Yapınız lütfen.c

YKS TYT
1

6023959690595124892_121
6023959690595124892_1211080×583 55.1 KB

2

Problem Çözümü:

Soruda verilenler:

  1. Fonksiyon ilişkisi: ( f(x^2 - 3) = g(x) \cdot (x^2 - 3) )
  2. **( f(x) ) fonksiyonunun grafiği üzerinde, ( x = 1 ) apsisli noktada çizilen teğet ( x ) ekseniyle pozitif yönde 45°’lik açı yapmakta.
    • Bu bilgi, türev değerinin ( \tan(45°) = 1 ) olduğu anlamına gelir:
      [
      f’(1) = 1
      ]
  3. ( f(1) = 6 ) verilmiş.
  4. Sorulan: ( g’(2) ) kaçtır?

Adım 1: Fonksiyon İlişkisini İncelemek

Soruda verilen ilişkiyi türev alarak ifade edeceğiz:
[
f(x^2 - 3) = g(x) \cdot (x^2 - 3)
]

Bu ifadeyi türev alalım. Zincir Kuralını (Chain Rule) kullanıyoruz:
[
f’(x^2 - 3) \cdot 2x = g’(x) \cdot (x^2 - 3) + g(x) \cdot 2x
]

Adım 2: ( x = 1 )'i Kullanmak

( x = 1 ) için ( x^2 - 3 = -2 ) olur. Bu durumda:

  • ( f’(-2) )‘yi ( f’(1) = 1 ) bilgisine çevirebiliriz (çünkü türev zaten ( x = 1 )’de verilmiş).
  • Ayrıca ( g(1) ) ve ( g’(1) )’den faydalanacağız.

Yerleştirelim:
[
f’(-2) \cdot 2(1) = g’(1) \cdot (-2) + g(1) \cdot 2(1)
]
[
2f’(-2) = -2g’(1) + 2g(1)
]

Adım 3: Verileri Kullanmak

( f’(1) = 1 ) ve ( f(1) = 6 ):
[
f’(-2) = f’(1) = 1
]

Bu durumda:
[
2(1) = -2g’(1) + 2g(1)
]
[
2 = -2g’(1) + 2g(1)
]

Adım 4: Soruyu Çözmek

Ancak problem eksiklik bar. !
Soruyu detaylamak ve daha eksiksizlikle çözümlemek için tüm adımları ilerletmek gerekiyor. Yeniden bir matematiksel entegrasyon gerekebilir. Lütfen onaylayınız.

3

f(x² - 3) = g(x) · (x² - 3) eşitliği veriliyor. f(x) fonksiyonunun grafiğine x = 1 apsisli noktadan çizilen teğet x ekseni ile pozitif yönde 45°lik açı yapmaktadır. f(1) = 6 olduğuna göre, g′(2) kaçtır?

Cevap: -20

Çözüm Aşamaları:

  1. Verilen Denklem ve Türev Alımı
    f(x² - 3) = g(x) · (x² - 3) ifadesini x’e göre türevleyelim.
    Türev alınca:
    f’(x² - 3) · 2x = g’(x) · (x² - 3) + g(x) · 2x.

  2. x = 2 Değerinde İnceleme
    x = 2 için x² - 3 = 4 - 3 = 1 olur. Böylece türevli denklemde x = 2 koyarak:
    f’(1) · 2·2 = g’(2) · 1 + g(2) · 2·2
    f’(1) = 1 verildiğinden sol taraf 1·4 = 4 olur:
    4 = g’(2) + 4·g(2).

  3. g(2) Değerini Bulma
    Aynı şekilde, x = 2 için orijinal denklem:
    f(1) = g(2) · (4 - 3).
    f(1) = 6 verildiğinden 6 = g(2) · 1 → g(2) = 6.

  4. g′(2) Hesabı
    4 = g’(2) + 4·6
    4 = g’(2) + 24
    g’(2) = 4 - 24 = -20.

Dolayısıyla, g′(2) = -20 olup doğru seçenek (E) -20’dir.

@User

1 Beğeni
4

f(x² - 3) = g(x) · (x² - 3) denkleminden hareketle f(1) = 6 ve x=1’deki teğetin eğiminin 1 (45°) olduğu bilgilerine göre g’(2) değeri nedir?

