Ömnbvcxz

YKS TYT
1

image
image1080×716 56.5 KB

2

Sorunun çözümü:

Soruda verilen ifade, fonksiyonun türev tanımını temsil etmektedir:

\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Bu ifade f'(x), yani türev fonksiyonudur. Verilen fonksiyon ise:

f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1

Türev Alma İşlemi

Fonksiyonun türevini alalım:

  1. x^3 teriminin türevi:
    $$ 3x^2 $$

  2. 2x^2 teriminin türevi:
    $$ 4x $$

  3. -3x teriminin türevi:
    $$ -3 $$

  4. 1 sabit teriminin türevi:
    Sabit terimlerin türevi 0’dır.

Fonksiyonun türevini alarak:

f'(x) = 3x^2 + 4x - 3

Cevap Anahtarı

Bu durumda türev fonksiyonu A seçeneği olan:

3x^2 + 4x - 3

Doğru Cevap: A) 3x^2 + 4x - 3

Eğer başka bir sorunuz olursa, yardımcı olmaktan mutluluk duyarım! :blush:
@username

3

f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1 olduğuna göre, lim (h → 0) [f(x + h) - f(x)] / h değerinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Answer:

Adım Adım Çözüm

1. Türev Kavramı

Bu limit ifadesi, fonksiyonun türevi olarak bilinir. Bir fonksiyonun türevi, fonksiyonun anlık değişim oranını (eğimini) bulmaya yarar. Temelde:

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

2. Fonksiyonun Türevi

Verilen fonksiyon:

f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1

Çok terimli (polinom) bir fonksiyonun türevini alırken her terimi ayrı ayrı türevleriz:

  • x^3 teriminin türevi: 3x^2
  • 2x^2 teriminin türevi: 4x
  • -3x teriminin türevi: -3
  • Sabit terim +1 in türevi: 0

Bu durumda:

f'(x) = 3x^2 + 4x - 3

3. Sonuç

Dolayısıyla istenen limit, fonksiyonun türevine eşittir ve 3x^2 + 4x - 3 olur. Yanıt, şıklarda (A) seçeneğidir.

@username

4

f(x) = x³ + 2x² – 3x + 1 olduğuna göre, lim(h → 0) [f(x + h) – f(x)] / h ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Cevap:

Merhaba! Bu soruda, bize verilen

f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1

fonksiyonunun,

\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

limitini (yani fonksiyonun türevini) hesaplamamız isteniyor. Seçenekler arasında bu limitin eşit olduğu ifade aranıyor.

Aşağıdaki adımlarda hem limit tanımını kullanarak hem de polinom türevi kurallarını uygulayarak bu soruyu çözeceğiz. Böylece doğru seçeneğin A) 3x² + 4x - 3 olduğunu göreceğiz.

Limit ve Türev İlişkisi

Bir fonksiyonun türevi, limit tanımıyla ifade edilir. Eğer elimizde

f(x)

fonksiyonu varsa,

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

şeklindeki limit, türev kavramının temelini oluşturur. Bu limitin sonucu bize fonksiyonun türevini verir. Polinom fonksiyonlar için türevi bulmanın iki yolu vardır:

  1. Limit (Tanım) Yöntemi:
    Her terimi açarak tek tek sadeleştirdikten sonra h \to 0 limitini alırız.
  2. Hızlı (Kurallı) Yöntem (Polinom Türev Kuralları):
    • $x^n$’in türevi n \cdot x^{n-1}
    • $c \cdot x^m$’in türevi c \cdot m \cdot x^{m-1}
    • Tüm polinomun türevi, terimlerin türevlerinin ayrı ayrı toplanmasıyla bulunur.

Her iki yaklaşım da sonunda aynı sonucu verecektir.

1. Limit Tanımını Kullanarak Hesaplama

Adım 1: f(x + h)’yi Genişletme

Fonksiyonumuz:

f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1.

Önce $f(x + h)$’yi yazalım:

f(x + h) = (x+h)^3 + 2(x+h)^2 - 3(x+h) + 1.

Şimdi bu ifadeyi ayrı ayrı açalım:

  1. (x + h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3
  2. (x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2

Dolayısıyla,

f(x + h) = \bigl(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3\bigr) \\ \quad\quad + 2\bigl(x^2 + 2xh + h^2\bigr) \\ \quad\quad - 3(x + h) + 1.

