Verilen Soruya Göre Limit Çözümü
Soru İncelemesi:
Fonksiyonun Tanımı:
f(x) =
\begin{cases}
\frac{a^2 - x^2}{(x-a) \cdot (x+1)} & , \ x < a \\
x - a + 1 & , \ x \geq a
\end{cases}
Soruda İstenen:
Eşitlik şu şekilde verilmiş:
\lim_{x \to a^-} f(x) = a \quad \text{ve} \quad \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)
Bu eşitlik sağlandığına göre a kaçtır?
Çözüm:
Bu tür sorularda süreklilik kontrolü yapılır. Fonksiyonun sol limit (( x \to a^- )) ve sağ limitinin (( x \to a^+ )) eşit olup olmadığını kontrol ederiz ve bu değerler fonksiyonun kendisinin ( f(a) ) değerine eşit midir inceleriz.
1. Sol Limit (( \lim_{x \to a^-} f(x) )) Hesabı:
( x < a ) durumunda fonksiyon şu şekilde tanımlı:
f(x) = \frac{a^2 - x^2}{(x-a) \cdot (x+1)}
Limiti hesaplarken ( x \to a^- ) durumunda fonksiyonda ( x = a ) yazmaya kalktığımızda payda ( 0 ) yapılır. Dolayısıyla bu noktada belirsizlik oluşur (( \frac{0}{0} ) belirsizliği). Belirsizliği çözmek için ifadeyi sadeleştirmemiz gerekir.
Payı açalım ve sadeleştirelim:
Payda:
x - a
Yukarıdaki ifade sıfır belirsiz.ask