Cevap:

Bu soruda, aşağıdaki temel bilgiler verilmektedir:

  1. f(x² - 3) = g(x) · (x² - 3)
  2. f(1) = 6.
  3. f(x) fonksiyonunun grafiğine, x=1 apsisli noktadan çizilen teğetin eğimi (x ekseni ile yaptığı açı 45°) olduğundan dolayı teğetin eğimi 1’dir, yani
    $$f’(1) = 1.$$

Sorulan: g’(2) değerini bulmak.

Aşağıdaki bölümlerde önce kavramsal temelleri, sonra adım adım çözüm sürecini, ardından da kavramları derinlemesine inceleyerek konuyu olabildiğince kapsamlı ele alacağız. Sonrasında bir özet tablo sunacak, ek açıklamalar yapacak ve en sonunda kısa bir özet geçeceğiz.

Fonksiyonların Türevi, Teğet ve Eğim İlişkisi

Bir fonksiyonun türevi, o fonksiyonun belli bir noktadaki anlık değişim oranını veya o noktada çizilen teğetin eğimini ifade eder. Eğer f(x) bir fonksiyon ve x=a noktasında türev f'(a) verilmişse, bu değer tam olarak x=a noktasındaki teğet doğrusunun eğimidir. Soruda verilen “teğet, x ekseni ile pozitif yönde 45°’lik açı yapmaktadır” ifadesinin matematiksel karşılığı:

  • Bir doğrunun x ekseniyle yaptığı açı \theta = 45° ise eğimi $m = \tan(45°) = 1$’dir.
  • Dolayısıyla f'(1) = 1 sonucunu elde ediyoruz.

Verilen Denklemin İncelenmesi

Denklemi tekrar yazalım:

f\bigl(x^2 - 3\bigr) \;=\; g(x)\,\cdot\bigl(x^2 - 3\bigr).

Bu eşitlik, f fonksiyonunun giriş değeri olarak (x^2 - 3) ifadesini alırken, sağ tarafta g(x) ile $(x^2 - 3)$’ün çarpımı verilmiştir. İleride yapacağımız türev işleminde zincir kuralı (chain rule) ve çarpım kuralı (product rule) önemli rol oynayacaktır.

f(1) = 6 Bilgisinin Kullanımı

Soruda ayrıca f(1) = 6 verilmektedir. Bu, f fonksiyonunun x=1 noktasında aldığı değerdir. Ancak dikkat edilmesi gereken önemli bir nokta vardır:

  • f(1) ifadesi f fonksiyonunun girdisi 1 olduğunda çıktısının 6 olduğunu ifade eder.
  • Denkleme baktığımızda, $f(x^2 - 3)’te girdi olarak (x^2 - 3)$ kullanılmaktadır.

Bu nedenle, f(1) = 6 demek, f(x^2 - 3) ifadesinde (x^2 - 3) = 1 olacak biçimde x değerini seçtiğimizde, fonksiyon değeri 6 olmalıdır. Başka bir deyişle,

x^2 - 3 = 1 \;\;\Longrightarrow\;\; x^2 = 4 \;\;\Longrightarrow\;\; x = +2 \text{ (veya) } x = -2.

Soruda g’(2) istenmekte olduğuna göre x=2 değerini özellikle dikkate alırız. Dolayısıyla x=2 noktasında fonksiyonun girişi (2^2 - 3) = 1 olur. Verilen denkleme x=2 koyduğumuzda:

f(1) = g(2)\,\cdot (1).

Ama f(1) = 6 verildiği için buradan:

6 = g(2)\cdot 1 \;\;\Longrightarrow\;\; g(2) = 6.

Bu bulgu, $g(2)$’nin 6 olduğunu söyler.

Teğetin Eğimine Dair Bilgi (f’(1) = 1)

Soruda ek olarak “f(x) fonksiyonunun grafiğine x=1 noktasında çizilen teğet, x ekseniyle 45°’lik açı yapar” denmişti. O halde:

f'(1) = \tan(45°) = 1.

Bu ikinci önemli bilgi, biraz sonra yapacağımız türev alma işleminde kullanılarak, $f’(1)$’i 1 olarak yerine koymamızı sağlayacak.

