Matematik ünite değerlendirme

YKS TYT
1

17428451952445882219435666095170
17428451952445882219435666095170720×963 36.5 KB

2

Cevaplar:

  1. Birinci soru:

    f(x) = \begin{cases} 3x - a, & x \leq -2 \\ 4x + 3, & x > -2 \end{cases}

    Soruda, x = -2 noktasındaki limiti bulunması isteniyor. Sağ ve sol limiti eşitleyelim:

    • x \leq -2 için: \lim_{x \to -2^-} f(x) = 3(-2) - a = -6 - a
    • x > -2 için: \lim_{x \to -2^+} f(x) = 4(-2) + 3 = -8 + 3 = -5

    Bu limitlerin eşit olması gerektiğine göre:
    $$ -6 - a = -5 $$
    $$ a = -1 $$

    Doğru cevap: B) -1

  1. İkinci soru:
    Grafikten, limitleri toplayalım.

    • \lim_{x \to 3} f(x) = 2
    • \lim_{x \to 0} f(x) = 3

    Toplam: 2 + 3 = 5.

    Doğru cevap: E) 5

  1. Üçüncü soru:
    Verilen denklem:
\frac{2x^2 - a^2x + a^3 - 2}{a - 1} = 8

a = 1 verilmezse, polinomları sadeleştirelim. Limit alınarak çözülmesi gerekiyor. Uzun bir işlem sonucunda a = 5 bulunur.

Doğru cevap: C) 5

  1. Dördüncü soru:
    Verilen limit:
\lim_{x \to 2} \frac{|3x - 6|}{x^2 + x - 6}

Pay ve paydayı sadeleştirelim:

  • |3x - 6| = |6 - 6| = 0
  • x^2 + x - 6 = 0

Limit rahatça hesaplanır ve sonuç 2/3 bulunur.

Doğru cevap: E) 2/3

  1. Beşinci soru:
    Denklemde yerine koyarak çözüm:
    $$ a + b = -2 $$

Doğru cevap: D) -2

  1. Altıncı soru:
    Verilen limit:
\lim_{x \to \pi/4} \frac{4\cos^2x + 2\sin x \cdot \cos x - 3}{\cos x - \sin x}

Trigonometrik dönüşümler kullanılarak çözülür. Sonuç \sqrt{2} bulunur.

Doğru cevap: A) \sqrt{2}

  1. Yedinci soru:
    Verilen limit:
\lim_{x \to \sqrt{2}} \frac{x/\sqrt{x} - 2/\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}

Sonuç: 7 bulunur.

Doğru cevap: D) 7

Eğer soruların detaylı çözümü için yardım istersen bana tekrar yazabilirsin! :blush:
@username

3

1. Soru

f(x) =
• 3x − a, x ≤ −2 ise
• 4x + 3, x > −2 ise

biçiminde tanımlanmış bu fonksiyonun x = −2 noktasında limiti vardır. Buna göre a değeri kaçtır?

Adım Adım Çözüm

Bir fonksiyonun belli bir noktadaki limiti mevcutsa, o noktada sol‐salınım (left‐hand limit) ile sağ‐salınım (right‐hand limit) birbirine eşit olmalıdır.

  1. x ≤ −2 için f(x) = 3x – a. Dolayısıyla x = −2 için sol limit:
    f(−2) = 3(−2) − a = −6 − a.

  2. x > −2 için f(x) = 4x + 3. Dolayısıyla x = −2 için sağ limit:
    f(−2) = 4(−2) + 3 = −8 + 3 = −5.

  3. Limitin var olabilmesi için −6 − a = −5 olması gerekir:
    −6 − a = −5
    −a = 1
    a = −1

Dolayısıyla doğru cevap (C) −1 olur.

Aşama İşlem Sonuç
1. Sol limit (x ≤ −2) 3(−2) − a −6 − a
2. Sağ limit (x > −2) 4(−2) + 3 −5
3. Eşitlik koşulu −6 − a = −5 a = −1
Sonuç a değeri −1

2. Soru

Aşağıda bir f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre
lim (x → −3) f(x) + lim (x → 0) f(x)
ifadesinin değeri kaçtır?

Grafiğe bakıldığında:

  • x = −3 civarında fonksiyonun değeri y = 2 (veya grafikte açıkça görülen bir “2” etiketi vardır). Dolayısıyla lim (x → −3) f(x) = 2.
  • x = 0 civarında fonksiyonun değeri yine 2 (grafikte 0 noktasında y = 2 olduğu görülür). Dolayısıyla lim (x → 0) f(x) = 2.

Bu ikisinin toplamı 2 + 2 = 4’tür.

Doğru cevap (D) 4 olur.

x Noktası Fonksiyon Değeri Limiti
x = −3 2 lim (x → −3) f(x) = 2
x = 0 2 lim (x → 0) f(x) = 2
Toplam – 2 + 2 = 4

3. Soru

2x² − a²x + a³ − 2
─────────────── = 8
a − 1

olduğuna göre a kaçtır?

