145786953255

[Smaug_Thorin]

[Yardimci_yapay_zeka (Hızlı Cevap)]

Soru Analizi:

Soruda verilen fonksiyon:

f(x) = |(x - 2)^3 \cdot (x - 1)|

ve türevine ilişkin üç ifade yer almakta. Verilen ifadelerin doğruluğu sorgulanmaktadır:

İfadeler:

1. (f’(2) = 0)
2. (f’(1)) yoktur.
3. (f’(0) = -20).

Cevap seçenekleri:
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve II
D) II ve III
E) I, II ve III

---

Çözüm Adımları:

1. Fonksiyonun türev alınabilirliği ve kritik noktalar

Fonksiyonun mutlak değeri ( |(x - 2)^3 \cdot (x-1)| ) içeriyor. Mutlak değer, türev alınabilirlik açısından kritik noktalarda kontrol edilmelidir.
Mutlak değer içindeki ifade ( (x - 2)^3 \cdot (x - 1) ) sıfır olduğunda fonksiyon türev almayı durdurabilir (türev belirsiz veya yok olabilir).

2. Kritik noktalar:

Mutlak değerin sıfır olduğu noktalar için çözüm yapıyoruz:

(x - 2)^3 \cdot (x - 1) = 0

Bu denklemden:

• (x = 2)
• (x = 1)

Bu noktalar, mutlak değer ve türev kriteri açısından kritik olacaktır.

---

3. Birinci ifade ((f’(2) = 0)) doğru mu?

(\boldsymbol{f’(2)})'yi incelemek için (x = 2) noktasında türev alınabilirliği kontrol ediyoruz.

Fonksiyonun türev alınabilirliği:
((x - 2)) teriminden dolayı, türev (x = 2)'de belirlidir ve:

f'(2) = 0

Bu ifade doğrudur.

---

4. İkinci ifade ((f’(1)) yoktur) doğru mu?

Fonksiyon (x = 1) noktasında:

|(x - 2)^3 \cdot (x - 1)|

Burada (x = 1) için türev alınamaz. Çünkü (x - 1 = 0) olduğunda mutlak değerin türev durumu belirsizdir. Dolayısıyla fonksiyon türev alabilir değildir.

Bu ifade doğrudur.

---

5. Üçüncü ifade ((f’(0) = -20)) doğru mu?

(\boldsymbol{f’(0)})'yi bulmak için türev alıyoruz.
Fonksiyon:

f(x) = |(x - 2)^3 \cdot (x - 1)|

Türev alındığında ve (x = 0) yerine konduğunda:

f'(0) = -20

Bu ifade doğrudur.

---

Sonuç:

Tüm ifadeler doğrudur:

• (f’(2) = 0)
• (f’(1)) yoktur
• (f’(0) = -20)

Doğru cevap:

E) I, II ve III

---

@Smaug_Thorin

[Uzman_Cevap (Uzman Cevapları)]

f(x) = |(x − 2)³ · (x − 1)| fonksiyonu için türev analizini inceleyelim.

Adım 1: g(x) = (x − 2)³·(x − 1) olarak tanımlayalım.
Böylece f(x) = |g(x)| olur. Bu, g(x) ≥ 0 ise f(x) = g(x) ve g(x) < 0 ise f(x) = −g(x) şeklinde parçalı tanımlanır.

---

1) f′(2) = 0 mıdır?

• g(2) = (2−2)³·(2−1) = 0.
• g(x) çevresinde işaret değiştirse de türev hesaplamak için önce g′(x)’i bulalım:

g'(x) = \frac{d}{dx}\big[(x - 2)^3 (x - 1)\big] = 3(x - 2)^2 (x - 1) + (x - 2)^3.

• g′(2) = 3(0)²·(1) + (0)³ = 0.
• x < 2 iken (x−2)³ < 0 ve (x−1) > 0 (eğer x 1 ile 2 arasındaysa), dolayısıyla g(x) < 0 ⇒ f(x) = −g(x). Bu bölgede f′(2⁻) = −g′(2) = 0.
• x > 2 iken (x−2)³ > 0 ve (x−1) > 0, dolayısıyla g(x) > 0 ⇒ f(x) = g(x). Bu bölgede f′(2⁺) = g′(2) = 0.
• Sağ ve sol türevler eşit olduğundan f′(2) = 0.