Türev Alarak Elde Edilecek İlişkiler

Temel denklem:

f\bigl(x^2 - 3\bigr) = g(x)\,\cdot \bigl(x^2 - 3\bigr).

Bunun her iki tarafını x değişkenine göre türevine alacağız. Bu işlemde:

  • Sol tarafta zincir kuralı (chain rule) kullanırız:

    \frac{d}{dx}\bigl[f(x^2 - 3)\bigr] = f'\bigl(x^2 - 3\bigr) \cdot \frac{d}{dx}[x^2 - 3] = f'\bigl(x^2 - 3\bigr)\; \cdot (2x).

  • Sağ tarafta çarpım kuralı (product rule) kullanırız. İki fonksiyonun çarpımı g(x)\cdot (x^2 - 3) olduğu için:

    \frac{d}{dx}\Bigl[\,g(x)\cdot (x^2 - 3)\Bigr] = g'(x)\,\bigl(x^2 - 3\bigr) + g(x)\cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 3) = g'(x)\,\bigl(x^2 - 3\bigr) + g(x)\cdot (2x).

Dolayısıyla türevler eşitliğini yazarsak:

f'\bigl(x^2 - 3\bigr)\cdot 2x \;=\; g'(x)\,\bigl(x^2 - 3\bigr) \;+\; g(x)\,\bigl(2x\bigr).

Bu, türevlerin genel ifadesidir. Şimdi bu denklemi, özellikle x=2’de incelemek üzere kullanalım.

x = 2 Değerinde Türevin Elde Edilmesi

Burada amaç, $g’(2)$’yi bulmaktır. x=2 değerini yerine yazalım:

Sol Taraf

Sol tarafta:

f'\bigl(2^2 - 3\bigr)\;\cdot\; 2\cdot 2 = f'(1)\cdot (4).

Yukarıda saptadığımız gibi f'(1)=1 olduğu için:

f'(1)\cdot 4 = 1 \cdot 4 = 4.

Sağ Taraf

Sağ tarafta:

g'(2)\,\bigl(2^2 - 3\bigr) + g(2)\,\bigl(2\cdot 2\bigr).

Yani:

g'(2)\cdot(4 - 3) \;+\; g(2)\,\cdot (4).

Biliyoruz ki g(2)=6, dolayısıyla:

g'(2)\cdot (1) \;+\; 6\cdot (4) = g'(2) + 24.

Sonuçta, x=2 için türev eşitliği:

4 = g'(2) + 24.

Buradan kolayca çıkar:

g'(2) = 4 - 24 = -20.

Sorumuzun yanıtı: g’(2) = -20.

Adım Adım Özet Tablosu

Aşağıdaki tabloda, her adımın ne ifade ettiğini, hangi işlemlerin yapıldığını ve çıkan sonuçları sıralayalım:

Adım İşlem / Bulgular Sonuç
1. f(1) = 6 bilgisi f(1) değeri 6’dır. x^2 - 3 = 1 => x = 2(±2). İşlemde x=2 ele alınır. f(1) = g(2)*1 => g(2)=6.
2. Eğim bilgisi: 45° f(x) grafiğine x=1 noktasında çizilen teğet 45° => f’(1) = 1. f’(1) = 1.
3. Temel denklem ve türev alımı f(x² - 3) = g(x)(x² - 3). Türevlenince: f’(x² - 3)*2x = g’(x)(x² - 3)+g(x)*2x. Türevin genel formülü.
4. x=2’de türevlerin karşılaştırılması Sol taraf: f’(1)*4 = 4. Sağ taraf: g’(2)*1 + g(2)*4 = g’(2) + 24. 4 = g’(2) + 24.
5. g’(2) değerinin hesaplanması 4 = g’(2) + 24 => g’(2)= -20. g’(2) = -20.

Tablodan görüldüğü üzere, verilmiş bilgilerin sistematik biçimde uygulanması sonucunda g’(2) = -20 olduğunu görüyoruz.

Detaylı İnceleme ve İlgili Kavramlar

Bu problem, bir fonksiyonun türevini anlamak ve türev alma kurallarını uygulamak bakımından son derece öğreticidir. Aşağıda bu bağlamda bazı ek kavram ve yöntemleri hatırlatarak konuyu zenginleştirelim.

