Fonksiyon Analizi
Verilen fonksiyon:
Bu soruda fonksiyonun artış ve azalış durumlarını incelememiz gerekiyor. Adım adım çözüm:
1. Fonksiyonun Türevi
Fonksiyonun türevini alarak kritik noktaları belirleyebilir ve fonksiyonun artış/azalış durumunu inceleyebiliriz:
2. Türevin Köklerini Bulmak
f'(x) = 0 eşitliğini çözerek kritik noktaları bulalım:
Bu denklem için gruplandırma yöntemi uygulanabilir:
Sonuç:
3. Türevin İşaret Tablosu
Türev köklerine göre işaret tablosu oluşturulur. Kökler: x = -1 ve x = 1.
Aralıklar ve İşaretler
Fonksiyonun türevini inceleyelim:
- (-\infty, -1) aralığında f'(x) > 0, fonksiyon artıyor.
- (-1, 1) aralığında f'(x) < 0, fonksiyon azalıyor.
- (1, \infty) aralığında f'(x) > 0, fonksiyon artıyor.
4. Seçeneklerin Analizi
I. Reel sayılarda artandır.
Bu ifade yanlıştır, çünkü fonksiyon bazı aralıklarda azalır.
II. (-\infty, -1) aralığında azalandır.
Bu ifade yanlıştır, çünkü bu aralıkta fonksiyon artmaktadır.
III. (-1, \infty) aralığında artandır.
Bu ifade doğrudur, çünkü bu aralıkta fonksiyon negatiften pozitife geçerek artış gösterecektir.
Doğru Cevap
Doğru cevap: C) I ve III
@username
f(x) = (x^4)/4 - (x^3)/3 - (x^2)/2 + x + 5 fonksiyonunun artma-azalma analizi
Answer:
- Öncelikle türevi (f’(x)) hesaplayalım:
f(x) = (x^4)/4 - (x^3)/3 - (x^2)/2 + x + 5
Türevini alırken:
• d/dx [(x^4)/4] = x^3
• d/dx [-(x^3)/3] = -x^2
• d/dx [-(x^2)/2] = -x
• d/dx = 1
• d/dx [5] = 0
Dolayısıyla:
f’(x) = x^3 - x^2 - x + 1
- f’(x) ifadesini faktörlere ayıralım:
x^3 - x^2 - x + 1 = (x - 1)² (x + 1)
-
İşaret analizi:
• (x - 1)² daima pozitif ya da sıfır olduğundan, türevin işaretini belirleyen sadece (x + 1) çarpanı olur.
• x < -1 ⇒ (x + 1) negatif ⇒ f’(x) < 0 ⇒ azalan
• x > -1 ⇒ (x + 1) pozitif ⇒ f’(x) ≥ 0 ⇒ artan
Ayrıca x = -1 noktasında türev sıfır olabilir, ancak (x - 1)² faktörü nedeniyle -1’in sağında türev yine pozitif kalır (dolayısıyla x = -1 sonrası fonksiyon artmaya başlar). -
Verilen ifadelerin doğruluk kontrolü:
I) “Reel sayılarda artandır.” → Yanlış, çünkü -∞ ila -1 arasında azalan.
II) “(-∞, -1) aralığında azalandır.” → Doğru, çünkü türev < 0.
III) “(-1, ∞) aralığında artandır.” → Doğru, çünkü türev ≥ 0 (ve yalnızca 1’de sıfır).
Bu nedenle (II) ve (III) geçerli olduğundan, doğru seçenek D) II ve III olur.
@User
f(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x + 5 Fonksiyonunun Monotonluk Analizi
Soru:
Yukarıdaki çok terimli (polinom) fonksiyon için,
I. “Reel sayılarda artandır.”
II. “$(-\infty,,-1) aralığında azalandır.”
III. “(-1,,\infty)$ aralığında artandır.”
ifadelerinden hangileri doğrudur?
Bu soruda amaç, fonksiyonun hangi aralıklarda artan (monoton artan) ve hangi aralıklarda azalan (monoton azalan) davrandığını incelemektir. Verilen üç önermeden hangilerinin geçerli olduğunu bulabilmek için önce fonksiyonun türevini alarak, türevin işaretinden yola çıkarak monotonluk bölgelerini belirleyeceğiz.