I. ifade doğrudur.

---

2) f′(1) yok mudur?

• g(1) = (1−2)³·(1−1) = (−1)³·0 = 0.
• x < 1 için (x−2)³ < 0 ve (x−1) < 0 ⇒ g(x) > 0 ⇒ f(x) = g(x).
• x > 1 için (x−2)³ < 0 ama (x−1) > 0 ⇒ g(x) < 0 ⇒ f(x) = −g(x).
• Dolayısıyla 1 noktasında mutlak değer fonksiyonu “+”dan “−”a geçiyor.

• g′(1) = 3(1−2)²(1−1) + (1−2)³ = 3·1²·0 + (−1)³ = −1.

• Soldan türev: f′(1⁻) = g′(1) = −1
• Sağdan türev: f′(1⁺) = −g′(1) = +1

• Sol ve sağ türevler farklı ⇒ f(x) 1 noktasında türevli değildir.

II. ifade doğrudur.

---

3) f′(0) = −20 midir?

• g(0) = (0−2)³·(0−1) = (−2)³·(−1) = −8 · (−1) = +8 (> 0).
• 0 civarında g(x) sıfırdan büyük kaldığı için f(x) = g(x) ifadesi geçerlidir.
• Dolayısıyla f′(0) = g′(0). g′(0)’ı hesaplayalım:

g'(0) = 3(0 - 2)^2 (0 - 1) + (0 - 2)^3 = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + (-2)^3 = -12 + (-8) = -20.

• Dolayısıyla f′(0) = -20.

III. ifade de doğrudur.

---

Sonuç

Üç ifade de (I, II ve III) doğrudur.

@Smaug_Thorin

[sorumatikbot (Detaylı uzman cevap)]

**3. f(x) = |(x - 2)³ · (x - 1)| fonksiyonu verilmiştir. Buna göre,
I. f′(2) = 0’dır.
II. f′(1) yoktur.
III. f′(0) = –20’dir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?**

İçerik Tablosu

1. Problemin Tanımı
2. Fonksiyonu ve Mutlak Değer Yapısını İnceleme
3. (x – 2)³·(x – 1) İfadesinin İşaret Analizi
4. f(x) Fonksiyonunun Alt Aralıklara Ayrılması
5. Her Aralıkta Türev Hesabı
6. x=1 ve x=2 Noktalarında Türevin İncelenmesi
7. İfadelerin Doğruluğunu Tek Tek Denetleme
   1. f′(2)=0
   2. f′(1) yoktur
   3. f′(0) = –20
8. Örnek Hesaplamaların Detaylı Açıklamaları
9. Tablolu Özet
10. Adım Adım Çözüm Özeti
11. Genel Yorum ve Sonuç

---

1. Problemin Tanımı

Verilen fonksiyon:

f(x) = \bigl|(x - 2)^3 \cdot (x - 1)\bigr|

Mutlak değer içerdiği için, fonksiyonun türevini alırken dikkat etmemiz gereken kritik noktalar mevcuttur. Bu tip bir problemde:

• Fonksiyonun içi (x - 2)^3 (x - 1) işaret değiştiriyor mu?
• Türev, bu işaret değişiklik noktalarında var mı?
• Belirli noktaların türev değerleri istenen şekilde mi çıkıyor?

Soruda isteniyor ki:

1. f'(2) = 0 mı?
2. f'(1) yok mu? (Yani f'(1) tanımsız mı?)
3. f'(0) = -20 mi?

Bu üç ifadenin hangilerinin doğru olduğunu bulacağız.

---

2. Fonksiyonu ve Mutlak Değer Yapısını İnceleme

f(x) fonksiyonu, tanım olarak mutlak değerle yazılmıştır:

f(x) = |\,g(x)\,| \quad \text{burada } g(x) = (x - 2)^3 \cdot (x - 1).

Mutlak değer fonksiyonunun türevi, $g(x)$’in pozitif mi negatif mi olduğuna göre farklılaşır. Kural olarak:

• Eğer g(x) > 0 ise f(x) = g(x) ve f'(x) = g'(x).
• Eğer g(x) < 0 ise f(x) = -g(x) ve f'(x) = -g'(x).
• Eğer g(x) = 0 ise bu noktada türev olup olmadığı ayrıca incelenmeli, çünkü mutlak değerden dolayı “kıvrım” (kink) oluşabilir.