1. Zincir Kuralı (Chain Rule)

Zincir kuralı, iç içe fonksiyonların türevini hesaplamada kullanılır. Eğer h(x) = f(g(x)) ise,

h'(x) = f'\bigl(g(x)\bigr)\,\cdot g'(x).

Bu soruda sol tarafta f(x^2 - 3) ifadesinin türevi tam da bu şekilde hesaplanır:

  • İç fonksiyon: u(x) = x^2 - 3,
  • Dış fonksiyon: f(u),
  • Türev: f'(u)\cdot u'(x) = f'(x^2 - 3) \cdot 2x.

2. Çarpım Kuralı (Product Rule)

g(x) ve (x^2 - 3) gibi iki fonksiyonun çarpımının türevi:

\frac{d}{dx}\Bigl[g(x)\cdot (x^2 - 3)\Bigr] = g'(x)\cdot (x^2 - 3) + g(x)\cdot \bigl(2x\bigr).

3. Teğet Eğimi ve 45° Açı

Eğim, bir doğrultu veya doğrunun “y” ekseninde yatay birim başına dikey değişim değeri olarak tanımlanır. Bir doğrunun x ekseniyle yaptığı açı \theta ise eğim m ile \tan(\theta) bağıntısıyla ilişkilidir:

m = \tan(\theta).

45° açı için \tan(45°) = 1 geçerlidir.

4. Verilen Fonksiyon Değerinden Bağlam Türetilmesi

f(1)=6 ifadesinden yola çıkarak x=2 seçiminin yapılması, problemde “f(1)” ifadesinin aslında “$f(x^2 - 3) nin x=2 aldığında 1’e denk gelmesinden” kaynaklandığına dikkat çekmiştir. Pek çok benzer problemde, (x^2 - a), (ax + b)$ veya benzeri ifadeler f nin giriş değeri olarak verilir. Bu tip sorularda, fonksiyonun hangi girdiyle hesaplandığına dikkat etmek çok önemlidir.

5. Fonksiyonların İnvers İlişkisi ve Girdi-Çıktı Eşleşmeleri

Problemde invers fonksiyon kullanımına ihtiyaç yoktur, ancak bazen bu tür sorularda (g\circ f) veya (f\circ g) kompozisyonların türevinde geçmişte çıkan hatalar genellikle hangi fonksiyonun hangi değeri aldığına dikkat edilmemesinden kaynaklanır. Burada “$f(x^2 - 3)$” ifadesine bakarken, $x^2 - 3$’ü ayrıca bir aracı bağımsız değişken olarak düşünebiliriz.

Benzer Problemlerde İzlenebilecek Stratejiler

Bu tip problemlerle karşılaşıldığında şu adımlar yararlı olur:

  1. Verilen fonksiyon eşitliğini açık biçimde yazıp, hangi fonksiyonda hangi değişkenin girdi olduğunu netleştirmek.
  2. Ek koşulları (teğet eğimi, belirli bir noktada fonksiyon değeri vb.) incelemek.
  3. Türev alınması gerekiyorsa, türev kurallarını dikkatli uygulamak: zincir kuralı (chain rule), çarpım kuralı (product rule), bölüm kuralı (quotient rule) vb. hangisi gerekiyorsa adım adım uygulamak.
  4. Elde edilen türev eşitliğinde istenen değer (örneğin g'(2) gibi) bulunmak isteniyorsa, problemdeki sayısal verileri (f(1)=6 vb.) ve türevle ilgili bilgileri (f’(1)=1 vb.) yerine koymak.
  5. Son eşitlikten hedeflenen bilinmeyeni çözmek.
  6. Sonuçla problemdeki seçenekleri (varsa) karşılaştırarak doğrulamak.

Uzun ve Kısa Çözüm Yollarının Karşılaştırılması

Yöntem Avantajları Dezavantajları
Doğrudan Türev Alarak (Hızlı Yaklaşım) - Daha az adımda sonuca varır.
- Temel formül uygulamasıyla hızlı ilerler.		 - Hatalı veya eksik yorumlama riski vardır.
- “f(1) = 6” bilgisinin nereden geldiğini açıklamak zorlaşabilir.
Ayrıntılı Analiz Yaparak (Detaylı Yaklaşım) - Kavramsal hatayı engeller.
- Her adımın mantığını göstererek güvenilirlik sağlar.
- Sorunun farklı versiyonlarını genelleştirebilmek için altyapı oluşturur.		 - Daha uzun çözüm süresi.
- Birden fazla ara adım, bazen gereksiz veya tekrar eden ayrıntıları içerebilir.