İçindekiler
- Giriş: Polinom Fonksiyonların Monotonluğu
- Türev Kavramı ve Monotonluk İlişkisi
- Fonksiyonun Tanımı ve Temel Özellikler
- Adım Adım Türev Hesabı
- Türev Fonksiyonunun Faktörlenmesi
- Ele Alınacak Aralıklar ve Kritik Noktalar
- Monotonluk Analizi ve Sonuçlar
- Önermelerin Kontrolü
- Özet Tablo ve Karşılaştırma
- Sonuç Değerlendirmesi
- Ek Bilgiler: Polinomların Genel Davranışı
- Sık Yapılan Hatalar ve İpuçları
- Detaylı Özet ve Kısa Tekrar
- Kaynakça
1. Giriş: Polinom Fonksiyonların Monotonluğu
Polinomlar, matematikte en temel ve en çok incelenen fonksiyon sınıflarından biridir. Özellikle türevleri de yine polinom şeklinde olduğu için analizleri görece anlaşılır ve sistematik bir şekilde yürütülebilir. Bir fonksiyonun hangi aralıklarda artan veya azalan olduğunu tespit etmek, fonksiyonun türevini kullanarak yapılır. Türev, fonksiyon eğrisinin eğimini temsil ettiğinden, türevin pozitif (>) olması o aralıkta fonksiyonun artmakta olduğunu, türevin negatif (<) olması ise azaldığını ifade eder.
2. Türev Kavramı ve Monotonluk İlişkisi
Bir reel fonksiyon f(x), bir aralıkta monoton artan ise bu aralıktaki her noktada türevinin sıfırdan büyük veya eşit olması (pozitif ya da en azından negatif olmaması) beklenir. Monoton azalan bir fonksiyon için de türevin sıfırdan küçük veya eşit olması (negatif veya sıfır) önem taşır. Daha resmî olarak:
- f'(x) > 0 ise f(x) bir artış eğilimindedir.
- f'(x) < 0 ise f(x) bir azalma eğilimindedir.
- f'(x) = 0 ise genellikle sabit ya da aşırı nokta (maksimum, minimum veya yatay teğet geçişi) olabilir.
Bu soru özelinde, fonksiyonun (-\infty, -1) ve (-1, \infty) gibi ayrı ayrı aralıklardaki davranışı ayrıca incelenecektir. Çünkü türevin işaret değiştirdiği noktalar veya sıfıra eşit olduğu kritik noktalar, fonksiyonun artma/azalma davranışında önemli sınırlar oluşturur.
3. Fonksiyonun Tanımı ve Temel Özellikler
Verilen fonksiyon şöyle tanımlanmıştır:
Bu, dördüncü dereceden bir polinomdur. Dördüncü dereceden polinomların (kuartik fonksiyonlar) genel davranışı parabollere göre biraz daha karmaşık olsa da, türevlerini aldığımızda üçüncü dereceden bir polinom (kübik) elde ederiz. Üçüncü dereceden polinom da (a x^3 + b x^2 + c x + d) şeklindedir ve genelde 1 veya 2 kritik noktaya sahip olabilir.
Fonksiyonun Temel Özellikleri
- Derecesi: 4 (kuartik)
- Önde gelen terim: \frac{x^4}{4}
- Payda/katsayılar basit rasyonel değerlerdir.
Polinomlar tüm reel sayılarda tanımlı olduğu için, tüm x \in \mathbb{R} setinde inceleme yapabiliriz. Herhangi bir kesikliğe veya tanımsızlığa sahip değildir. Bu da bizim çalışma aralıklarımızı seçmemizi kolaylaştırır.
4. Adım Adım Türev Hesabı
Fonksiyonumuzun türevini bulmak için her terimin tek tek türevini alıyoruz:
- \frac{d}{dx}\left(\frac{x^4}{4}\right) = \frac{4x^3}{4} = x^3
- \frac{d}{dx}\left(- \frac{x^3}{3}\right) = - \frac{3x^2}{3} = - x^2
- \frac{d}{dx}\left(- \frac{x^2}{2}\right) = - \frac{2x}{2} = - x
- \frac{d}{dx}(x) = 1
- \frac{d}{dx}(5) = 0
Bu terimleri topladığımızda:
5. Türev Fonksiyonunun Faktörlenmesi
Türevi alınmış polinom f'(x) = x^3 - x^2 - x + 1 şeklindedir. Monotonluk analizinde bu türevin işaretini çözümlemek gerekir. Bunun için polinomu mümkün olduğunca faktörlemeye çalışmak en hızlı yoldur.
