Soru:
$$f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1$$ olduğuna göre,
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$
limitinin eşiti hangi seçenektir?
Çözüm:
Soru, türev tanımını kullanmaktadır. Bu limit, f'(x) (fonksiyonun türevi) anlamına gelir. Dolayısıyla, türev alacağız.
Adım 1 – Türev Alma
$$f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1$$ fonksiyonunu türevleyelim. Türev alma kurallarını kullanalım:
- x^n teriminin türevi: nx^{n-1}
- k, sabit bir terim ise türevi: 0
Türev Hesapları:
-
x^3 teriminin türevi:
$$3x^2$$ -
2x^2 teriminin türevi:
$$4x$$ -
-3x teriminin türevi:
$$-3$$ -
1 sabit teriminin türevi:
$$0$$
Adım 2 – Sonuç
Fonksiyonun türevi:
$$f’(x) = 3x^2 + 4x - 3$$
Bu, limitin eşiti olacaktır. Doğru cevap: A) 3x^2 + 4x - 3
@username
f(x) = x³ + 2x² – 3x + 1 fonksiyonuna göre,
lim (h → 0) [f(x+h) – f(x)] / h değeri nedir?
Cevap:
Adım 1: Limit Tanımı
Bu limit, fonksiyonun “türevinin tanımı”dır. Bir fonksiyon f(x) için,
lim (h → 0) [f(x + h) – f(x)] / h
ifadesi, f(x)’in x noktasındaki türevini verir.
Adım 2: Fonksiyonun Türevi
f(x) = x³ + 2x² – 3x + 1 ise, türev almak için bilinen kuralları uygulayalım:
- x³’ün türevi: 3x²
- 2x²’nin türevi: 4x
- –3x’in türevi: –3
- +1 sabit teriminin türevi: 0
Dolayısıyla,
f’(x) = 3x² + 4x – 3
Adım 3: Limiti Değerlendirme
Yukarıdaki türev formülüne göre,
lim (h → 0) [f(x+h) – f(x)] / h = f’(x) = 3x² + 4x – 3
Bu sonuç, çoktan seçmeli şıklar içerisinde varsa A) 3x² + 4x – 3 olarak karşımıza çıkar.
@User
f(x) = x³ + 2x² - 3x + 1 fonksiyonu için, lim(h → 0) [ f(x + h) - f(x) ] / h ifadesinin sonucu nedir?
Cevap:
Aşağıdaki adımlarda, verilen fonksiyonun türevini (ki limit ifadesi türevi temsil eder) hesaplayarak doğru seçeneğe ulaşacağız. Bu tür limit ifadeleri bize fonksiyonun türevini, yani anlık değişim oranını verir. Soruda da görüldüğü gibi, f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1 fonksiyonunun türevi, klasik türev kuralları veya doğrudan limit tanımı (farklılaşma) kullanılarak bulunabilir.
f(x) Fonksiyonunu Anlama
- Verilen Fonksiyon: f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1
- Amaç: \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} ifadesini hesaplamak.
Bu limit ifadesi, fonksiyona türev alma (ya da farklılaşma) tanımını doğrudan uygular. Türev, kabaca fonksiyonun anlık değişim oranıdır.
Limit Tanımıyla Türev
Bir fonksiyonun türevi, limit tanımıyla şu şekilde verilir:
Burada (x + h) ifadesi, x’in çok küçük bir miktar h kadar artırılmış hâlidir. h sıfıra yaklaştıkça, \frac{f(x + h) - f(x)}{h} değeri fonksiyonun o noktadaki anlık eğimini, yani türevini gösterir.
Adım Adım Hesaplama
1. f(x+h) İfadesini Bulma
Fonksiyonumuz:
Önce f(x + h) ifadesini oluşturalım:
- İlk terim: (x + h)^3
- İkinci terim: 2(x + h)^2
- Üçüncü terim: -3(x + h)
- Dördüncü terim: +1
(x + h)³’ü Açma
$$(x + h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3.$$
2(x + h)²’yi Açma
$$(x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2,$$
dolayısıyla
$$2(x + h)^2 = 2\bigl(x^2 + 2xh + h^2\bigr) = 2x^2 + 4xh + 2h^2.$$
-3(x + h) İfadesi
$$-3(x + h) = -3x - 3h.$$
Tamamını Toplama
Bunu basitleştirelim:
- x^3 terimini not edelim.
- 3x^2h terimini not edelim.
- 3xh^2 terimini not edelim.
- h^3 terimini not edelim.
- 2x^2 terimini not edelim.
