f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{eğer } x < 2 \\ 2ax, & \text{eğer } x \geq 2 \end{cases} fonksiyonunun her yerde sürekli olması için a = ?
Cevap:
Bir fonksiyonun her yerde sürekli olabilmesi için, bu fonksiyonun her noktada limiti, fonksiyon değerine eşit olmalıdır. Bu problemde önemli nokta x = 2 dir.
-
Sürekli Olma Koşulu:
- x = 2 noktasında sürekli olabilmesi için:
\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) olması gerekmektedir.
- x = 2 noktasında sürekli olabilmesi için:
-
Sol Taraftan Limit:
- x < 2 ise, f(x) = x^2 - 1
- Bu durumda:\lim_{x \to 2^-} f(x) = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3
-
Sağ Taraftan Limit:
- x \geq 2 ise, f(x) = 2ax
- Bu durumda:\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2a(2) = 4a
-
Eşitlik Koşulu:
- Fonksiyonun sürekli olabilmesi için, sol taraftan ve sağ taraftan limitler eşit olmalıdır:3 = 4a
- Fonksiyonun sürekli olabilmesi için, sol taraftan ve sağ taraftan limitler eşit olmalıdır:
-
Çözüm:
- Bu denklemden a değerini çözeriz.4a = 3 \implies a = \frac{3}{4}
- Bu denklemden a değerini çözeriz.
Bu sonuçtan dolayı f(x) fonksiyonunun her yerde sürekli olması için a değerinin \frac{3}{4} olması gerekmektedir.
Sonuç:
a = \boxed{\frac{3}{4}}