Bu ifadeyi şu şekilde düzenleyebiliriz:

  • (x^3) terimi
  • (3x^2h) terimi
  • (3xh^2) terimi
  • (h^3) terimi
  • 2(x^2) = 2x^2
  • 2 \cdot 2xh = 4xh
  • 2 \cdot h^2 = 2h^2
  • -3x
  • -3h
  • +1

Yazarsak:

f(x + h) = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 2x^2 + 4xh + 2h^2 - 3x - 3h + 1.

Adım 2: [f(x + h) - f(x)] İfadesini Bulma

f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1 olduğuna göre,

f(x + h) - f(x) = \bigl[x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 2x^2 + 4xh + 2h^2 - 3x - 3h + 1\bigr] \\ \quad\quad - \bigl[x^3 + 2x^2 - 3x + 1\bigr].

Şimdi benzer terimler birbirini götürecek şekilde sadeleştirelim:

  • x^3 terimi -x^3 ile
  • 2x^2 terimi -2x^2 ile
  • -3x terimi +3x ile
  • +1 terimi -1 ile

Sadeleştirilmiş hali:

(3x^2h) + (3xh^2) + (h^3) + (4xh) + (2h^2) - (3h).

Düzenleyerek:

f(x + h) - f(x) = 3x^2h + 4xh + 3xh^2 + 2h^2 + h^3 - 3h.

Adım 3: (f(x + h) - f(x)) / h Bölümünü Hesaplama

Bulduğumuz ifadeyi $h$’ya bölersek:

\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{3x^2h + 4xh + 3xh^2 + 2h^2 + h^3 - 3h}{h}.

Her terimde ortak bir h olduğunu görebiliriz:

  1. 3x^2h / h = 3x^2
  2. 4xh / h = 4x
  3. 3xh^2 / h = 3xh
  4. 2h^2 / h = 2h
  5. h^3 / h = h^2
  6. -3h / h = -3

Bu durumda elde edilen ifade:

3x^2 + 4x + 3xh + 2h + h^2 - 3.

Adım 4: Limit Alma (h → 0)

Şimdi h sıfıra yaklaşırken 3xh, 2h ve h^2 terimleri $0$’a giderek yok olurlar. Geriye kalan sabit ifade:

3x^2 + 4x - 3.

Böylece,

\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = 3x^2 + 4x - 3.

Bu, fonksiyonun türevini de verir ve seçenekler arasında 3x² + 4x - 3 eşleşmesi sorunun cevabıdır.

2. Polinom Türev Kurallarını Kullanarak Hesaplama

Aslında polinomlarda türev alma çok daha hızlı bir yolla da yapılabilir. Şimdi $f(x)$’in her teriminin türevini ayrı ayrı alalım:

  1. x^3 teriminin türevi: 3x^2
  2. 2x^2 teriminin türevi: 2 \cdot 2x = 4x
  3. -3x teriminin türevi: -3
  4. +1 sabit teriminin türevi: 0

Toplarsak:

f'(x) = 3x^2 + 4x - 3.

Aynı sonuca ulaşırız.

Örnek Adımlar Tablosu

Aşağıdaki tabloda, limit tanımı yöntemindeki önemli adımları özetleyelim:

Adım İşlem Sonuç
1. $f(x+h)$’yi açma (x+h)^3 + 2(x+h)^2 -3(x+h) +1 ifadelerini tek tek genişletme x^3 + 3x^2h + \dots + 1
2. f(x+h) - f(x) Ortak terimleri sadeleştirme 3x^2h + 4xh + \dots -3h
3. \frac{f(x+h)-f(x)}{h} Elde edilen ifadede her terimi $h$’ye bölme 3x^2 + 4x + \dots -3
4. \lim_{h \to 0} h içeren terimler yok olur, kalan sabit ifadeyi belirleme 3x^2 + 4x - 3
5. Sonuç (Türev) Soruya göre seçeneklerden uygun olanı işaretleme A) 3x^2 + 4x - 3

Sonuç ve Kısa Özet

  • Limit tanım yöntemi uygulandığında f(x+h) - f(x) ifadesinden geriye 3x^2 + 4x - 3 kalır.
  • Polinom türevi yönteminde de her terimin türevi aynı sonucu verir: 3x^2 + 4x - 3.
  • Dolayısıyla, soruda verilen limit, fonksiyonun türevine eşittir ve doğru cevap seçeneği A) 3x² + 4x - 3 olmaktadır.

Bu tür fonksiyonlarda (özellikle polinomlarda) türev alırken, limit tanımının uzun sürecini polinom türev kuralları sayesinde hızla kısaltmak mümkündür. Ancak temel tanımı öğrenmek, türev kavramının özünü anlamak açısından oldukça değerlidir.

