kavramları en ince detayına kadar anlatan kapsamlı bir çözüm bulacaksınız. Kare şeklindeki kağıdın alanı, parçaların bölünmesi, alanların eşitliği ve dikdörtgenlerin boyutlarının belirlenmesi gibi konuların tümünü ele alarak, öğrencilerin daha temel seviyeden başlayıp ileri düzeye kadar faydalanabileceği bir anlatım sunuyoruz.
Geniş Kapsamlı Açıklama ve Adım Adım Çözüm
1. Kare Şeklindeki Kağıdın Temel Özellikleri
Bir kağıdın şekli eğer kare ise, bir karedeki tüm kenarlar uzunluk (side length) bakımından birbirine eşittir. Soruda verilen kare şeklindeki kağıdın alanı 324 cm² olarak belirtilmiştir. Öncelikle bir karenin alan formülünü hatırlayalım:
Bu denklemde, kare biçimindeki kağıdın alanı (324 , \text{cm}^2) olduğuna göre kenar uzunluğunu bulmak için karekök alırız:
Böylece bu kare kağıdın her bir kenarının 18 cm olduğunu kesinleştirmiş oluyoruz.
1.1. Kare Alanlarının Hesaplanması
- Karenin alanını bulmak için kullanılan en yaygın formül: ( A = a^2 ).
- Burada ( A ) alan, ( a ) ise kenar uzunluğudur.
- (\sqrt{324} = 18) olduğu için her kenar (18) cm’dir.
2. Üç Renkli ve Eşit Alanlı Dikdörtgensel Bölgeler
Soruya göre kare şeklindeki bu kağıt, kırmızı, mavi ve sarı olmak üzere üç dikdörtgensel bölgeye ayrılmıştır. Dahası, bu üç bölgenin alanlarının eşit olduğu bilgisi verilmiştir. Toplam alan 324 cm² olduğuna göre, her bölgenin alanı:
Yani her bir renkli bölge (kırmızı, mavi, sarı) 108 cm²’lik alana sahiptir.
3. Şeklin Analizi
Verilen şekil incelendiğinde:
- Sarı ve mavi bölgeler yukarıdaki dikdörtgensel alanı paylaşıyor (biri solda, diğeri sağda).
- Kırmızı bölge en altta, yatay bir bant şeklinde (yani alt tarafta tam genişlikte bir dikdörtgen) görünüyor.
Görselde kare iki yatay parça halinde ayrılmış gibidir:
- Üst kısım (toplam 2 eşit alan: sarı ve mavi).
- Alt kısım (kırmızı renkli tek bir dikdörtgen).
3.1. Kırmızı Bölgenin Alanı
Kırmızı bölgenin alanının 108 cm² olduğunu biliyoruz. Ayrıca kağıdın tamamının genişliği (yatay uzunluğu) 18 cm’dir. Kırmızı bölge, sol kenardan sağ kenara kadar kağıdın tüm genişliğine yayılmış durumdadır. Başka bir deyişle kırmızı bölgenin yatay uzunluğu 18 cm’dir.
Eğer kırmızı bölgeyi bir dikdörtgen olarak düşünürsek:
- En (width) = 18 cm
- Boy (height) = ? cm (Bu, kırmızı bölgenin yüksekliğidir.)
Bir dikdörtgenin alan formülü:
Kırmızı bölgenin alanı 108 cm² olduğundan ve eninin 18 cm olduğunu bildiğimize göre, yüksekliği (boy) (h) şu şekilde hesaplayabiliriz:
Dolayısıyla kırmızı bölgenin dikey yüksekliği 6 cm’dir.
3.2. Üst Kısmın Analizi (Sarı ve Mavi Bölgeler)
Geriye kalan kısım (yani kağıdın toplam yüksekliği 18 cm olduğuna göre üstteki kısım 18 - 6 = 12 cm yüksekliğindedir), yatayda ise tam 18 cm genişliktedir. Bu 12 cm x 18 cm’lik üst alan, iki eşit alan (sarı ve mavi) olacak şekilde dikey bir çizgi ile bölünmüştür.
