Soruyu Anlama ve Çözümleme:
Bizden istenen:
$$\lim_{x\to -2} f(x) + \lim_{x\to -1} f(x) - \lim_{x\to 2} f(x)$$
ifadelerinin toplamını hesaplamaktır.
Fonksiyon parçalı olarak verilmiş:
- f(x) = \frac{4x-3}{x+1},\ x\leq -1
- f(x) = \frac{3-x}{2x+1},\ x > -1
1- \lim_{x \to -2} f(x) Hesabı:
x \to -2 için x \leq -1 şartı sağlanır, bu yüzden ilk fonksiyon kullanılmalıdır:
$$f(x) = \frac{4x-3}{x+1}$$
x = -2 yerine konulursa:
$$f(-2) = \frac{4(-2)-3}{-2+1} = \frac{-8-3}{-1} = \frac{-11}{-1} = 11$$
Bu durumda:
$$\lim_{x \to -2} f(x) = 11$$
2- \lim_{x \to -1} f(x) Hesabı:
x = -1 kritik bir noktadır ve x = -1 için parçalı fonksiyonun hangi kısmının kullanılacağını incelemeliyiz:
Soldan Limit (x \to -1^-):
x \leq -1 olduğundan:
$$f(x) = \frac{4x-3}{x+1}$$
x \to -1 yerine:
$$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \frac{4(-1)-3}{-1+1} = \frac{-4-3}{0} = \text{tanımsız}$$
Sağdan Limit (x \to -1^+):
x > -1 olduğundan:
$$f(x) = \frac{3-x}{2x+1}$$
x \to -1 yerine:
$$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \frac{3-(-1)}{2(-1)+1} = \frac{4}{-2+1} = \frac{4}{-1} = -4$$
Sağdan ve soldan limit eşit olmadığından toplam limit yoktur:
$$\lim_{x \to -1} f(x) \text{ tanımsızdır!}$$
3- \lim_{x \to 2} f(x) Hesabı:
x \to 2 için x > -1 şartı sağlanır, bu yüzden ikinci fonksiyon kullanılmalıdır:
$$f(x) = \frac{3-x}{2x+1}$$
x = 2 yerine konulursa:
$$f(2) = \frac{3-2}{2(2)+1} = \frac{1}{4+1} = \frac{1}{5}$$
Bu durumda:
$$\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{1}{5}$$
İfade Sonucu:
Toplam:
$$\lim_{x\to -2} f(x) + \lim_{x\to -1} f(x) - \lim_{x\to 2} f(x)$$
Buradan:
$$11 + \text{tanımsız} - \frac{1}{5}$$
Sonuç: \lim_{x\to -1} f(x) tanımsız olduğu için verilen toplam belirlenemez.
Sorunuzla ilgili başka bir açıklama veya yardım gerekiyorsa yazabilirsiniz! 
@sorumatikbot
Soru: f(x) fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır
• f(x) = (4x − 3) / (x + 1), x < −1
• f(x) = (3 − x) / (2x + 1), x > 1
Buna göre,
lim (x → −2) f(x) + lim (x → 1⁺) f(x) − lim (x → −2⁻) f(x)
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevap:
Aşağıda adım adım limit hesaplamalarını yapalım.
1. f(x) Fonksiyonunun İncelenmesi
-
x < −1 aralığında
f(x) = (4x − 3) / (x + 1) -
x > 1 aralığında
f(x) = (3 − x) / (2x + 1)
Dikkat edersek, fonksiyon −1 ile 1 arasında tanımlı değildir. Bu yüzden x → −2 ve x → 1⁺ limitleri sadece belirtilen parçalardan hesaplanacaktır.
2. lim (x → −2) f(x) Hesabı
x = −2 değeri, f(x) ’in x < −1 parçasına dâhil olduğu için şu ifadeyi kullanırız:
f(x) = (4x − 3) / (x + 1).
Hesaba geçelim:
x → −2 olduğunda,
(4(−2) − 3) / ((−2) + 1) = (−8 − 3) / (−1) = (−11) / (−1) = 11.
Dolayısıyla,
lim (x → −2) f(x) = 11.
3. lim (x → −2⁻) f(x) Hesabı
Aslında x → −2⁻ (soldan yaklaşım) yine x < −1 bölgesinde gerçekleşir. Dolayısıyla fonksiyon aynı ifadedir ve değer yine 11 bulunur:
lim (x → −2⁻) f(x) = 11.
4. lim (x → 1⁺) f(x) Hesabı
Şimdi x = 1’den büyük değerlere bakarız (x > 1 bölgesi). Burada
f(x) = (3 − x) / (2x + 1).
1’e sağdan (yani 1⁺) yaklaşırken fonksiyonun değeri:
(3 − 1) / (2(1) + 1) = 2 / 3.
Bu nedenle,
lim (x → 1⁺) f(x) = 2/3.
5. İstenen İfadeyi Hesaplama
Soru bizden şu ifadeyi istiyor:
lim (x → −2) f(x) + lim (x → 1⁺) f(x) − lim (x → −2⁻) f(x).
Yukarıdaki bulgularımızı yerleştirelim:
• lim (x → −2) f(x) = 11
• lim (x → 1⁺) f(x) = 2/3
• lim (x → −2⁻) f(x) = 11
Dolayısıyla:
11 + (2/3) − 11 = 2/3.
Sonuç: İstenen ifadenin değeri 2/3 ’tür.
Özet Tablo
| Yaklaşılan Değer | Geçerli Tanım | Hesaplanan Limit |
|---|---|---|
| x → −2 | f(x) = (4x − 3)/(x + 1) | lim (x → −2) f(x) = 11 |
| x → −2⁻ | Aynı parça (x < −1) | lim (x → −2⁻) f(x) = 11 |
| x → 1⁺ | f(x) = (3 − x)/(2x + 1) | lim (x → 1⁺) f(x) = 2/3 |
| İstenen İfade | — | 11 + 2/3 − 11 = 2/3 |
Kısa Özet
• x = −2 noktasında (x < −1 parçası kullanıldığından) fonksiyonun limiti 11 çıkar.
• x = 1 noktasının sağından yaklaştığımızda (x > 1 parçası) limit 2/3 bulunur.
• x = −2 noktasına soldan yaklaşım da yine aynı (x < −1) parça olduğu için limit 11’dir.
• Sonuçta hesaplanan ifade 2/3 olarak elde edilir.