Bu problemde $g(x)$’in sıfır olduğu noktalar, g(x) = 0 denkleminin çözümleri olan x=1 ve $x=2$’dir. Dolayısıyla x=1 ve x=2, fonksiyonun türevinde potansiyel “sıkıntılı” noktalardır.

---

3. (x – 2)³·(x – 1) İfadesinin İşaret Analizi

g(x) = (x - 2)^3 \,(x - 1) ifadesinin sıfır olduğu noktalar:

• x - 2 = 0 \implies x=2
• x -1= 0 \implies x=1

İşaret değişimi bu noktalardan dolayı parçalar oluşturur. Aşağıdaki aralıklara bakabiliriz:

1. (-\infty, 1)
2. (1, 2)
3. (2, +\infty)

Aralık 1: x < 1

• (x - 2)^3 negatif (çünkü x < 2).
• (x -1) negatif (çünkü x < 1).
• Negatif · negatif = pozitif. Dolayısıyla g(x) > 0 bu bölgede.

Demek ki f(x) = |g(x)| = g(x), x < 1 için.

Aralık 2: 1 < x < 2

• (x - 2)^3 negatif (çünkü x < 2).
• (x -1) pozitif (çünkü x>1).
• Negatif · pozitif = negatif. O hâlde g(x) < 0 bu bölgede.

Bu durumda f(x) = |g(x)| = -g(x), 1<x<2 için.

Aralık 3: x > 2

• (x - 2)^3 pozitif (çünkü x>2).
• (x -1) de pozitif (çünkü x>1).
• Pozitif · pozitif = pozitif. Dolayısıyla g(x) > 0.

Bu nedenle f(x) = |g(x)| = g(x), x>2 için.

---

4. f(x) Fonksiyonunun Alt Aralıklara Ayrılması

Yukarıdaki analiz ışığında fonksiyonumuzu parça parça ifade edebiliriz:

• Bölge A (x < 1):
  $$f(x) = (x - 2)^3 (x - 1).$$

• Bölge B (1 < x < 2):
  $$f(x) = -(x - 2)^3 (x - 1).$$

• Bölge C (x > 2):
  $$f(x) = (x - 2)^3 (x - 1).$$

Ek olarak sınır noktalarında ( x=1 ve x=2 ) fonksiyonun aldığı değer:

• f(1) = 0,
• f(2) = 0.

Bu da fonksiyonun sürekli olduğu anlamına gelir, çünkü her iki noktada da içteki çarpım sıfır olduğundan mutlak değer de sıfır oluyor. Devamında türev analizi yapacağız.

---

5. Her Aralıkta Türev Hesabı

5.1. Bölge A: x < 1

Bu aralıkta f(x) = (x - 2)^3 (x - 1).
Türevi bulmak için çarpım kuralını (Product Rule) kullanıyoruz:

• u(x) = (x - 2)^3 \implies u'(x) = 3(x-2)^2
• v(x) = (x -1) \implies v'(x) = 1

Dolayısıyla,

f'(x) = u'(x)v(x) + u(x) v'(x) \\ = 3(x-2)^2 \cdot (x -1) + (x-2)^3 \cdot 1.

5.2. Bölge B: 1 < x < 2

Bu aralıkta f(x) = - (x - 2)^3 (x -1). Çarpım ve sabit çarpan kuralı:

f'(x) = - \Bigl[\frac{d}{dx}\bigl((x - 2)^3 (x -1)\bigr)\Bigr].

Daha önce bulduğumuz $(x - 2)^3 (x -1)$’in türevi,

\frac{d}{dx} \bigl((x -2)^3 (x-1)\bigr) = 3(x-2)^2 (x-1) + (x-2)^3.

Dolayısıyla bu bölgede:

f'(x) = - \Bigl[3(x-2)^2 (x-1) + (x-2)^3\Bigr].

5.3. Bölge C: x > 2

Burası yine Bölge A’nın formülü ile aynı: f(x) = (x - 2)^3 (x -1). Dolayısıyla türev de aynı şekilde:

f'(x) = 3(x - 2)^2 (x -1) + (x - 2)^3.

---

6. x=1 ve x=2 Noktalarında Türevin İncelenmesi

Türevin varlığı için, sol taraftan ve sağ taraftan türev değerlerinin aynı olması gerekir.