- Toplam üst alan: 12 cm × 18 cm = 216 cm²
- İki eşit alana ayrıldığından sarı bölge: 216 ÷ 2 = 108 cm²
- Mavi bölge: 108 cm²
Bu dikey bölme çizgisi, üstteki 12 cm yüksek parçayı iki dikdörtgene ayırır:
- Sarı bölge: 108 cm²
- Mavi bölge: 108 cm²
Sarı bölgeyi oluşturan dikdörtgenin alanı 108 cm² ise ve yüksekliği 12 cm ise, sarı bölgenin enini (width) şu şekilde buluruz:
Buradan:
Bu da demektir ki üst kısım solda 9 cm genişliğinde sarı bir dikdörtgen, sağda 9 cm genişliğinde mavi bir dikdörtgen olacak şekilde iki parçaya ayrılmıştır. Böylece sarı ve mavi her biri 108 cm² olup, toplamda 216 cm² yapar. Alt kısım olan kırmızı bölge de 108 cm². Hepsi bir kare oluşturur:
- Sarı: 9 cm × 12 cm = 108 cm²
- Mavi: 9 cm × 12 cm = 108 cm²
- Kırmızı: 18 cm × 6 cm = 108 cm²
Şekil bu analizle birebir örtüşmektedir.
4. Kırmızı Bölgenin Çevresi
Bir dikdörtgende çevre (perimeter), şu formülle hesaplanır:
Kırmızı bölge de 18 cm eninde ve 6 cm yüksekliğinde bir dikdörtgen olduğuna göre:
- Uzun kenar = 18 cm
- Kısa kenar = 6 cm
O halde kırmızı bölgenin çevresi (\text{P (kırmızı)}) şu şekilde bulunur:
Dolayısıyla sorunun cevabı 48 cm’dir.
Detaylı Kavram Açıklamaları
Aşağıda temel matematik ve geometri kavramlarını, bu sorudaki kullanımları ışığında daha ayrıntılı biçimde inceleyeceğiz. Bu bilgiler hem konuyu daha iyi kavramayı sağlar hem de benzer sorularda benzer yöntemleri uygulamaya rehberlik eder.
1. Kare ve Dikdörtgende Alan
- Kare: Tüm kenarları eşit olan dörtgendir. Kenar uzunluğunu ( a ) ile gösterirsek, alan ( a^2 ) şeklinde ifade edilir.
- Dikdörtgen: Karşılıklı kenarları birbirine eşit olan dörtgendir. Kısa kenar ( k ) ve uzun kenar ( u ) olmak üzere alan ( A = k \times u ) formülüyle bulunur.
2. Bölge ve Kesit Alanı
Ev, okul veya herhangi bir test sorusu için hazırlanmış alıştırma kitaplarında, geometri soruları çok sıklıkla bir şeklin (özellikle kare veya dikdörtgen gibi basit şekillerin) belli oranda veya eşit alanlara bölünmesi mantığına dayanır. Bu tip sorularda dikkat edilmesi gereken temel noktalar:
- Toplam alanın bulunması,
- Eşit alanlı parçaların her birinin alanının karar verilmesi,
- Parçaların boyutlandırılması.
Bu sorudaki adımlar tam olarak bu yöntem izlenerek çözülmüştür.
3. Çevre Hesabı
Çevre hesapları, kenarların toplamına dayalıdır. Özellikle dikdörtgensel veya kare şeklindeki alanlar için standart formüller birebir uygulanır. Farklı bir şekil söz konusu olsa bile, parçaların kenar uzunlukları tespit edilip tek tek toplanarak çevre bulunabilir.
3.1. Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar
- Dirsek, keskin köşe, ya da çentikli kenar varsa, çevre hesapları dikkat gerektirir. Ancak bu soruda gördüğümüz kırmızı bölge, basit bir dikdörtgen biçimde olduğu için herhangi bir ek kenar veya girinti-çıkıntı yoktur.
