Limit ve sürekilik

LİSE
,
1

IMG_20250314_180702_938
IMG_20250314_180702_9384064×3048 852 KB

2

Soru: f(x) =
{ x² + a x + 4, x ≥ 1
b x + 12, x < 1 }
fonksiyonu veriliyor.
lim (x→1) f(x) = 4 olması için a + b toplamı kaçtır?

Cevap:

Aşağıdaki açıklamada, parçalı tanımlı fonksiyonda limit ve süreklilik konusunu ele alarak “a” ve “b” katsayılarının değerlerini nasıl bulabileceğimizi ayrıntılı biçimde inceleyeceğiz. Bu sayede, x → 1 noktasındaki limitin nasıl 4’e eşit olduğu ve a + b toplamının hangi değere eşit olduğu açıklığa kavuşacaktır. Limit ve süreklilik, özellikle üniversite sınavlarında ve lise son sınıf matematik müfredatında önemli bir yer tutar. Parçalı fonksiyonların sürekliliğini saptamak için hem sol hem de sağ limitlerin aynı olması gerekir.

1. Parçalı Fonksiyon ve Tanım

Parçalı tanımlı fonksiyonumuz şu şekildedir:

f(x)= \begin{cases} x^2 + a x + 4, & x \ge 1 \\ b x + 12, & x < 1 \end{cases}

Burada:

  1. Üst parça (x ≥ 1): x² + a x + 4
  2. Alt parça (x < 1): b x + 12

x=1 noktasındaki limitin 4 olması (lim (x→1) f(x) = 4) istendiğine göre, fonksiyonun soldan (x<1) ve sağdan (x≥1) değerleri x=1 noktasında 4’e eşit olmalıdır.

2. Limit ve Süreklilik İlişkisi

Bir fonksiyonun x=c noktasında limitinin var olması için:

  • Soldan limit (x→c⁻ f(x))
  • Sağdan limit (x→c⁺ f(x))

değerlerinin birbirine eşit olması gerekir. Ayrıca limitin o noktadaki fonksiyon değerine eşit olması istenirse, fonksiyonun o noktada sürekli olması gerekir. Bu problemde, x=1 noktasında:

  1. Sağ limit: x≥1 parçasının 1’deki değeri.
  2. Sol limit: x<1 parçasının 1’e yaklaşırken aldığı değer.

Bu iki değerin de 4 olması beklenir.

3. Sağdan Limit (x ≥ 1)

x≥1 için fonksiyonumuz x² + a x + 4 şeklindedir. x→1⁺ yaklaşırken f(x) ifadesi aslında x=1 için de geçerli olacaktır (çünkü x≥1 parçası x=1’i içerir). Dolayısıyla bu kısımda fonksiyonun 1’deki değeri:

f(1) = 1^2 + a \cdot 1 + 4 = 1 + a + 4 = a + 5

Eğer x=1 noktasında f(x)’in değerini direkt sağ parçadan hesaplamak istersek yine aynı sonuca ulaşırız: f(1)=a+5. Limitin 4 olabilmesi için:

a + 5 = 4 \quad \Longrightarrow \quad a = -1

4. Soldan Limit (x < 1)

x<1 için fonksiyonumuz b x + 12 biçiminde tanımlanmıştır. x, 1 değerine soldan yaklaşırken (yani x→1⁻) f(x), b·1 + 12 değerine yakınsamak zorundadır. Çünkü x=1’e çok yakın değerlerde (ancak 1’den küçük), fonksiyon b x + 12 formülüne göre değerlendirilir. Dolayısıyla:

\lim_{x \to 1^-} f(x) = b \cdot (1) + 12 = b + 12

Yine limitin 4 olması istendiğine göre soldan gelen limit, 4’e eşit olmalıdır:

b + 12 = 4 \quad \Longrightarrow \quad b = -8

5. a + b Toplamı

Yukarıdaki iki koşulu da yerine getiren a ve b değerleri:

  • a = -1
  • b = -8

Bize sorulan, a + b toplamı olduğundan:

a + b = -1 + (-8) = -9

Bu sonuç, parçalı fonksiyonun x=1 noktasındaki limitinin tam olarak 4 olmasını sağlar. Çünkü sağdan ve soldan yaklaştığımızda aynı değere, yani 4’e ulaşırız. Aynı zamanda bu değer, parçalı tanımlı fonksiyonun sürekliliğini de garanti eder (eğer soru sadece limitin 4 olması gerekliliğinden bahsediyorsa, fonksiyonun o noktada sürekli olması da dolaylı olarak sağlanıyor demektir).

6. Konu Hakkında Detaylı Bilgiler ve İpuçları

  • Parçalı Fonksiyonlar: Parçalı fonksiyonlarda bir noktadaki limitin varlığı, her parçanın o noktaya yaklaştığında verdiği sonuçların aynı olması ile ilgilidir.
  • Süreklilik Kriteri: Bir fonksiyon x=c noktasında süreklilik gösteriyorsa, f(c) fonksiyonun c noktasındaki değeri, soldan ve sağdan limitlerle de eşleşir.
  • Uygulama Alanı: Özellikle türev konusuna geçildiğinde de benzer yaklaşımla türevin varlığı incelenirken, sürekli olması ve soldan/sağdan türevlerin tutarlılığı da gündeme gelir. Dolayısıyla limit ve süreklilik temeli, türev ve integral çalışmalarından önce anlaşılmış olması gereken temel konulardandır.

7. Örnek Değerlerle Kontrol

Aşağıdaki tablo, x=1 yakınlarında fonksiyonun aldığı değerleri özetlemektedir. a=-1 ve b=-8 değerleri varsayımıyla hesaplamalar yapılmıştır:

x Değeri Fonksiyon Parçası f(x) Hesaplaması Sonuç
x<1 (ör. 0.9) bx + 12 = -8*(0.9) + 12 -7.2 + 12 = 4.8 (yakın) x→1⁻
x=1 x² + ax + 4 = 1 + (-1)*1 + 4 1 - 1 + 4 = 4 Tam
x>1 (ör. 1.1) x² + ax + 4 = 1.21 + (-1)*1.1 + 4 1.21 -1.1 + 4 = 4.11 x→1⁺

Tablodan da görüleceği gibi x=1’e yaklaştığımızda (gerek 0.999… gibi soldan, gerek 1.0001… gibi sağdan), fonksiyon değeri 4 çevresinde toplanır. Dolayısıyla limit 4’e eşit olarak gerçekleşir.

8. Sonuç

Bu parçalı fonksiyonun x=1 noktasındaki limitinin 4 olması için öncelikle sağ parça (x≥1) üzerindeki değeri 4’e, daha sonra sol parça (x<1) üzerindeki değeri de 4’e eşitledik. Buradan:

  • a = -1
  • b = -8

bulunur. Dolayısıyla

a + b = -9

cevabı elde edilir. Böylece limit koşulu sağlanmıştır ve fonksiyon 1 noktasında 4 değerine yaklaşır.

@Elanur_Ozturk

1 Beğeni