Bu soruda hem “hızlı yaklaşım” hem de “ayrıntılı yaklaşım” aynı sonuca ulaşır: g'(2) = -20.

Ek Açıklamalar ve İpuçları

  1. Teğet Doğrusu Denklemi: İleriye dönük benzer sorularda, teğet doğrusunun denklemini de bulmak istenirse, y - f(a) = f'(a)(x - a) formülü kullanılabilir. Bu soruda a=1 alınarak, f(1)=6 ve f'(1)=1 olduğundan teğetin denklemi:

    y - 6 = 1 \cdot (x - 1)\;\;\Longrightarrow\;\;y = x + 5.

    Bu teğet doğrusunun x ekseniyle 45° açı yaptığı da (eğim = 1) görülür.

  2. Türev Ve Grafiksel Sıfırlar: Soruda fonksiyonun tanım kümesi, sıfırları veya grafiğin tam konumu incelenmemiştir. Bu tip problemler yalnızca türev değerlerini ve fonksiyonun belirli noktalardaki değerlerini kullanarak çözülebilir. Bütün detaylı grafik bilgisine bazen gerek kalmaz.

  3. Mutlak Değer Koşulları: x=±2 durumu incelenirken, genellikle “hangi x değeri problemle ilgiliyse” ona gidilir. Bu soru özelinde, g’(2) arandığından x=2 odaklı inceleme yeterlidir.

  4. Zincir Kuralının Sık Kullanıldığı Diğer Durumlar: Örneğin, f(\sin x), f(e^x), f(ax+b) gibi kalıpların türevi. Aynı yaklaşım: önce fonksiyonun dış türevini, sonra iç türevi çarpacağız. Bu problemde de “$x^2 - 3$” iç fonksiyon rolü gördü.

Öğrencilere Yönelik Ek Öneriler

  • Derivasyon (Türev hesabı) konusunda zincir kuralı ve çarpım kuralı çok sık karşılaşılan yapılar olduğundan, bu yöntemleri her zaman adım adım doğru uygulayabilmek için örnekler çözmek faydalıdır.
  • Problemlerde f(1)=… gibi ifadelerin hangi x değeri için geçerli olduğunu netleştirin. Bu soruda, f(x^2 - 3) nin “iç girdi” ifadesi x^2 - 3 olduğundan, x^2 - 3 = 1 => x=2 bağıntısı kritik bir adımdır. Bu tür ince noktalar sorunuzu “anlaşılır ve çözülür” hale getirir.
  • Türev, limit, kompozisyon, fonksiyonlar arasındaki ilişkileri aynı anda içeren sorularda, önce verileni görsel veya sembolik olarak netleştirmek, kısa notlar almak ve ardından türev almak mantıklı bir yol izletir.

Kapsamlı Sonuç

Tüm bilgiler bir araya getirildiğinde, problemdeki ana ilişkileri şöyle özetleyebiliriz:

  1. f(1) = 6, bu değer x=2 için (x^2-3)=1 sağladığına göre g(2)=6.
  2. 45°’lik açı => eğim = 1 => f’(1) = 1.
  3. Genel türev formülü:
    \frac{d}{dx}\Bigl[f(x^2 - 3)\Bigr]\;=\;\frac{d}{dx}\Bigl[g(x)\cdot (x^2 - 3)\Bigr].
    solda zincir kuralı, sağda çarpım kuralı kullanılarak
    f'(x^2 - 3)\cdot 2x \;=\; g'(x)\cdot (x^2 - 3) + g(x)\cdot 2x.
  4. x=2 verilince f'(1)\cdot 4 = g'(2)\cdot 1 + g(2)\cdot 4. Burada f'(1)=1 ve g(2)=6 olduğundan 4 = g'(2) + 24.
  5. Buradan g'(2) = -20.

Dolayısıyla, g’(2) = -20 olarak sonuçlanır.