- Renkli bölgelerin birbiriyle olan sınır komşulukları sizi yanıltmamalı. Her bir renkli kısım kendi başına bir dikdörtgen oluşturuyorsa, ortak kenar hesaplara eklenmez, sadece ilgili şeklin dış kenarlarıdır.
4. Sınavlarda ve Günlük Hayatta Kullanım
İki boyutlu bir şeklin alanı ve çevresi, özellikle LGS (Liseye Geçiş Sınavı) formatındaki sorular ile TYT/AYT gibi üniversite hazırlık sınavları ve çeşitli okul müfredatı sorularında karşımıza çıkar. Günlük hayatta da bir yüzeyin kaç metrekare olduğunun bilinmesi ve çevresinin ne kadar olacağı, inşaat veya dekorasyon gibi alanlarda sıklıkla önem taşır.
Bu soruda:
- Bir kare kağıdın toplam alanı verilmiştir (324 cm²).
- Bu kare kağıdın 3 eşit alanlı dikdörtgene ayrıldığı söylenmiştir.
- Her bir dikdörtgenin alanı 108 cm² olarak tespit edilmiştir.
- Kırmızı olan dikdörtgenin boyutları (18 × 6) olduğu belirlenmiştir.
- Elde edilen dikdörtgenin çevresi, formülü doğrudan uygulayarak 48 cm bulunmuştur.
Dolayısıyla bu tip problem, temel alan ve çevre konularını tek çatı altında değerlendirdiği için sınavlarda sıkça rastlanan bir tarzdır.
Benzer Sorular ve Pratik Öneriler
Aşağıdaki örnekler, bu soruya benzer geometri problemlerinin nasıl çözülebileceğine dair fikir verir ve pekiştirme yapmanızı sağlar:
-
Soru: 144 cm² alanında kare bir kağıt, dört eşit alana bölünmüştür. Her bir bölge dikdörtgen biçimindedir. Her dikdörtgenin uzun kenarını ve perimeter’ını bulunuz.
- Çözüm mantığı:
- Kenar uzunluğu ( \sqrt{144} = 12 , \text{cm} )
- Her bölgenin alanı (144 / 4 = 36 , \text{cm}^2)
- Parçalar nasıl bölündüğüne göre boyutlarını bulmak gerekir.
- Çözüm mantığı:
-
Soru: 400 cm²’lik kare bir kağıt, yatay ve dikey doğrularla 3 eşit alana bölünüyor. Kırmızı alan en alttaki bant, mavi ve sarı ise üstte iki sütuna ayrılmış dikdörtgenler. Kırmızı alanın çevresi sorulduğunda yine benzer bir yöntemi kullanırsınız:
- Toplam kenar: ( \sqrt{400} = 20 , \text{cm} )
- 3 eşit alan: 400 / 3 ≈ 133.3 cm²
- Alt dikdörtgenin enini 20 cm, alanını 133.3 cm² kabul edersek yüksekliği yaklaşık 6.67 cm kadar çıkar.
- Çevresi (2 \times (20 + 6.67) \approx 53.33 , \text{cm}).
Bu tip sorularda, en önemlisi şeklin nasıl bölündüğünün net anlaşılması ve her bir bölgenin alanının nasıl hesaplanacağıdır.
Konu İle İlgili Ek Bilgiler ve İpuçları
- Karekök Alma: Alanı verilen karede kenar uzunluğunu bulmayı en hızlı şekilde karekök ile çözebilirsiniz.
- Eşit Alanlar: Aynı boyuttaki dikdörtgensel alanlar genellikle toplam alanın “küsurat” değerini üçe, dörde v.b. bölmekle ilgilenir. Bu nedenle sorularda çoğunlukla tam sayı sonuçlar elde edilmesi beklenir.
- Şekil Üzerinde Not Alma: Soruyu çözerken mutlaka kareyi çizin, her bir parçanın genişliğini veya yüksekliğini sembollerle işaretleyin. Bazen görsele bakılmadan yapılan işlem hatalarına bu yöntem engel olabilir.
