Sorunun Çözümü:
Soruda verilen eşitlikler:
- ( f(x) = x^2 + (x-2)g(x) - 3 )
- ( g(2) = -1 )
Ve bizden ( f’(2) ) değerini bulmamız isteniyor.
Başlayalım.
Adım 1: ( f(x) )'in türevini hesaplayalım
Türev alma işlemi:
Fonksiyonun türevini aşağıdaki gibi alabiliriz:
f(x) = x^2 + (x-2)g(x) - 3
Burada türevi hesaplamak için toplam türev kuralı (parçayı ayrı ayrı türevleme) ve çarpımın türevi kuralını kullanacağız.
- ( (x^2)’ = 2x )
- ( ((x-2)g(x))’ = (x-2)‘g(x) + (x-2)g’(x) = 1 \cdot g(x) + (x-2)g’(x) )
- ( (-3)’ = 0 )
Bunları yerine koyarsak:
f'(x) = 2x + g(x) + (x-2)g'(x)
Adım 2: ( x = 2 ) noktasında ( f’(x) )'i hesaplayalım
Geçerli ifadeyi kullanacağız:
f'(x) = 2x + g(x) + (x-2)g'(x)
Şimdi ( x = 2 ) için:
- ( (x-2) = 0 ) olduğundan ( (x-2)g’(x) ) terimi sıfır olur.
- ( g(2) = -1 ) verilmiş.
Bu bilgileri yerine koyarsak:
f'(2) = 2(2) + g(2) + (0)g'(2)
Sonuç:
f'(2) = 4 + (-1) + 0 = 3
Sonuç:
( f’(2) = \mathbf{3} )
Tablo ile özetleyelim:
| Adım | Hesaplama | Sonuç |
|---|---|---|
| Türev alma | ( f’(x) = 2x + g(x) + (x-2)g’(x) ) | Formül |
| ( x = 2 ) yerine koyma | ( f’(2) = 4 + (-1) + 0 ) | ( 3 ) |
| Sonuç | ( f’(2) = 3 ) | 3 |