- 4xh terimini not edelim.
- 2h^2 terimini not edelim.
- -3x terimini not edelim.
- -3h terimini not edelim.
- +1 terimini not edelim.
Tek tek gruplayarak yazarsak:
2. f(x + h) - f(x) Farkı
Şimdi f(x + h) - f(x) farkını alalım:
- f(x) zaten x^3 + 2x^2 - 3x + 1 idi.
- Dolayısıyla f(x + h) - f(x) ifadesinde, (x^3 + 2x^2 - 3x + 1) kısımları birbirini götürecektir.
Sonuç şu şekilde sadeleşir:
Burada, dikkat edersek, sabit terimler (x^3, 2x^2, -3x, +1) yok olur.
3. f(x + h) - f(x) İfadesini h’ye Bölme
Aradığımız limit ifadesinde paydadaki h’yi de göz önüne alalım:
Her terimden h’yi faktör olarak çıkarabiliriz:
Burada pay ve paydadaki h terimi sadeleşir:
4. h → 0 Limitini Almak
Şimdi, elde ettiğimiz ifadede h \to 0 limitini uyguluyoruz. h \to 0 iken 3xh, 2h ve h^2 terimleri sıfıra yaklaşır:
- 3xh \to 3x \cdot 0 = 0
- 2h \to 2 \cdot 0 = 0
- h^2 \to 0
Böylece:
Bu da bize türev değerini verir.
Kısa Yol: Türev Kurallarıyla Hesaplama
Aslında bu işlemin uzun yolu yukarıdaki gibi limit tanımından gelir. Ancak pratikte çoğu zaman türev kurallarını kullanırız:
- Türev Kuralları:
- \frac{d}{dx}\bigl[x^3\bigr] = 3x^2
- \frac{d}{dx}\bigl[2x^2\bigr] = 4x
- \frac{d}{dx}\bigl[-3x\bigr] = -3
- \frac{d}{dx}\bigl[1\bigr] = 0
Toplayınca f'(x) = 3x^2 + 4x - 3 elde edilir ki bu da aynı sonucu verir.
Elde Edilen Sonuç ve Cevap Seçeneği
Yukarıdaki adımlar hem limit tanımını hem de standart türev kurallarını doğrulayarak aynı cevabı vermektedir:
f'(x) = 3x^2 + 4x - 3.
Soru için verilen çoktan seçmeli şıklarda bu ifade A) 3x^2 + 4x - 3 şeklinde bulunuyor.
Özet Tablo
| İşlem/Adım | Açıklama ve Sonuç |
|---|---|
| 1. $f(x)$’in belirlenmesi | f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1 |
| 2. $f(x+h)$’in açılımı | (x+h)^3 + 2(x+h)^2 - 3(x+h) + 1 |
| 3. f(x+h) - f(x) farkının alınması | Hızlı sadeleştirmede x^3 + 2x^2 - 3x + 1 terimleri gider, geriye 3x^2h + 4xh - 3h + 3xh^2 + 2h^2 + h^3 kalır. |
| 4. Bölme işlemi \frac{f(x+h) - f(x)}{h} | \frac{3x^2h + 4xh - 3h + 3xh^2 + 2h^2 + h^3}{h} = 3x^2 + 4x - 3 + 3xh + 2h + h^2 |
| 5. h \to 0 limiti | 3x^2 + 4x - 3 |
| 6. Türev kuralları (kısa yol) | \frac{d}{dx}[x^3] = 3x^2, \frac{d}{dx}[2x^2] = 4x, \frac{d}{dx}[-3x] = -3, \frac{d}{dx}[1] = 0 |
| Sonuç (Türev Değeri) | 3x^2 + 4x - 3 |
Son Söz ve Özet
- Limit Tanımıyla Türev: \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} ifadesi, fonksiyonun x noktasındaki türevini verir.
- f(x+h) - f(x)’i açarken tüm terimleri dikkatli şekilde genişletip kısa yöntem (türev formülleri) veya uzun yöntem (limit tanımı) uygulanabilir.
- Verilen fonksiyonda \frac{d}{dx}[x^3 + 2x^2 - 3x + 1] = 3x^2 + 4x - 3 sonucuna ulaşılır.
- Sorudaki seçenekler incelendiğinde doğru cevap A) 3x^2 + 4x - 3 şeklindedir.
Dolayısıyla, \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \boxed{3x^2 + 4x - 3}.
Kaynaklar:
- OpenStax, Calculus (2021).
- Larson, Calculus I with Precalculus (2017).
@username