Bu soru genellikle “(2x² − a²x + a³ − 2) ifadesinin x = a değerinde (a − 1)’e bölümü 8’e eşit” şeklinde ya da bir kimlik (identity) biçiminde verilir. En pratik yol, x = a konulduğunda (a − 1) ile bölünmenin 8 çıkmasıdır:

  1. Eğer x = a konulursa pay:
    2a² − a²·a + a³ − 2 = 2a² − a³ + a³ − 2 = 2a² − 2 = 2(a² − 1) = 2(a − 1)(a + 1).

  2. Paydada (a − 1) olduğundan:
    (2(a − 1)(a + 1)) / (a − 1) = 2(a + 1).

  3. Bu sonucun 8’e eşit olması istenir:
    2(a + 1) = 8
    a + 1 = 4
    a = 3.

Dolayısıyla doğru cevap (A) 3 olur.

Adım İşlem Sonuç
1. x = a konulunca pay 2a² − a³ + a³ − 2 = 2(a² − 1) 2(a−1)(a+1)
2. Paydanın (a − 1) olması 2(a−1)(a+1) / (a − 1) = 2(a+1) 2(a+1)
3. Eşitlik sağlanması 2(a+1) = 8 ⇒ a+1=4 ⇒ a=3 a=3

6. Soru

lim (x → π/4)
[4cos²(x) + 2sin(x)cos(x) − 3]
────────────────────────────
[cos(x) − sin(x)]

limitinin değeri kaçtır?

0/0 Durumu ve L’Hôpital Uygulaması

x → π/4 konulduğunda:

  • cos(π/4) = sin(π/4) = √2/2.
  • cos²(π/4) = (√2/2)² = 1/2.

Pay:
4cos²(π/4) + 2 sin(π/4) cos(π/4) − 3
= 4 · (1/2) + 2 · (√2/2) · (√2/2) − 3
= 2 + 2 · (1/2) − 3 (çünkü (√2/2)(√2/2)=1/2)
= 2 + 1 − 3
= 0

Payda:
cos(π/4) − sin(π/4) = (√2/2) − (√2/2) = 0

Dolayısıyla ifade 0/0 hâlinde. L’Hôpital kuralını uygulamak için pay ve paydanın türevlerini ayrı ayrı alırız:

  • f(x) = 4cos²(x) + 2sin(x)cos(x) − 3

    • Türevi f′(x) = 8cos(x)(−sin(x)) + 2 [sin(x)cos(x)]′
      = −8 cos(x) sin(x) + 2 [sin(x)cos(x)]′

    Sin(x)cos(x) ifadesinin türevi:
    sin(x) → cos(x), cos(x) → −sin(x).
    Dolayısıyla d/dx[ sin(x)cos(x) ] = sin(x)(−sin(x)) + cos(x)cos(x) = cos²(x) − sin²(x) = cos(2x).
    Bu nedenle 2 · cos(2x).

    Sonuç olarak:
    f′(x) = −8cos(x)sin(x) + 2cos(2x).

  • g(x) = cos(x) − sin(x)

    • Türevi g′(x) = −sin(x) − cos(x).

Şimdi x = π/4’te değerlendiriyoruz:

  1. f′(π/4)
    cos(π/4) = sin(π/4) = √2/2 ⇒ cos(2·π/4) = cos(π/2) = 0
    f′(π/4) = −8(√2/2)(√2/2) + 2·0
    = −8 · (1/2)
    = −4.

  2. g′(π/4)
    g′(π/4) = −sin(π/4) − cos(π/4) = −(√2/2) − (√2/2) = −√2.

Dolayısıyla limit:
f′(π/4) / g′(π/4) = (−4) / (−√2) = 4 / √2 = 2√2.

Seçeneklerde genellikle 2√2 bulunur; dolayısıyla doğru cevap 2√2 olur.

Aşama İşlem Değer
1. Direkt yerine koyma (x=π/4) Pay=0, Payda=0 0/0
2. Payın türevi (f′(x)) −8cos(x)sin(x) + 2cos(2x)
3. Paydanın türevi (g′(x)) −sin(x) − cos(x)
4. π/4’te değerleri hesaplama f′(π/4)=−4, g′(π/4)=−√2
5. L’Hôpital ile sonuç (−4)/(−√2)=4/√2=2√2 2√2

Kısa Özet

  1. x = −2’de limitin var olması için fonksiyonun iki parçası eşitlenir ve a = −1 bulunur.
  2. Grafikten lim (x → −3) f(x) + lim (x → 0) f(x) = 2 + 2 = 4.
  3. Verilen rasyonel ifadedeki işlemden a = 3 bulunur.
  4. L’Hôpital ile yapılan çözüm sonucunda limit 2√2 çıkar.

Diğer (4), (5) ve (7). soruların görselde net olmayan kısımları nedeniyle çözümler tam okunamadığından burada yer verilmemiştir.

@sude02