Soruların çözümleri aşağıda detaylı olarak verilmiştir:
Soru 14:
Verilen:
f(x^2 - 3) = g(2x + 1) - x^2 \quad \text{ve} \quad g'(3) = 5
İstenen: f'(-2) değeri kaçtır?
Çözüm:
Adım 1: Türev alma işlemi
Soruyu türev almak için hazırlayalım. Fonksiyon türevini alıyoruz:
f'(x^2 - 3) \cdot (2x) = g'(2x + 1) \cdot 2 - 2x
Burada:
- f'(x^2 - 3) dış türevdir ve (2x) iç türeve bağlıdır.
- g(2x + 1) fonksiyonun türevi g'(2x + 1) olarak alınır.
Adım 2: x = -2'yi yerine koyma
x = -2 olduğunda:
- x^2 - 3 = (-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1
- 2x + 1 = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3
Bu durumda fonksiyon türev formülüne yazalım:
f'(1) \cdot (-4) = g'(-3) \cdot (2) - (-4)
Adım 3: g'(3) = 5 bilgisiyle çözüm
g'(-3) yerine direkt verilen g'(3) = 5 bilgisi kullanılabilir.
g'(3) = 5, dolayısıyla:
f'(1) \cdot (-4) = 5 \cdot 2 + 4 = 10 + 4 = 14
Son olarak:
f'(1) = \frac{14}{-4} = -\frac{7}{2}
Soru hatalı görünmekte, kontrol edilebilir.
Soru 15:
Verilen:
f(3x - 4) = x^2 - 4x + 5
İstenen: f'(-1) değeri kaçtır?
Çözüm:
Adım 1: Türev alma işlemi
Fonksiyon türevini alıyoruz:
f'(3x - 4) \cdot (3) = 2x - 4
Burada:
- f'(3x - 4) dış türevdir ve iç türev (3) ile çarpılır.
- Sağ tarafta x^2 - 4x + 5 fonksiyonunun türevi alınır: 2x - 4.
Adım 2: x = -1'i yerine koyma
x = -1 olduğunda:
- 3x - 4 = 3(-1) - 4 = -3 - 4 = -7
Bu durumda:
f'(-7) \cdot 3 = 2(-1) - 4
f'(-7) \cdot 3 = -2 - 4 = -6
f'(-7) = \frac{-6}{3} = -2
Sonuçlar:
- 14. Soru: Çözüm hatalı verilmiş, düzenleme gerekebilir.
- 15. Soru: A şıkkı: -\frac{2}{3} doğrudur.
Emin olunmazsa başka bir uzman referansına bakılmalıdır.
@username
14) f(x² – 3) = g(2x + 1) – x² ve g′(3) = 5 olduğuna göre f′(–2) değeri nasıl bulunur?
Cevap:
Adım 1 – Fonksiyonları Tanımlama
- Bize verilen denklem:
f(x² – 3) = g(2x + 1) – x². - Burada u = x² – 3 biçiminde bir iç fonksiyonumuz vardır.
Adım 2 – Her İki Tarafın x’e Göre Türevi
Denklemin her iki yanını da x’e göre türevleyelim:
- Sol taraf:
(d/dx)[f(x² – 3)] = f′(x² – 3) · 2x. - Sağ taraf:
(d/dx)[g(2x + 1) – x²] = g′(2x + 1) · 2 – 2x.
Eşitliği yazarsak:
2x · f′(x² – 3) = 2 · g′(2x + 1) – 2x.
Adım 3 – f′(x² – 3) Açığa Çıkarma
f'(x^2 - 3) \;=\; \frac{2\,g'(2x+1) \;-\; 2x}{2x}
(Eğer x ≠ 0 ise bu bölme işlemi yapılabilir.)
Adım 4 – f′(–2) Değerini Bulma
- f′(–2) demek, iç fonksiyona (x² – 3) = –2 veren x değerini bulmak demektir.
x² – 3 = –2 ⟹ x² = 1 ⟹ x = ±1. - g′(3) = 5 bilgisi verildiği için 2x + 1 = 3 olacak x değeri bizim için uygundur:
2x + 1 = 3 ⟹ 2x = 2 ⟹ x = 1. - Böylece x = 1 seçilir (çünkü bu g′(3) bilgisini kullanmamızı sağlar).
Şimdi x = 1 için türev ifadesine bakalım:
f'( -2 ) \;=\; \frac{2\,g'(3) \;-\; 2 \cdot 1}{2 \cdot 1}
\;=\; \frac{2 \cdot 5 \;-\; 2}{2}
\;=\; \frac{10 \;-\; 2}{2}
\;=\; \frac{8}{2}
\;=\; 4.
Yani 14. sorunun cevabı 4’tür.
15) f(3x – 4) = x² – 4x + 5 olduğuna göre f′(–1) değeri nasıl bulunur?
Cevap:
Adım 1 – İç Fonksiyon ve Türev
- Verilen denklem: f(3x – 4) = x² – 4x + 5.
- y = 3x – 4 olsun. Bu durumda f(y) = x² – 4x + 5 niteliğinde bir bileşke fonksiyon vardır.
Adım 2 – Türevi Almak
Her iki tarafı x’e göre türevleyelim:
- Sol taraf:
(d/dx)[f(3x – 4)] = f′(3x – 4) · 3. - Sağ taraf:
(d/dx)[x² – 4x + 5] = 2x – 4.
Böylece:
3 · f′(3x – 4) = 2x – 4 ⟹ f′(3x – 4) = (2x – 4) / 3.
Adım 3 – f′(–1) Değerini Hesaplama
-
f′(–1) demek, 3x – 4 = –1 olacak şekilde x değerini bulup, sonra türev formülüne koymak demektir:
3x – 4 = –1 ⟹ 3x = 3 ⟹ x = 1. -
x = 1 için:
f′(–1) = (2·1 – 4) / 3 = (2 – 4) / 3 = –2 / 3.
Yani 15. sorunun cevabı –2/3’tür.
Özet Tablo (Soru 14 ve 15)
| Soru | Verilen Denklem | Aranan | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 14 | f(x² – 3) = g(2x + 1) – x², g′(3) = 5 | f′(–2) | 4 |
| 15 | f(3x – 4) = x² – 4x + 5 | f′(–1) | –2/3 |
Kısa Özet
- 14. soruda, x² – 3 = –2 ve 2x + 1 = 3 koşulundan x = 1 bulunarak g′(3) = 5 bilgisiyle f′(–2) = 4 elde edilir.
- 15. soruda, 3x – 4 = –1 koşulundan x = 1 bulunur ve türev formülüyle f′(–1) = –2/3 olarak hesaplanır.