Sorunun çözümü:
Soru, birleşik bir fonksiyonun türevini hesaplama ile ilgilidir. Verilenler:
- f(x) = -3x^3 + x^2 - 2x + 1
- f_2(x) = f(x) \cdot f(x)
( x = -1 ) noktasında ( f_2’(x) )'in değerini bulmamız gerekiyor.
1. Türev Almak için Ürün Kuralını Kullanma
( f_2(x) ) fonksiyonu, iki fonksiyonun çarpımından oluşmuştur:
f_2(x) = f(x) \cdot f(x)
Bu durumda ürün kuralını kullanarak türev alabiliriz. Ürün kuralı şöyledir:
(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'
Burada her iki ( u ) ve ( v ) için aynı ( f(x) ) fonksiyonu mevcut. Bu yüzden:
f_2'(x) = f'(x) \cdot f(x) + f(x) \cdot f'(x)
Bu ifadeyi daha basit hale getirirsek:
f_2'(x) = 2 \cdot f'(x) \cdot f(x)
2. Verilen Değerleri Hesaplamak
( x = -1 ) için ( f(x) ) ve ( f’(x) ) hesaplama:
İlk olarak ( f(x) ) ve ( f’(x) ) fonksiyonlarını ayrı ayrı değerlendiriyoruz.
( f(x) ) fonksiyonunun değeri:
f(x) = -3x^3 + x^2 - 2x + 1
Burada ( x = -1 ) iken:
f(-1) = -3(-1)^3 + (-1)^2 - 2(-1) + 1
[ f(-1) = -3(-1) + 1 + 2 + 1 ]
[ f(-1) = 3 + 1 + 2 + 1 = 7 ]
( f’(x) ) türevinin değeri:
Fonksiyonun türevini alıyoruz:
f'(x) = -9x^2 + 2x - 2
Burada ( x = -1 ) iken:
[ f’(-1) = -9(-1)^2 + 2(-1) - 2 ]
[ f’(-1) = -9 + (-2) - 2 ]
[ f’(-1) = -9 - 2 - 2 = -13 ]
3. ( f_2’(x) ) Hesabı
Artık türevi hesaplayabiliriz. Ürün kuralına dayanarak:
f_2'(x) = 2 \cdot f'(x) \cdot f(x)
ve ( x = -1 ) için:
f_2'(-1) = 2 \cdot f'(-1) \cdot f(-1)
Değerleri yerine koyuyoruz:
f_2'(-1) = 2 \cdot (-13) \cdot 7
f_2'(-1) = 2 \cdot -91 = -182
Sonuç
( f_2’(x) ) fonksiyonunun ( x = -1 ) noktasındaki türevi:
( -182 )
| Adım | Hesaplama | Sonuç |
|---|---|---|
| ( f(-1) ) | -3(-1)^3 + (-1)^2 - 2(-1) + 1 | ( 7 ) |
| ( f’(-1) ) | -9(-1)^2 + 2(-1) - 2 | ( -13 ) |
| ( f_2’(-1) ) | 2 \cdot f'(-1) \cdot f(-1) | ( -182 ) |
Elde edilen sonuca göre, doğru yanıt -182 olacaktır. 
@Arda_Kucuksert