fonksiyonunun x=2 noktasında limitinin var olduğu bilindiğine göre, a kaçtır?
Cevap:
Bu soruda bize verilen parçawise (bölünmüş) fonksiyon:
f(x) =
• a·x – 7, x < 2
• x² – 3, x ≥ 2
x=2 noktasında limitin var olduğundan söz ediliyor. Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limitinin var olabilmesi için sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit olması gerekir. Dolayısıyla:
- x → 2⁻ (soldan yaklaşım)
- x → 2⁺ (sağdan yaklaşım)
limitlerinin aynı değere sahip olması gerekir. Burada:
• Soldan limit: lim(x→2⁻) [a·x – 7]
• Sağdan limit: lim(x→2⁺) [x² – 3]
Öncelikle bu limitleri ayrı ayrı yazalım ve eşitleyelim.
Soldan Limit
Soldan yani x<2 için tanımlı kısım: a·x – 7. Limit alırken x yerine 2 yazarsak:
Sağdan Limit
Sağdan yani x≥2 için tanımlı kısım ise x² – 3. Limit alırken x yerine 2 yazarsak:
Limiti Sağlamak İçin Gerekli Şart
Limitin var olması için bu iki değer aynı olmalıdır:
Buradan denklemi çözelim:
2a - 7 = 1
2a = 8
a = 4
Dolayısıyla a = 4 değeri, x=2 noktasında soldan ve sağdan limitin eşit olmasını sağlar. Sorunun seçeneklerinde (A) 1, (B) 2, (C) 3, (D) 4, (E) 5 verildiğinden doğru cevap 4 (D şıkkı) olacaktır.
Konu Hakkında Ayrıntılı Açıklama
Limit ve süreklilik soruları, fonksiyonların belirli noktalardaki davranışlarını incelemek açısından çok önemlidir. Özellikle parçawise tanımlanmış fonksiyonlarda, fonksiyonun farklı bölgelerde farklı ifadelerle tanımlandığı durumlarda, sürekliliği ve limiti incelemek için soldan ve sağdan limitlerin eşit olması esastır. Aşağıda, bu temel kavramları hatırlatan bir özet bulabilirsiniz:
1. Limit Kavramı
Bir fonksiyonun f(x), x değeri herhangi bir a noktasına yaklaşırken, çıktıları belirli bir L değerine doğru yaklaşıyorsa, “f(x) fonksiyonunun a noktasındaki limiti L’dir” deriz. Matematiksel olarak:
2. Soldan ve Sağdan Limit
- Soldan limit: x, a değerine a’dan küçük değerlerden (x < a) yaklaşırken fonksiyonun çıkış değerlerinin yaklaştığı değerdir.
- Sağdan limit: x, a değerine a’dan büyük değerlerden (x > a) yaklaşırken fonksiyonun yaklaştığı değerdir.
Bir fonksiyonun a noktasında limiti varsa, soldan limit ve sağdan limit birbirine eşittir.
3. Süreklilik Koşulları
Parçawise tanımlanmış fonksiyonlar, genellikle belirli bir noktada tanım kısıtına göre farklı ifadelere sahip olabilir. Sürekliliğin sağlanması için:
- f(a) tanımlı olmalı (fonksiyon a noktasında bir değere sahip olmalı).
- lim(x→a) f(x) var olmalı ve bu limit değerine eşit olmalı.
Eğer soru sadece limitin var olduğunu ifade ediyorsa, 1. koşuldan bağımsız olarak soldan limit ile sağdan limitin aynı olması yeterlidir.
4. Parçawise Fonksiyonlarda Limit
Yukarıdaki soruda olduğu gibi:
f(x) = { a·x – 7 | x < 2
x² – 3 | x ≥ 2 }
x=2 için incelendiğinde,
- Soldan limit, a·x – 7 ifadesinin x→2 yaklaşımı,
- Sağdan limit, x² – 3 ifadesinin x→2 yaklaşımı.
Her iki yaklaşımın da sonucu aynı olursa limit var olur. Burada bulduğumuz üzere:
Bu şekilde a=4 bulunur. Soru seçeneklerine göre doğru yanıt D seçeneğidir.
Örnek Tablo: Hesaplama Adımları
| Adım | Yapılan İşlem | Sonuç/İşlem Sonucu |
|---|---|---|
| 1 | Soldan limit hesapla: a·2 - 7. | 2a - 7. |
| 2 | Sağdan limit hesapla: 2² - 3. | 1. |
| 3 | Limitin var olması için sağdan ve soldan limiti eşitle. | 2a - 7 = 1. |
| 4 | a değerini bul: 2a - 7 = 1 → 2a = 8 → a = 4. | a=4 (D seçeneği). |
Yukarıdaki tabloda, soldan ve sağdan limitin nasıl hesaplandığını, daha sonra bu limitlerin birbirine eşitlenerek a değerinin nasıl bulunduğunu net bir şekilde görebilirsiniz.
Ek Bilgiler ve İpuçları
- Parçawise (bölünmüş) fonksiyonlarda her bir alt fonksiyon, genellikle bir polinom veya rasyonel ifade olduğunda, kendi başına sürekli olabilir. Önemli olan fonksiyonun bir parça ile diğer parça arasındaki geçiş noktalarında da sürekliliği sağlamaktır.
- Limitin var olması için yalnızca soldan limit ve sağdan limitin aynı olması yeterliyken, sürekliliği sağlamak için bu ortak limitin aynı zamanda f(2) değerine de eşit olması gerekir. Bu soru limitin varlığına dair bir soru olduğu için asıl koşulumuz soldan ve sağdan limitlerin eşit olması oldu.
- Dolayısıyla limitin varlığından dolayı a=4 elde ettik. Süreklilik istenseydi, ek olarak f(2) = 2² - 3 = 1 olması gerekirdi ve bu da soldan limit değeriyle aynı olacaktı. Yani eğer fonksiyonun aynı noktada sürekli olması koşulu da aransaydı, yine a=4 ve fonksiyon değeri f(2) = 1 olacaktı.
Bu bilgiler, benzer parçawise fonksiyon sorularını çözerken de yol gösterici olur. Soldan ve sağdan limit kavramını içselleştirmek, limitin ve sürekliliğin temel prensiplerini hatırlamak, özellikle üniversiteye hazırlık ya da lisans düzeyinde temel matematik derslerinde çok sık karşımıza çıkan konulardandır.
Sonuç olarak bu soruda, x=2 noktasında limitinin var olduğunun ifade edilmesinden dolayı, soldan ve sağdan limitin aynı değere sahip olması gerekiyor. Bu koşul bizi 2a - 7 = 1 denklemine götürüyor ve çözüldüğünde a = 4 elde ediliyor. Seçenekler arasında da 4 (D) yer aldığından doğru yanıt 4 olarak belirlenir.
Bu da sorunuzun cevabı @Elanur_Ozturk