Soru 10: ( f(x) = -3x^3 + x^2 - 2x + 1 ) fonksiyonuna göre, ( f^2(x) = f(x) \cdot f(x) ) fonksiyonunun ( x = -1 ) noktasındaki türevinin değeri nedir?
Çözüm:
( f^2(x) = f(x) \cdot f(x) ) fonksiyonu bir çarpım fonksiyonudur. Bu tür fonksiyonların türevini alırken çarpım kurala uygulanır:
[
\left( f(x) \cdot g(x) \right)’ = f’(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g’(x)
]
Bu durumda ( g(x) = f(x) ) olduğu için hesaplama şu şekilde olacaktır:
[
f^2(x)’ = f’(x) \cdot f(x) + f(x) \cdot f’(x) = 2f’(x) \cdot f(x)
]
Şimdi adım adım ilerleyelim:
1. ( f’(x) ) türevini bulalım:
( f(x) = -3x^3 + x^2 - 2x + 1 ) fonksiyonu verilmiştir. Türevini alalım:
[
f’(x) = \frac{d}{dx} \left( -3x^3 + x^2 - 2x + 1 \right)
]
[
f’(x) = -9x^2 + 2x - 2
]
2. ( x = -1 ) için ( f(x) ) ve ( f’(x) )'i hesaplayalım:
-
( f(x) )'i bulalım:
[
f(-1) = -3(-1)^3 + (-1)^2 - 2(-1) + 1
]
[
f(-1) = -3( -1 ) + 1 + 2 + 1 = -3 + 4 = 1
] -
( f’(x) )‘i bulalım:
[
f’(-1) = -9(-1)^2 + 2(-1) - 2
]
[
f’(-1) = -9(1) - 2 - 2 = -9 - 2 - 2 = -13
]
3. ( f^2(x)’ )'yi hesaplayalım:
[
f^2(-1)’ = 2 \cdot f’(-1) \cdot f(-1)
]
[
f^2(-1)’ = 2 \cdot (-13) \cdot 1
]
[
f^2(-1)’ = -26
]
Cevap: ( x = -1 ) noktası için türev değeri -26’dır.
Soru 11: ( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + x} ) fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm:
Bu soru bir bölüm türevi sorusudur. Bölüm türevinde formül şu şekilde uygulanır:
[
\left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)’ = \frac{u’(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v’(x)}{v(x)^2}
]
Verilen fonksiyonda:
- ( u(x) = x^2 - 1 )
- ( v(x) = x^2 + x )
1. ( u’(x) ) ve ( v’(x) )'i hesaplayalım:
[
u’(x) = \frac{d}{dx} (x^2 - 1) = 2x
]
[
v’(x) = \frac{d}{dx} (x^2 + x) = 2x + 1
]
2. Formülü uygulayarak türevi bulalım:
[
f’(x) = \frac{u’(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v’(x)}{v(x)^2}
]
[
f’(x) = \frac{2x \cdot (x^2 + x) - (x^2 - 1) \cdot (2x + 1)}{(x^2 + x)^2}
]
3. Pay kısmını sadeleştirelim:
-
( 2x \cdot (x^2 + x) ):
[
= 2x(x^2) + 2x(x) = 2x^3 + 2x^2
] -
( (x^2 - 1) \cdot (2x + 1) ):
[
= x^2(2x + 1) - 1(2x + 1) = 2x^3 + x^2 - 2x - 1
]
Şimdi pay kısmını yazalım:
[
f’(x) = \frac{[2x^3 + 2x^2] - [2x^3 + x^2 - 2x - 1]}{(x^2 + x)^2}
]
Parantez açıp sadeleştirelim:
[
f’(x) = \frac{2x^3 + 2x^2 - 2x^3 - x^2 + 2x + 1}{(x^2 + x)^2}
]
[
f’(x) = \frac{x^2 + 2x + 1}{(x^2 + x)^2}
]
Bu son haliyle türev sonlanır.
Sonuç: Türevi,
[
f’(x) = \frac{x^2 + 2x + 1}{(x^2 + x)^2}
]
Soru 12: ( f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{g(x)} ), ( g(3) = -2 ) ve ( x = 3 ) noktasında türevlenebilir. ( f’(x) )'i hesaplayınız.
Çözüm:
Bu soru yine bir bölüm türevi sorusudur:
[
f’(x) = \frac{u’(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v’(x)}{v(x)^2}
]
1. Fonksiyon parametrelerini ve ilk türevleri belirleyelim:
-
( u(x) = x^2 - 2x - 3 ):
[
u’(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x - 3) = 2x - 2
] -
( v(x) = g(x) ):
[
v’(x) = g’(x)
]
2. Bölüm türevine göre formülü yazalım:
[
f’(x) = \frac{u’(x) \cdot g(x) - u(x) \cdot g’(x)}{[g(x)]^2}
]
3. ( x = 3 ) için değerleri yerine koyalım:
-
( u(3) ):
[
u(3) = 3^2 - 2(3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0
] -
( u’(3) ):
[
u’(3) = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4
] -
( g(3) = -2 ) olduğu zaten verilmiştir.
Şimdi türev hesabına geri dönelim:
[
f’(3) = \frac{u’(3) \cdot g(3) - u(3) \cdot g’(3)}{[g(3)]^2}
]
Yerine yazalım:
[
f’(3) = \frac{4 \cdot (-2) - 0 \cdot g’(3)}{(-2)^2}
]
Sadeleştirelim:
[
f’(3) = \frac{-8 - 0}{4} = \frac{-8}{4} = -2
]
Cevap: ( f’(3) = -2 )
Eğer anlamadığınız bir yer olursa tekrar detay açabilirim, @Teslime! 