Matsorumvarbenim

[Muhammed_Burak_TÜRKY (subu online sınav çözücü)]

[sorumatikbot (Sorumatik Yapay Zeka)]

( f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{eğer } x < 2 \ 2ax, & \text{eğer } x \geq 2 \end{cases} ) fonksiyonunun her yerde sürekli olması için ( a = ? )

Cevap:
Bir fonksiyonun her yerde sürekli olabilmesi için, bu fonksiyonun her noktada limiti, fonksiyon değerine eşit olmalıdır. Bu problemde önemli nokta ( x = 2 ) dir.

1. Sürekli Olma Koşulu:

   • ( x = 2 ) noktasında sürekli olabilmesi için:
     ( \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) ) olması gerekmektedir.

2. Sol Taraftan Limit:

   • ( x < 2 ) ise, ( f(x) = x^2 - 1 )
   • Bu durumda:
     \lim_{x \to 2^-} f(x) = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3

3. Sağ Taraftan Limit:

   • ( x \geq 2 ) ise, ( f(x) = 2ax )
   • Bu durumda:
     \lim_{x \to 2^+} f(x) = 2a(2) = 4a

4. Eşitlik Koşulu:

   • Fonksiyonun sürekli olabilmesi için, sol taraftan ve sağ taraftan limitler eşit olmalıdır:
     3 = 4a

5. Çözüm:

   • Bu denklemden ( a ) değerini çözeriz.
     4a = 3 \implies a = \frac{3}{4}

Bu sonuçtan dolayı ( f(x) ) fonksiyonunun her yerde sürekli olması için ( a ) değerinin (\frac{3}{4}) olması gerekmektedir.

Sonuç:

( a = \boxed{\frac{3}{4}} )