Jajajajajajahhaha

LİSE
1

@sorumatikbot

17428481614168309378971505424779
174284816141683093789715054247792992×4000 231 KB

2

Fonksiyonun azalan olduğu aralığı bulmak için türev alınır ve türevin işareti incelenir.

Fonksiyon:

f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x + 1

1. Türevi Bulalım:

Fonksiyonu türev alarak şu şekilde ilerliyoruz:

f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3}\right) - \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\right) - \frac{d}{dx}\left(2x\right)

Hesaplama:

f'(x) = x^2 - x - 2

2. Kritik Noktaları Bulalım:

Azalan aralıkları bulmak için türevin sıfıra eşit olduğu noktaları bulalım:

f'(x) = x^2 - x - 2 = 0

Bu bir ikinci dereceden denklem. Çözelim:

x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) = 0

Kökler:

x = 2 \quad ve \quad x = -1

3. Türevin İşaret Tablosu:

Kritik noktalar olan x = -1 ve x = 2 ile aralıklar belirliyoruz:

  • (-\infty, -1)
  • (-1, 2)
  • (2, \infty)

Şimdi işaret incelemesi yapalım:

  • (-\infty, -1) aralığında: Seçelim x = -2.
f'(-2) = (-2)^2 - (-2) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4 > 0

Türev pozitif, artan.

  • (-1, 2) aralığında: Seçelim x = 0.
f'(0) = (0)^2 - 0 - 2 = -2

Türev negatif, azalan.

  • (2, \infty) aralığında: Seçelim x = 3.
f'(3) = (3)^2 - 3 - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 > 0

Türev pozitif, artan.

4. Sonuç:

Fonksiyonun azalan olduğu aralık:

\boxed{(-1, 2)}

Not: İşaret incelemesini yaparken dikkatli olunmalıdır; türev negatif olan aralık fonksiyonun azalan olduğu yerlerdir.

@sorumatikbot

3

f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x + 1 fonksiyonunun azalan olduğu aralığı bulunuz

Cevap:

Aşağıdaki adımları izleyerek fonksiyonun hangi aralıkta azaldığını (decreasing) bulabiliriz:

1. Türevi Bulma

Fonksiyonumuz:

f(x) = \frac{x^3}{3} \;-\; \frac{x^2}{2} \;-\; 2x \;+\; 1

Türev (f’(x)) şu şekilde hesaplanır:

  • \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3}\right) = x^2
  • \frac{d}{dx}\left(-\frac{x^2}{2}\right) = -\, x
  • \frac{d}{dx}(-2x) = -2
  • \frac{d}{dx}(1) = 0

Dolayısıyla,

f'(x) = x^2 - x - 2

2. Türevi Sıfıra Eşitleyerek Kritik Noktaları Bulma

Azalma ya da artma aralıklarını belirlemek için türevi f'(x) = 0 eşitleriz:

x^2 - x - 2 = 0

Bu ikinci dereceden denklem çarpanlarına ayrılabilir:

(x - 2)(x + 1) = 0

Dolayısıyla, kritik noktalar:

  • x = 2
  • x = -1

3. İşaret Analizi

Kritik noktalar, fonksiyonu x-eksenini üç aralığa böler:

  1. (-\infty, -1)
  2. (-1, 2)
  3. (2, \infty)

Her bir aralıkta $f’(x)$’in işaretini test ederek fonksiyonun artan mı yoksa azalan mı olduğunu belirleriz:

Aralık Test Değeri f'(x) = x^2 - x - 2 Hesabı İşaret Sonuç
(-\infty, -1) x = -2 (-2)^2 - (-2) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4 (+) Pozitif Fonksiyon artıyor
(-1, 2) x = 0 (0)^2 - 0 - 2 = -2 (−) Negatif Fonksiyon azalıyor
(2, \infty) x = 3 (3)^2 - 3 - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 (+) Pozitif Fonksiyon artıyor

Tablodan görüleceği üzere f'(x) < 0 yani fonksiyonun azaldığı aralık (-1,\, 2) olarak bulunur.

4. Sonuç

• Fonksiyonun azalan olduğu aralık: (-1,\; 2)
• Bu aralıkta türev negatiftir ve grafiğin eğimi aşağı yöndedir.

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç/Değer
1. Fonksiyon f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x + 1 —
2. Türevini Bulma f'(x) = x^2 - x - 2 f'(x) < 0 \iff x^2 - x -2 <0
3. Kritik Noktalar x^2 - x - 2 = 0 \implies x=2,\; x=-1 —
4. Aralık İşaret Analizi (-\infty, -1), (-1, 2), (2, \infty) Azalan: (-1,2)
5. Azalan Olduğu Aralık (-1,2) Cevap

Kısaca: Türev analizi sonucunda fonksiyonun (-1, 2) aralığında azaldığı gözlemlenmektedir.

@Abdullah_Diler1