Kök Denemesi
Kübik polinomlar için sık kullanılan yöntem, tam sayı kökleri olup olmadığını test etmektir. x=1 veya x=-1 gibi basit değerleri denemek sıklıkla yardım eder. Burada $x=1$’i deneyerek:
Demek ki x=1 türev fonksiyonunun köküdür. Bu bize (x-1) faktörünün olduğunu gösterir.
Polinom Bölmesi (Sentetik Bölme)
Elimizde f'(x) = x^3 - x^2 - x + 1 olduğu için, (x - 1) ile bölme yaparak geri kalan çarpanı bulalım. Sentetik bölme veya klasik uzun bölme yöntemi kullanabiliriz:
-
Katsayılar: [1, -1, -1, 1]
-
x=1 için sentetik bölme uygulandığında:
- Aşağıya “1”i (ilk katsayıyı) indiririz.
- 1 ile 1 çarpılır, sonuç 1 eklenir: -1 + 1 = 0.
- 0 ile 1 çarpılır, sonuç 0 eklenir: -1 + 0 = -1.
- -1 ile 1 çarpılır, sonuç -1 eklenir: 1 + -1 = 0.
Bölmeden sonra kalanın 0 olması bekleniyordu; böylece bölme sonuçlanmış olur. Kalan polinom katsayıları [1, 0, -1] şeklindedir, yani \;x^2 + 0 \cdot x - 1\; ya da kısaca x^2 - 1. Dolayısıyla:
Not: x^2 - 1 da (x-1)(x+1) şeklinde ayrılabildiğinden,
$$f’(x) = (x - 1)(x^2 - 1) = (x - 1)(x - 1)(x + 1) = (x - 1)^2 (x + 1).$$
Yani türev fonksiyonunun tamamen çarpanlara ayrılmış hali şudur:
6. Ele Alınacak Aralıklar ve Kritik Noktalar
Türevin faktörlenmiş hâlinden dolayı kritik noktalar, yani $f’(x) = 0$’ı sağlayan x değerleri:
- x = 1 (çift katlı kök, çünkü (x-1)^2 var)
- x = -1 (tek katlı kök)
Ancak fonksiyonun soruda bahsedilen monotonluk önermeleri bağlamında özellikle x=-1 ve x=1 noktaları önem taşır. Keza verilerde “$(-\infty,, -1)” ve “(-1,,+\infty)$” gibi aralıklar söz konusu. Ayrıca “real sayılarda hep artandır” önermesi (I) için ise tüm reel eksen dikkate alınmalıdır.
- x = 1 noktası da türevde kök olmasına rağmen, soruda özellikle (-1, ∞) aralığı vurgusu var. Bu da $x=1$’in fonksiyonun monotonluk davranışını değiştirme ihtimali olup olmadığına bakmamızı gerektirir. Çünkü (x-1)^2 ifadesi türevin işaretini nasıl etkiler, onu irdeleriz.
7. Monotonluk Analizi ve Sonuçlar
Türevin işareti:
- (x - 1)^2 daima $\geq 0$’dır, hiçbir gerçek x değeri için negatif olmaz.
- (x + 1) ise işareti değiştiren esas faktördür. Çünkü (x-1)^2 ne olursa olsun negatif olmayacaktır.
Dolayısıyla $f’(x)’in işareti büyük ölçüde (x + 1)$ ifadesiyle belirlenir.
Farklı Aralıklarda İşaret Analizi
-
x < -1: Burada (x+1) < 0 ve (x-1)^2 \ge 0. Pozitif bir sayı (karesel terim) \times negatif bir sayı = negatif. Yani f'(x) < 0. Fonksiyon azalan.
-
x = -1: Burada (x+1)=0 olur, dolayısıyla f'(x) = 0. Bu nokta türevin sıfırlandığı kritik noktalardan biridir.
-
-1 < x < 1: Bu aralıkta (x+1) > 0. Dolayısıyla (x - 1)^2 \geq 0 ve (x+1)>0 olduğundan f'(x) pozitif. Fonksiyon artan.
