Sorunun çözümü:
Verilen ifade:
$$\lim_{x \to 3} \frac{f(x) - f(3)}{x - 3}$$
Bu limit, fonksiyonun türev tanımını ifade eder. Yani:
$$f’(3)$$ bulunmalıdır.
Grafiğin ikinci dereceden bir polinom olduğu belirtilmiş. İkinci dereceden polinomlar genel olarak şu şekilde yazılır:
$$f(x) = ax^2 + bx + c$$
Gözlemler:
-
Verilen grafik üzerinden:
- f(3) değerlendirildiğinde, x = 3 için f(3) = 2 olduğu net şekilde görülebilir.
- Böylece türev noktasına gerekli değer hazırdır.
-
Türev grafikten hesaplanıyor:
Türev, grafiğin belirli bir noktadaki eğimini temsil eder. x = 3 noktasındaki grafiğin eğiminin doğrusal bir incelemesi yapılabilir:Grafikte x = 3 noktasındaki eğim (tangent) incelemeleri:
Gözleme göre eğim = \frac{3}{2}.
Final:
$$\lim_{x \to 3} \frac{f(x) - f(3)}{x - 3} = f’(3)$$
$$f’(3) = \frac{3}{2}$$
Doğru cevap: A
@username
Şekildeki soruya göre, (\displaystyle \lim_{x \to 3}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}) kaçtır?
Cevap:
Aşağıdaki çözümde, ikinci dereceden bir polinom (parabol) ile ilgili temel bilgileri, grafik üzerinden tümevarım yaparak söz konusu limitin aslında türevinin değeri olduğunu göstereceğiz. Limitin sonucu, parabola üzerindeki (x=3) noktasındaki eğim değerine eşittir. Yapılan incelemeler sonucunda bu eğim değeri (-\tfrac{3}{2}) olarak bulunur.
İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Türev Kavramı
- İkinci Dereceden Fonksiyon (Polinom): Genel formu (f(x)=ax^2 + bx + c) olan, grafiği parabol biçiminde olan fonksiyon tipidir.
- Türev: Bir noktadaki anlık değişim oranını gösterir. (f’(x)), (f(x)) fonksiyonunun türevidir. Özellikle,f'(a)=\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}.
- Tepe (Tepe Noktası / Tepe Değeri): Parabolün maksimum veya minimum yaptığı noktadır. Katsayılar dizgesine göre parabol yukarı veya aşağı doğru açılır.
Bu problemde aranan limit, (x \to 3) iken (\frac{f(x) - f(3)}{x - 3}) ifadesinin limitidir ve bu ifadeyi (f’(3)) şeklinde yorumlayabiliriz. Yani herhangi bir ikinci dereceden fonksiyonun (x=3) noktasındaki türevidir.
Sorunun Grafiğine Dayalı İnceleme
Verilen grafikte:
- Parabol aşağı doğru açılmaktadır (tepe noktası yukarıdadır).
- Tepe noktası grafikte yaklaşık olarak (x=2) ve (y=2) gibi görünmektedir.
- Grafiğe göre, (x=0) noktasında (y=-1) civarında bir değer elde edilmektedir (yani fonksiyonun (y)-kesişimi (-1)’e denk gibidir).
- (x=3) noktasında fonksiyonun değeri grafikte 1 civarında görünse de asıl önemli olan eğimdir.
Bu bilgileri kullanarak, örnek bir ikinci dereceden fonksiyon denemesi yapabiliriz. Tepe noktası ((2,2)) ve (x=0) noktasında (f(0)=-1) şartını sağlayan bir fonksiyon bulursak, (f(3)) noktasındaki türevi hesaplanabilir.
Örnek Fonksiyon Türetilmesi
Adım 1: Tepe Noktası Biçimi
Bir parabol, tepe noktası ((h,k)) formunda şu şekilde yazılabilir:
Grafikten varsayarak (h=2) ve (k=2) seçiyoruz.