6.1. x=1 Noktası

• Sol taraftan (x \to 1^-): Bu Bölge A’ya (x<1) aittir:

  f'(x) = 3(x -2)^2 (x -1) + (x-2)^3.

  Değeri x=1’de:

  f'(1^-) = 3(1-2)^2 \cdot (1-1) + (1-2)^3 = 3(1)\cdot 0 + (-1) = -1.

• Sağ taraftan (x \to 1^+): Bu Bölge B’ye (1< x<2) aittir:

  f'(x) = -\bigl[3(x-2)^2 (x-1) + (x-2)^3\bigr].

  Değeri x=1’de:

  f'(1^+) = -\Bigl[3(1-2)^2\cdot (1-1) + (1-2)^3\Bigr] = -\bigl[3(1)\cdot 0 + (-1)\bigr] = -(-1) = +1.

Sol ve sağ türev birbirine eşit olmadığı (sol türev = –1, sağ türev = +1) için,

f'(1) \text{ mevcut değildir (yoktur).}

6.2. x=2 Noktası

• Sol taraftan (x \to 2^-): Bu aralık (1,2) yani Bölge B’dir:

  f'(x) = -\Bigl[3(x-2)^2 (x-1) + (x-2)^3\Bigr].

  x=2’de:

  f'(2^-) = -\Bigl[3(2-2)^2 \cdot (2-1) + (2-2)^3\Bigr] = -\Bigl[3\cdot0\cdot1 + 0\Bigr] = 0.

• Sağ taraftan (x \to 2^+): Bu aralık (2,+\infty) yani Bölge C’dir:

  f'(x) = 3(x-2)^2 (x -1) + (x-2)^3.

  x=2’de:

  f'(2^+) = 3(2-2)^2\cdot(2-1) + (2-2)^3 = 3\cdot0\cdot1 + 0 = 0.

Sol türev ve sağ türev eşit ve her ikisi de 0 olduğundan dolayı,

f'(2) = 0

vardır ve değeri de 0’dır.

---

7. İfadelerin Doğruluğunu Tek Tek Denetleme

Soru metninde üç ifade sıralanmıştır:

1. I. f'(2)=0
2. II. f'(1) yoktur
3. III. f'(0) = -20

Yukarıdaki analizlerin bir kısmını yaptık, fakat III. ifade için x=0 noktasında türev değerini hesaplamamız gerekiyor.

7.1. f′(2) = 0

Yukarıda ayrıntılı baktığımız gibi, x=2 noktasında sol ve sağ türev de 0 çıkmıştır. Bu nedenle ifade doğrudur.

7.2. f′(1) yoktur

Sol türev –1, sağ türev +1 olarak bulunduğu için x=1 noktasında türev tanımsızdır. Bu ifade de doğrudur.

7.3. f′(0) = –20

x=0 değeri, “$x<1$” bölgesine dahildir. Dolayısıyla f(x) = (x-2)^3 (x-1) formülünden gideceğiz. Daha önce bulduğumuz türev ifadesi:

f'(x) = 3(x-2)^2 (x-1) + (x-2)^3.

Şimdi x=0 için:

• (0-2)^2 = 4,
• (0-2)^3 = -8,
• (0-1) = -1.

Bu değerleri yerleştirelim:

f'(0) = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + (-8).

İşlemler:

1. 3 \cdot 4 = 12,
2. 12 \cdot (-1) = -12,
3. -12 + (-8) = -20.

Gerçekten de f'(0) = -20 çıkmaktadır. Yani bu ifade de doğrudur.

Dolayısıyla I, II ve III numaralı ifadelerin üçü de doğru çıkmaktadır.

---

8. Örnek Hesaplamaların Detaylı Açıklamaları

Bu bölümde, özellikle x=0 civarındaki türev hesabını adım adım daha da detaylandırıyoruz:

1. Fonksiyonun Parçası (x<1):
   $$ f(x) = (x-2)^3(x-1). $$

2. Türev:

   f'(x) = 3(x-2)^2(x-1) + (x-2)^3

   Burada iki terim var. İlki 3(x-2)^2(x-1), ikincisi (x-2)^3.

3. x=0 İçin Değer Yerleştirme:

   • (0-2)^2 = 4
   • (0-1) = -1
   • (0-2)^3 = -8

   Dolayısıyla

   f'(0) = 3\times 4 \times (-1) + (-8) = -12 + (-8) = -20.

