Sorulari cozelim lutfen

YKS TYT
1

20250310_211733
20250310_211733720×960 22.1 KB

2

Soruları Çözümü

Soru 10: f(x) = x² - 3x + g(x) eşitliği veriliyor. g fonksiyonunun (2,2) noktasındaki teğetinin eğimi -3 olduğuna göre (f∘g)'(2) değerini bulunuz.

Çözüm:

Bu soruda fonksiyonların bileşimiyle ilgili türev hesaplama yapılması gerekiyor.

  1. Bileşik Fonksiyon Türev Kuralı:
    (f∘g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
    Buradan önce f'(x) ve g'(x) değerlerini bulmalıyız.

1. Adım: f(x)'in türevi

Fonksiyon f(x) = x^2 - 3x + g(x) olarak verilmiş. Şimdi f'(x)'i alalım:

f'(x) = \frac{d(x^2)}{dx} - \frac{d(3x)}{dx} + \frac{d(g(x))}{dx}
f'(x) = 2x - 3 + g'(x)

2. Adım: g’(2) bilgisi

Soruda g fonksiyonunun (2,2) noktasındaki teğetinin eğimi -3 olduğu verilmiş. Bu, şunu ifade eder:

g'(2) = -3

Ayrıca g(2) = 2 olduğu da belirtilmiş.

3. Adım: (f∘g)'(2) hesaplama

Formül: (f∘g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

g(2) = 2 olduğu için:

  • f'(g(x)) yerine f'(2) ifadesi kullanılır.

f'(x) ⇒ f'(x) = 2x - 3 + g'(x) olduğundan, f'(2)'yi bulalım:

f'(2) = 2(2) - 3 + g'(2)
f'(2) = 4 - 3 + (-3)
f'(2) = -2

Son olarak (f∘g)'(2) hesaplanır:

(f∘g)'(2) = f'(g(2)) \cdot g'(2)
(f∘g)'(2) = f'(2) \cdot g'(2)
(f∘g)'(2) = (-2) \cdot (-3)
(f∘g)'(2) = 6

Sonuç: (f∘g)'(2) = 6

Soru 11: y = \frac{1}{3}u^3 - u ve u = 2x - 1 olduğuna göre \frac{dy}{dx} türevini bulunuz.

Çözüm:

Bu soru zincir kuralı kullanılarak çözülmelidir.

  1. Fonksiyon y’nin u’ya göre türevini bulalım:
    $$ y = \frac{1}{3}u^3 - u $$
    $$ \frac{dy}{du} = \frac{d(\frac{1}{3}u^3)}{du} - \frac{d(u)}{du} $$
    $$ \frac{dy}{du} = u^2 - 1 $$
  1. Fonksiyon u’nun x’e göre türevini bulalım:
    $$ u = 2x - 1 $$
    $$ \frac{du}{dx} = \frac{d(2x)}{dx} - \frac{d(1)}{dx} $$
    $$ \frac{du}{dx} = 2 $$
  1. Zincir Kuralını Uygulama (\frac{dy}{dx}):
    Zincir kuralına göre:
    $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $$

\frac{dy}{du} = u^2 - 1, \frac{du}{dx} = 2 olduğundan:
$$ \frac{dy}{dx} = (u^2 - 1) \cdot 2 $$

  1. u’yu yerine koyma:
    u = 2x - 1 olduğuna göre:
    $$ \frac{dy}{dx} = ((2x - 1)^2 - 1) \cdot 2 $$

Şimdi (2x - 1)^2 açılımını yapalım:
$$ (2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1 $$

Bu açılınca:
$$ \frac{dy}{dx} = ((4x^2 - 4x + 1) - 1) \cdot 2 $$
$$ \frac{dy}{dx} = (4x^2 - 4x) \cdot 2 $$
$$ \frac{dy}{dx} = 8x^2 - 8x $$

Sonuç:

\frac{dy}{dx} = 8x^2 - 8x

Soru 12: f(x) = x² - x ve g(x) = x² + x + 1 olduğuna göre (f∘g)'(0) değerini bulunuz.

Çözüm:

Bileşik Fonksiyon Türev Kuralı:

(f∘g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

1. Adım: f’(x) ve g’(x) türevlerini bulalım

Fonksiyon f(x) = x^2 - x:
$$ f’(x) = \frac{d(x^2)}{dx} - \frac{d(x)}{dx} $$
$$ f’(x) = 2x - 1 $$

Fonksiyon g(x) = x^2 + x + 1:
$$ g’(x) = \frac{d(x^2)}{dx} + \frac{d(x)}{dx} + \frac{d(1)}{dx} $$
$$ g’(x) = 2x + 1 $$

2. Adım: (f∘g)'(0) türevini hesaplayalım

Formül:

(f∘g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Önce g(0)'ı hesapla:
$$ g(0) = (0)^2 + 0 + 1 = 1 $$

Girdiğimiz değerden f'(g(0)) ve g'(0) bulmamız gerekiyor.

  • f'(x) = 2x - 1 olduğuna göre:
    $$ f’(g(0)) = f’(1) = 2(1) - 1 $$
    $$ f’(1) = 1 $$

  • g'(x) = 2x + 1 olduğuna göre:
    $$ g’(0) = 2(0) + 1 $$
    $$ g’(0) = 1 $$

3. Adım: Sonuç Hesaplama

$$ (f∘g)‘(0) = f’(g(0)) \cdot g’(0) $$
$$ (f∘g)‘(0) = (1) \cdot (1) $$
$$ (f∘g)’(0) = 1 $$

Sonuç:

(f∘g)'(0) = 1