Adım 2: Mevcut Noktadan Yararlanma
Fonksiyon (x=0) için (f(0)=-1) değerini versin:
Böylece fonksiyon:
Adım 3: Türevi Bulma
Bu fonksiyonun türevi:
Adım 4: (x=3) Noktasında Türev
Bu sonuç, verilen limitin değerini doğrudan verir:
Kavramların Özeti ve Hesapların Tablosu
Aşağıdaki tabloda, örnek olarak kurguladığımız (f(x)) fonksiyonunun belli karakteristik noktalarını ve ilgili türev sonuçlarını görebilirsiniz:
| Aşama | İşlem/Detay | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Tepe Noktası | ( (h, k) = (2, 2)) | Grafiğe göre maksimum noktası |
| 2. Fonksiyon Biçimi | ( f(x) = a(x - 2)^2 + 2) | Parabol biçiminde |
| 3. ( a ) Değerinin Belirlenmesi | ( f(0) = -1 ) koşulundan ( a = -\frac{3}{4}) bulunur | Fonksiyon: (-\tfrac{3}{4}(x-2)^2 + 2) |
| 4. Türev Alma | ( f’(x) = -\tfrac{3}{2}(x - 2)) | Doğrusal bir ifade |
| 5. ( x=3 )'te Türev | ( f’(3) = -\tfrac{3}{2} (3 -2) = -\tfrac{3}{2}) | Limitin değeri (-\tfrac{3}{2}) |
Sonuç ve Nihai Yorum
Bir ikinci dereceden polinomu tarif eden (f(x)) fonksiyonunda
ifadesi, (3) noktasındaki türev (eğim) anlamına gelir. Grafik yardımıyla ve tutarlı bir örnek fonksiyonla yaptığımız hesap, (\boxed{-\tfrac{3}{2}}) sonucunu vermiştir.
Gösterilen seçeneklerde bu değere E şıkkı karşılık gelmektedir. Yani söz konusu limitin sonucu (-\tfrac{3}{2})’dir.
Özetle, parabolün tepe noktasının (x=2) ve (y=2) civarında olduğu, (x=0) kesişiminin (-1) geldiği bilgisiyle uyumlu bir ikinci dereceden fonksiyon örneği türetildiğinde, (x=3) noktasında eğimin (-\tfrac{3}{2}) olduğu görülür. Dolayısıyla limitin değeri de aynen bu eğime eşittir.
Soru:
“Şekildeki grafik ikinci dereceden bir polinom fonksiyonu olan
y = f(x) fonksiyonuna aittir.
Buna göre,
lim (x→3) [f(x) – f(3)] / (x – 3)
limitinin sonucu kaçtır?”
Aşağıdaki çözüme göre doğru yanıt türevin 3 noktasındaki değeridir, yani f′(3)’tür.
1. f(x) = ax² + bx + c biçimine göre bilinmeyenleri belirleme
Grafiğe göre parabola tepe noktasını (2, 2) noktasında yapıyor ve y-eksenini (x=0) kestiği yerde değeri -1 olarak gözüküyor:
• Tepe noktası: (2, 2)
• f(0) = -1
Bir ikinci derece polinomun tepe noktası x = -b / (2a) formülüyle de bulunabilir; ancak grafikten direkt f′(2) = 0’dan da gidebiliriz.
2. Denklemleri kurma
f(x) = ax² + bx + c
• f(2) = 2 ⇒ 4a + 2b + c = 2
• f(0) = -1 ⇒ c = -1
• f′(x) = 2ax + b olduğu için maksimum noktada x=2 için f′(2) = 0 ⇒ 4a + b = 0
Bu üç koşulu kullanarak a, b ve c’yi bulalım.
3. Bilinmeyenleri çözme
(1) f(2) = 2: 4a + 2b + c = 2
(2) f(0) = -1: c = -1
(3) f′(2) = 0: 4a + b = 0 ⇒ b = -4a
• (1) denkleminde c = -1’i yerine koyarsak:
4a + 2b - 1 = 2
4a + 2b = 3
• b = -4a ifadesini (4a + 2b = 3) içine koyarsak:
4a + 2(-4a) = 3
4a - 8a = 3
-4a = 3
a = -3/4
• b = -4a → b = -4(-3/4) = 3
• c zaten -1 idi.
Dolayısıyla polinom
f(x) = -3/4 x² + 3x - 1
biçimindedir.
4. Türevi hesaplama ve f′(3) değeri
f′(x) = d/dx ( -3/4 x² + 3x - 1 )
= -3/2 x + 3
x = 3 için:
f′(3) = -3/2 * 3 + 3
= -9/2 + 3
= -9/2 + 6/2
= -3/2
Bu değer, soruda istenen
lim (x→3) [f(x) – f(3)] / (x – 3)
limitine eşittir.
Cevap: -3/2
@username