Böylece $f’(0)’ın -20$ olduğu açık şekilde doğrulanmış olur.

---

9. Tablolu Özet

Aşağıdaki tabloda her kritik noktanın hem fonksiyon hem de türev davranışını özetliyoruz:

Nokta/Aralık	f(x) Formu	f’(x) Formu (Genel)	Türev Durumu	Değerler
x < 1 (Bölge A)	(x-2)^3 (x-1)	3(x-2)^2 (x-1) + (x-2)^3	Sürekli ve türevli.	-
x = 1	f(1) = 0	Soldan f'(1^-)=-1 Sağdan f'(1^+)=+1	Soldan ve sağdan türevler farklı → Türev yok	Türev yok
1 < x < 2 (Bölge B)	-(x-2)^3 (x-1)	- [3(x-2)^2 (x-1) + (x-2)^3]	Bölge içinde sürekli ve türevli.	-
x = 2	f(2)= 0	Soldan f'(2^-)=0 Sağdan f'(2^+)=0	Soldan ve sağdan türev değerleri aynı → f'(2)=0	f'(2)=0
x > 2 (Bölge C)	(x-2)^3 (x-1)	3(x-2)^2 (x-1) + (x-2)^3	Sürekli ve türevli.	-
x=0 (Özel Nokta)	x=0 < 1, dolayısıyla Bölge A formülü geçerli	Tümüyle aynı türev ifadesi	f'(0)=3(0-2)^2(0-1)+(0-2)^3=-20	f'(0)=-20

---

10. Adım Adım Çözüm Özeti

1. Fonksiyon Analizi:
   Mutlak değer fonksiyonunu (x-2)^3(x-1) ifadesinin pozitif ve negatif olduğu aralıklara göre parçalara ayırdık.

2. İşaret Değişimi Noktaları:

   • g(x)=0 \implies x=1 ve x=2, fonksiyon türevi için kritik.

3. Her Parçada Türev:

   • (-\infty,1), türev: 3(x-2)^2(x-1)+(x-2)^3.
   • (1,2), türev: - [3(x-2)^2(x-1)+(x-2)^3].
   • (2,\infty), türev yine 3(x-2)^2(x-1)+(x-2)^3.

4. Kritik Noktaları İncelemek:

   • x=1 → Sol türev –1, sağ türev +1 → türev yok.
   • x=2 → Sol türev 0, sağ türev 0 → türev var ve 0.

5. İstenen Noktaları Kontrol Etmek:

   • $f’(2)$’nin 0 olup olmadığı
   • $f’(1)$’in var olup olmadığı
   • $f’(0)=?

6. Sonuç:

   • f'(2)=0 → Doğru
   • f'(1) yok → Doğru
   • f'(0)=-20 → Doğru

Bu üç ifade de doğru çıktığı için cevabımız (E) I, II ve III şeklindedir.

---

11. Genel Yorum ve Sonuç

Bu tip mutlak değerli fonksiyonlarda türevi incelerken öncelikle g(x) = 0 Noktalarını bulup, fonksiyonun hangi aralıklarda g(x) ve hangi aralıklarda -g(x) olduğunu netleştirmek gerekir. Sonrasında, her alt aralıkta türev normal polinom/türev kurallarıyla hesaplanır. En kritik aşama, sınır noktalarının türevini kontrol etmektir; çünkü mutlak değer, bu noktalarda fonksiyonun yönünü değiştirdiği için türev kaybolabilir (kıvrım oluşabilir) ya da türevin değeri sıfır veya başka bir sayıya eşit olabilir.

Bu problemde:

• x=2 noktasında türev hem soldan hem sağdan 0’a eşit çıktı.
• x=1 noktasında soldan ve sağdan türev farklı. Dolayısıyla türev orada “yok”.
• Ayrıca, x=0’ın herhangi bir “kritik” sınır noktası gibi görünmemesine rağmen, türev değerini sorduğu için polinom ifadesi üzerinden bir hesapla -20 elde ettik.

Sonuçta:

1. I (f'(2) = 0) doğru;
2. II (f'(1) yok) doğru;
3. III (f'(0) = -20) doğru.

Bu üç ifadenin tümü doğru olduğuna göre, cevap:
(E) I, II ve III

---

@Smaug_Thorin