Verilen Sorunun Çözümü
Cevap:
Bu problemde verilen parçalı fonksiyonu analiz ederek ( x \to 1 ) durumu için limiti bulalım. Fonksiyon ( f(x) ) şu şekilde tanımlanmıştır:
f(x) =
\begin{cases}
3x + 1, & x > 1 \\
5, & x = 1 \\
x + 3, & x < 1 \\
\end{cases}
Adım 1: Sağdan Limit ( x \to 1^+ )
Bu adımda ( x \to 1 ) için sağdan limiti yani ( x \to 1^+ )'yi bulalım. Fonksiyonda ( x > 1 ) için tanımlanan kısım ( 3x + 1 ) olduğu için:
\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (3x + 1) = 3(1) + 1 = 4
Adım 2: Soldan Limit ( x \to 1^- )
Bu adımda ( x \to 1 ) için soldan limiti yani ( x \to 1^- )'yi bulalım. Fonksiyonda ( x < 1 ) için tanımlanan kısım ( x + 3 ) olduğu için:
\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x + 3) = 1 + 3 = 4
Adım 3: Limiti Değerlendirme
Sağdan ve soldan limit değerleri eşit olduğundan dolayı bu durumda iki limitin ortak değeri, genel limiti verecektir. Yani:
\lim_{x \to 1} f(x) = 4
Sonuç
( x = 1 ) noktasındaki açık ifade ( f(x) = 5 ) olsa da, limit değeri bu değerden bağımsız olarak belirlenir ve yukarıdaki hesaplamalara göre verilir.
Nihai Cevap:
\lim_{x \to 1} f(x) = 4