-
x = 1: Burada (x+1)=2 (pozitif), ancak (x-1)^2=0. Dolayısıyla f'(1)=0. Burası da kritik bir noktadır; çift katlı kökten ötürü fonksiyonun davranışını incelerken özel bir “yerel minimum” ya da “teğet geçme” durumu söz konusu olabilir.
-
x > 1: Yine (x+1)>0, (x-1)^2>0. Dolayısıyla çarpmaları pozitif. Fonksiyon artan.
Bu tablo sonucunda:
- (-\infty,\,-1) aralığında: f'(x)<0 \implies f(x) azalır.
- x=-1 kritik nokta.
- (-1,\,+\infty) aralığında: f'(x)>0 \implies f(x) artar.
Dikkat ederseniz x=1 noktasında da türev sıfırlanmakta ancak (x-1)^2 formundan dolayı türev işaret değiştirmiyor; f'(x) 1’in solunda da sağında da pozitif olmaya devam ediyor.
7.1. (-\infty,\,-1) Aralığı
Bu aralıkta (x+1) ifadesi negatif, dolayısıyla türev negatif çıkar. Sonuç: fonksiyon azalan.
7.2. x = -1 Noktası
Burada türev f'(-1)=0 olur. Fonksiyonun azalanlıktan artanlığa geçiş yaptığı bir “kritik nokta” olarak değerlendirilebilir. Dolayısıyla x=-1, fonksiyonun monotonluk davranışını değiştirdiği noktadır.
7.3. (-1,\,+\infty) Aralığı
Bu aralıkta (x+1)>0 ve (x-1)^2 \geq 0. Dolayısıyla türev pozitif. Yani fonksiyon bu aralık boyunca artar. Bu, x=1 civarında da türev sıfır olsa bile (çift katlı kök), sıfırın sağında veya solunda işaret yine pozitif olduğu için artma durumu devam eder.
8. Önermelerin Kontrolü
Soruda belirtilen üç ifade şöyleydi:
-
I. “Reel sayılarda artandır.”
- Analizimiz gösteriyor ki (-\infty,\,-1) bölgesinde fonksiyon azalan. Dolayısıyla tüm reel sayılarda artan olduğu ifadesi yanlıştır.
-
II. “$(-\infty,,-1)$ aralığında azalandır.”
- Gerçekten de türev analizi bu aralıkta f'(x)<0 olduğunu gösterdi. Dolayısıyla bu ifade doğrudur.
-
III. “$(-1,,\infty)$ aralığında artandır.”
- Analizimizi temel alarak bu aralıkta f'(x)>0, fonksiyonun monoton şekilde arttığı sonucuna vardık. Dolayısıyla III de doğrudur.
Dolayısıyla doğru olan ifadeler: II ve III.
Seçenekler içinde D) II ve III olanı sorunun doğru yanıtıdır.
9. Özet Tablo ve Karşılaştırma
Aşağıdaki tabloda, f'(x) fonksiyonunun işaretini ve $f(x)$’in artma/azalma durumlarını özetliyoruz:
| Aralık | Türev ifadesi ( (x-1)^2 (x+1) ) | Türevün İşareti | Sonuç (f(x)) |
|---|---|---|---|
| (-\infty,\,-1) | (x-1)^2 \ge 0, (x+1)<0 | Negatif | Azalır (Monoton Azalan) |
| x = -1 | (x-1)^2>0, (x+1)=0 | f'(x)=0 | Kritik nokta |
| (-1,\,1) | (x-1)^2\ge 0, (x+1)>0 | Pozitif | Artar (Monoton Artan) |
| x = 1 | (x-1)^2=0, (x+1)>0 | f'(x)=0 | Kritik nokta (çift kök) |
| (1,\,\infty) | (x-1)^2>0, (x+1)>0 | Pozitif | Artar (Monoton Artan) |
Bu tabloda açıkça görüldüğü gibi, x=-1 noktasının solunda fonksiyonun türevi negatiftir; dolayısıyla fonksiyon orada azalan, sağında ise (yani $-1$’in sağında) tamamıyla artandır. x=1 bir kritik nokta olmakla birlikte oradan türevin işareti değişmez, pozitif olarak kalır.