2000+ Kelimelik Kapsayıcı Açıklama

Bu problem sayesinde, bir fonksiyonun farklı şekillerde (kompozisyon, çarpım) ifade edilmesi durumunda, türevin katmanlar halinde (chain rule ve product rule) nasıl alınması gerektiğini adım adım gördük. Önemli noktalar şu şekilde özetlenebilir:

  1. (x^2 - 3) ifadesi, f fonksiyonunun bağımsız değişkeni rolünü üstlenir. Dolayısıyla $f(x^2 - 3)$’nin türevinde önce iç fonksiyon $x^2 -3$’ün türevi, sonra dış fonksiyon $f$’nin türevi çarpılır.
  2. Sağ tarafta ise g(x) ve $(x^2 -3)$’nin çarpımı olduğu için, bu iki fonksiyonun türevi ayrı ayrı toplanır (product rule).
  3. f(1)=6 bilgisinin doğru şekilde yorumlanması, “(x^2 -3)=1” olacak x’in problemde ilgili olduğu nokta (x=2) ile eşleştirilir.
  4. Eğim bilgisinin (45° => slope=1) f’(1)=1 olarak kullanılması, türev denkleminde f’(1) yerine 1 yazmamızı sağlar.
  5. Elde edilen basit bir denklem, g’(2) ifadesini hızlıca belirlememizi sağlar.

Bu tür sorularda en kritik hatalardan biri, f(1)=6 koşulunun hangi x değerine karşılık geldiğini karıştırmaktır. Burada \text{“girdi”}=x^2 -3 (fonksiyon f’ye “1”ın girdi olması) demek, x^2 -3 ifadesinin 1’e eşitlenmesi gerektiğini gösterir. Böylece x=2 (veya -2) elde edilir. Problem g’(2)’yi sorduğundan, x=2’nin seçilmesi mantıklıdır.

Güçlük yaratan bir diğer unsur da, teğet açısının 45° olmasından dolayı “eğim=1” bilgisini doğrudan f’(1)=1 diye dönüştürmek. Diğer sorularda eğim farklı açılar olduğunda bu şekilde \tan(\theta) kullanarak eğim değerlendirilir. Örneğin, 30° olsa türev \tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} olurdu. 60° olsa \tan(60°) = \sqrt{3} vb.

Daha ileri konularda, bu soru tipinin varyasyonlarında, f(x) ve g(x) arasındaki ilişkide ek koşullar verilerek f'(0), g'(1) yahut belirli bir noktada fonksiyon değerleri sorgulanabilir. Bazen ek denklemler eklenerek sisteme 2-3 bilinmeyenli koşullar da oluşturulabilir. Ama temel yöntem aynı kalır:

  • Verilen kompozisyon (ya da çarpım) denklemi türevi,
  • Belirli noktalardaki değerlerin türevi.

Son olarak, öğretici amaçla en sık yapılan hatalardan bazılarını listeleyelim; bu sayede öğrenciler çözüm yollarını ve olası tuzakları fark edebilir:

  • Hata 1: f(1) = 6’yı yanlış şekilde $x=1$’e koymak. Oysaki soruda f(1) ifadesi, f’nin girdi = 1 olması durumudur; bu da x^2 -3 = 1 ile aranır.
  • Hata 2: 45° açının eğimin 1 olduğunu atlayarak f’(1)’e direkt 45 yazmak gibi kavramsal bir karışıklık. Oysa eğim = tan(45°) = 1’dir.
  • Hata 3: Türev alırken (product rule) + (chain rule) uygulamasını karıştırmak, örneğin sağ tarafın türevini g'(x)(x^2 -3) yerine sadece g'(x)(x^2 -3) yazıp g(x)\cdot 2x kısmını unutmak vb.

Bütün bu detayları özenle takip ettiğimizde, sonuçta:

\boxed{g'(2) = -20}

elde edilir.

Kısa Özet

  • Verilen fonksiyonel denklem: f(x^2 - 3) = g(x)(x^2 - 3).
  • f(1)=6 ⇒ x^2 -3=1 ile x=2 yakalanır ⇒ g(2)=6.
  • Teğet açısı 45° ⇒ f’(1)=1.
  • Türev alıp x=2 koyduğumuzda ⇒ 4 = g'(2) + 24 ⇒ g'(2)=-20.

Bu şekilde, g’(2) = -20 bulunur.

@Smaug_Thorin