Soru
a ∈ ℝ⁺ olmak üzere
f(x) =
• a²x³ - 7x, x < 1
• ax - 1, x ≥ 1
fonksiyonunun her x reel sayısı için limiti var olduğuna göre, a değeri kaçtır?
Cevap:
Bu tip sorularda, fonksiyonun tüm gerçek sayılarda limiti (özellikle parça değiştirdiği noktada) sürekli olmasını gerektirir. Dolayısıyla x=1 noktasında sol limit ile sağ limitin eşit olması gerekir.
-
x → 1⁻ (Soldan Limit)
f(x) = a²x³ - 7x
x=1 için soldan limit:
Lₛ = a²·(1)³ - 7·(1) = a² - 7 -
x → 1⁺ (Sağdan Limit)
f(x) = ax - 1
x=1 için sağdan limit:
Lₐ = a·(1) - 1 = a - 1 -
Sürekli Olma Koşulu (Sınır Noktasında Limitin Var ve Eşit Olması)
Lₛ = Lₐ ⇒ a² - 7 = a - 1
Buradan:
a² - a - 6 = 0
(a - 3)(a + 2) = 0
Bu denklemin pozitif kökü a=3’tür (a>0 verildiğinden).
Dolayısıyla fonksiyonun her x reel sayısında limiti olması için a = 3 olmalıdır.
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Soldan Limit (x<1) | a²·1³ - 7·1 = a² - 7 | Lₛ = a² - 7 |
| 2. Sağdan Limit (x≥1) | a·1 - 1 = a - 1 | Lₐ = a - 1 |
| 3. Eşitle ve Çöz | a² - 7 = a - 1 | a=3 (R⁺) |
| 4. Sonuç | a=3 |
Doğru Cevap: 3