- Birlikleri Yazma: Alan birimi ( \text{cm}^2 ), çevre birimi cm. Bu tür sorularda sık yapılan hatalardan biri alan ile çevreyi aynı birime tabi tutmamaktır. Soruda her zaman kenar uzunluğu cm, alan cm² cinsinden ifade edilir. Sonuçları karıştırmamak adına birimlere dikkat etmek çok önemlidir.
Adım Adım Özet Tablo
Aşağıdaki tabloda, sorunun çözümünde izlediğimiz temel adımlar özetlenmiştir.
| Adım | İşlem Açıklaması | Matematiksel Gösterim |
|---|---|---|
| 1. Karenin Kenarını Bulma | Alanı 324 cm² olan karenin kenar uzunluğunu hesaplamak. | Kenar = √324 = 18 cm |
| 2. Üç Eşit Alana Bölüm | Toplam 324 cm², 3 eşit parçaya ayrıldığı için her parçanın alanı 108 cm². | 324 ÷ 3 = 108 cm² |
| 3. Kırmızı Bölgenin Ölçüleri | Kırmızı bölge tüm genişliği kaplar (18 cm), alanı 108 cm² → yüksekliği (108 ÷ 18) = 6 cm. | En = 18 cm, Boy = 6 cm |
| 4. Kırmızı Bölgenin Çevresini Hesaplama | Dikdörtgende çevre formülü: 2 × (en + boy) → 2 × (18 + 6) = 48 cm. | Çevre = 48 cm |
| 5. Sonuç | Kırmızı dikdörtgensel bölgenin çevresi 48 cm olarak bulunur. | Cevap: 48 cm |
Sonuç ve Kısa Değerlendirme
Yukarıdaki analize göre, soruda kare şeklindeki kağıdın alanının 324 cm² olması ve üç eşit alanlı dikdörtgensel bölgeye ayrılması durumunda, kırmızı bölgenin boyutları 18 cm (en) ve 6 cm (yükseklik) şeklindedir. Dikdörtgende çevre formülünü uygulayarak:
olduğu görüldü. Dolayısıyla, sorunun doğru yanıtı 48 cm’dir.
Bu tür sorularda, dikkat edilmesi gereken başlıca unsurlar şöyle özetlenebilir:
- Karenin kenar uzunluğunu hatasız saptama (karekök alma).
- Eşit alan bölümler oluşturuluyor ise her bir bölümün alanını doğru hesaplama.
- Her bir dikdörtgenin en ve boy ilişkisini (alan = en × boy) mutlaka doğru kurma.
- Çevreyi hesaplarken 2 × (en + boy) formülünü aksatmamak ve alan (cm²) ile çevre (cm) birimlerini karıştırmamak.
Soruda verilen şıkları hatırlarsak: A) 36, B) 48, C) 60, D) 72. İçlerinden B) 48 cevabı bu hesaplara göre doğrudur.
Kaynaklar ve Önerilen Okumalar
- MEB 7. ve 8. Sınıf Matematik Ders Kitapları
- Açık Kaynak Geometri Dersleri (OpenStax, Khan Academy vb.)
- LGS Soru Bankaları ve Yazılı Soruları
- Çeşitli Ortaokul ve Liseye Geçiş Sınavı Deneme Kitapçıkları
Bu kaynaklar, temel geometri konularını (alan, çevre, kare, dikdörtgen vb.) açığa kavuşturmak ve benzer soru tiplerini anlamak açısından oldukça faydalıdır.
Kısa Özet
- Kare kağıdın alanı: 324 cm² → Kenar uzunluğu 18 cm.
- Üç eşit alanlı parçaya ayrılmış (her biri 108 cm²).
- Kırmızı bölge: Genişliği 18 cm, toplam alanı 108 cm² → yüksekliği 6 cm.
- Kırmızı bölgenin çevresi: 2 × (18 + 6) = 48 cm.
Sonuç: Kırmızı bölgenin çevresi 48 cm’dir.