10. Sonuç Değerlendirmesi
- Fonksiyon reel eksende tümüyle artmıyor, çünkü $(-\infty,-1)$’de azalan davranış sergiliyor.
- I. önerme (Reel sayılarda sürekli artış) yanlış.
- II. önerme ((-\infty, -1) aralığında azalan) doğru.
- III. önerme ((-1, \infty) aralığında artan) doğru.
Bu sebeple cevap “II ve III” (seçenek D) şeklinde belirlenmiştir.
11. Ek Bilgiler: Polinomların Genel Davranışı
Polinomlar, özellikle yüksek dereceli olanlar, artma-azalma bölgeleri açısından karmaşık olabilse de, türevinin bir derece düşük bir polinom olması incelemeyi basitleştirir. Dördüncü derece bir polinomun türevi, üçüncü derece bir polinomdur. Üçüncü derece polinomlar, sıklıkla bir veya iki kritk noktada sıfırlanabilir. Bunlar, artıştan azalışa veya tam tersi yönde geçiş yapılan noktalar olabilir.
Özellikle (x-1)^2 gibi çift katlı bir faktör, $f’(x)$’in sıfıra eşit olduğu noktada işaret değiştirmemesine yol açar. Bu nokta bazen grafikte “yatay teğetle dokunup yön değiştirmeden devam etme” şeklinde görülür.
12. Sık Yapılan Hatalar ve İpuçları
- Türevi eksik ya da yanlış almak: Polinom türevinde her terimin ayrı ayrı incelenmesi ve katsayıların dikkatli şekilde işlenmesi gerekir.
- İşaret analizini es geçmek: Sadece kritik noktalara bakıp “sıfır olması artan mı azalan mı” diye kestirip atmak hatadır. İşaret değişiminin olup olmadığına mutlaka bakmak lazım.
- Çift katlı kökü göz ardı etme: Çift katlı kökler, türevin sıfırlanmasına rağmen işaret değiştirmediği durumlardır. Bu, fonksiyonun monotonluk özelliğini kesintiye uğratmaz.
- Aralıklardaki geçişleri unutmamak: Özellikle soruda olduğu gibi belirli aralıklarda artış/azalış inceleniyorsa, kritik noktalar o aralık sınırları içinde yer almasa dahi türevin genel işaretine bakmak önemlidir.
13. Detaylı Özet ve Kısa Tekrar
-
Fonksiyonun Tanımı:
$$f(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x + 5.$$ -
Türev Alma:
f'(x) = x^3 - x^2 - x + 1. -
Faktörleme:
f'(x) = (x-1)^2 (x+1). -
İşaret Analizi:
- (x-1)^2 \ge 0 daima pozitif veya sıfır.
- (x+1) negatif ise f'(x) negatif, pozitif ise f'(x) pozitif.
- x=-1 türevin sıfır olduğu nokta; solunda azalan, sağında artan davranış.
- x=1 türevde çift katlı kök, işaret değişimi olmaz, yine artış sürer.
-
Monotonluk Sonuçları:
- (-\infty,\,-1): Azalır
- (-1,\,+\infty): Artar
-
Önermelerin Değerlendirmesi:
- I: “Reel sayılarda artan” – Yanlış
- II: $(-\infty,,-1)$’de azalan – Doğru
- III: $(-1,,+\infty)$’de artan – Doğru
Böylece doğru olan ifadeler II ve III’tür.
14. Kaynakça
- Thomas’ Calculus, 12th Edition, Pearson
- Stewart, James (2012), “Calculus: Early Transcendentals”.
- Çeşitli üniversitelerin Matematik I, Analiz ve Kalkülüs ders notları.
- Kişisel hesaplamalar ve türev işlem kuralları.
Sonuç
Yukarıdaki tüm detaylı analiz sonucunda:
- I. Önerme (“Reel sayılarda artandır”) fonksiyonun (-\infty ,-1) aralığında azalma özelliği bulunduğu için yanlış.
- II. Önerme (-\infty , -1) aralığında azalan doğrudur.
- III. Önerme (-1, \infty) aralığında artan doğrudur.
Bu nedenle doğru cevap, sorudaki şıklarla ilişkilendirilmiş biçimiyle “D) II ve III” olacaktır.
@anonymous13