Doğru Seçenek: A) 3x² + 4x - 3

@Smaug_Thorin

5

daha detaylı anlat

6

Cevap: Daha Detaylı Çözüm ve Açıklama

Sorunun Tam Detaylı Açıklaması

Elimizde verilen fonksiyon:

f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1

İstenilen ifade:

\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Bu, türev tanımını temsil eder ve türev, fonksiyonun anlık değişim oranını veya eğimini ifade eder.

Şimdi bu işlemi detaylıca adım adım açalım:

Adımlar

Adım 1: Limit Tanımını ve İşlemi Genişletme

İlk olarak, fonksiyonun türev tanımına göre ifade:

\frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Burada $f(x+h)$’yi yazmamız gerekiyor. Fonksiyonumuz:

  • f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1.

Bu fonksiyonda x yerine (x+h) koyduğumuzda (yani f(x+h)), şunu elde ederiz:

f(x+h) = (x+h)^3 + 2(x+h)^2 - 3(x+h) + 1.

Şimdi her terimi açarak ve düzenleyerek başlayalım:

(x + h)^3’ü Açalım:

(x + h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3.

2(x + h)^2’yi Açalım:

2(x + h)^2 = 2(x^2 + 2xh + h^2) = 2x^2 + 4xh + 2h^2.

-3(x + h)'yi Açalım:

-3(x + h) = -3x - 3h.

Sabit terim değişmez:

+1.

Sonuç olarak f(x+h) şu şekilde olur:

f(x+h) = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 2x^2 + 4xh + 2h^2 - 3x - 3h + 1.

Adım 2: f(x+h)’den f(x)’i Çıkarmak

Şimdi verilen limitte f(x+h) - f(x) kısmını bulmalıyız. f(x+h)’den f(x)’i çıkaralım:

f(x+h) - f(x) = \bigl[x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 2x^2 + 4xh + 2h^2 - 3x - 3h + 1\bigr] \\ \quad\quad - \bigl[x^3 + 2x^2 - 3x + 1\bigr].

Sadeleştirme yapınca (aynı terimler birbirini götürür):

  • $x^3$’ler birbirini götürür.
  • 2x^2 terimleri birbirini götürür.
  • -3x terimleri birbirini götürür.
  • +1 terimleri birbirini götürür.

Geriye kalan sadeleştirilmiş ifade:

f(x+h) - f(x) = 3x^2h + 4xh + 3xh^2 + 2h^2 + h^3 - 3h.

Adım 3: İfadeyi h’ya Bölmek

Şimdi ifadeyi limit tanımına göre $h$’ya bölelim:

\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{3x^2h + 4xh + 3xh^2 + 2h^2 + h^3 - 3h}{h}.

Her terimi $h$’ya bölerek:

  1. 3x^2h / h = 3x^2.
  2. 4xh / h = 4x.
  3. 3xh^2 / h = 3xh.
  4. 2h^2 / h = 2h.
  5. h^3 / h = h^2.
  6. -3h / h = -3.

Sonuç:

\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 3x^2 + 4x + 3xh + 2h + h^2 - 3.

Adım 4: Limit Alma (h → 0)

Burada, h sıfıra yaklaşırken (h → 0):

  • 3xh terimi $0$’a gider.
  • 2h terimi $0$’a gider.
  • h^2 terimi $0$’a gider.

Geriye sadece sabit terimler kalır:

3x^2 + 4x - 3.

Dolayısıyla limit:

\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 3x^2 + 4x - 3.

Polinom Türevliği Kullanarak Daha Hızlı Çözüm

Buradaki ifade aslında polinomlarda türev alarak çok daha hızlı çözülebilir. Şimdi her terimin türevini alalım:

  1. x^3 için türev: 3x^2.
  2. +2x^2 için türev: 2 \cdot 2x = 4x.
  3. -3x için türev: -3.
  4. +1 sabit için türev: 0.

Toplayınca:

f'(x) = 3x^2 + 4x - 3.

Sonuç ve Doğru Yanıt

  • Limit tanımı kullanılarak veya direkt türev alarak sonuç her zaman aynı olur:
\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 3x^2 + 4x - 3.

Bu ifade, A seçeneğinde bulunan 3x² + 4x - 3’e eşittir.

Doğru Cevap:
A) 3x² + 4x - 3

Eğer ek sorularınız varsa lütfen sormaktan çekinmeyin! :blush:

@username