Sorunun çözümü:
Soruyu inceleyelim:
f(x^2 - 3) = g(2x + 1) - x^2
ve
g'(3) = 5
Amaç:
f'(-2)
değerini bulmaktır.
1. Adım: Fonksiyonun türevini almak
İlk olarak f(x^2 - 3)'ün türevini alalım. Zincir kuralını (chain rule) kullanmamız gerekiyor.
Genel türev formülü:
[f(u(x))]' = f'(u(x)) \cdot u'(x)
Fonksiyonu türevleyelim:
f(x^2 - 3)' = g'(2x + 1) \cdot (2) - 2x
Burada:
- g'(2x + 1) fonksiyonun türevi,
- (2) ise 2x + 1'in türevinden geliyor.
2. Adım: x = -2'yi yerine koymak
f'(-2)'yi bulmak için x = -2'yi yerlerine koyuyoruz:
g'(2x + 1) Hesabı
x = -2 \text{ için } 2x + 1 = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3
Şimdi türev formülünde yerine koyuyoruz:
f'(-2) = g'(3) \cdot 2 - 2(-2)
3. Adım: Hesaplama
Soruda g'(3) = 5 verilmiş. Yerine koyalım:
f'(-2) = 5 \cdot 2 - 2(-2)
Bu ifadeyi hesaplayalım:
f'(-2) = 10 + 4 = 14
Cevap:
Soruda türev doğru şekilde verildikten sonra hesaplama hatası olabilir. Eğer ince yardım gereken çözünüzün yorumlayabilir yapabileceğim bu dosyayı @soluatic
f(x² – 3) = g(2x + 1) – x² ve g’(3) = 5 verildiğine göre, f’(-2) değeri nasıl bulunur?
Cevap:
Bu problemde, f(x² – 3) = g(2x + 1) – x² eşitliğinin her iki tarafının türevini (x’e göre) alıp istenen değeri elde edeceğiz.
1. Her İki Tarafın Türevini Almak
Solda:
- İçerideki fonksiyon (x² – 3) olduğu için zincir kuralı (chain rule) uygularız.
- Türev:
$$\frac{d}{dx}\big[f(x^2 - 3)\big] = f’(x^2 - 3) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 3) = f’(x^2 - 3) \cdot 2x$$
Sağda:
- g(2x + 1)’in türevini alırken yine zincir kuralı kullanılır:
$$\frac{d}{dx}\big[g(2x + 1)\big] = g’(2x + 1)\cdot 2$$ - (- x²)’in türevi:
$$\frac{d}{dx}(-x^2) = -2x$$
Böylece sağ tarafın türevi:
$$ 2 \cdot g’(2x + 1) - 2x $$
Yani elde ettiğimiz türev eşitliği:
$$ f’(x^2 - 3)\cdot 2x = 2,g’(2x + 1) - 2x $$
2. f’(-2) Değerini Bulmak İçin Uygun x Değerini Seçmek
f’(-2) değerini bulmak istiyorsak, f fonksiyonunun argümanı x² - 3 = -2 olmalıdır.
Bundan:
$$ x^2 - 3 = -2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 $$
g’(3) = 5 bilgisi, 2x + 1 = 3’e denk gelen x’i kullanmamızı gerektirir. Çünkü g’(3)’ün değeri bize verilmiş.
$$2x + 1 = 3 \implies 2x = 2 \implies x = 1$$
Böylece x = 1’u alarak devam ediyoruz.
3. Denklemi x = 1 için çözmek
Denklem:
$$f’(x^2 - 3)\cdot 2x = 2,g’(2x + 1) - 2x$$
x = 1 koyduğumuzda:
-
Sol taraf:
$$ f’(1^2 - 3) \cdot 2 \cdot 1 = f’(-2) \cdot 2 $$ -
Sağ taraf:
$$ 2 \cdot g’(3) - 2(1) = 2 \cdot 5 - 2 = 10 - 2 = 8 $$
Dolayısıyla:
$$ 2 , f’(-2) = 8 \implies f’(-2) = 4 $$
Özet Tablo
| Adım | Hesaplama |
|---|---|
| 1. Türev Alma (Sol) | f'(x^2-3) \cdot 2x |
| 1. Türev Alma (Sağ) | 2\,g'(2x+1) \;-\; 2x |
| 2. x^2 - 3 = -2 \implies x^2=1 | x= \pm 1 |
| 3. 2x+1=3 \implies x=1 | g'(3)=5 kullanımı için gerekli |
| 4. Eşitliği x=1’de yazma | 2\,f'(-2)= 2\,g'(3)-2=2\cdot5-2=8 |
| 5. Çözüm | f'(-2)=4 |
Sonuç ve Kısa Özet
- Zincir kuralı ile türev aldık:
$$f’(x^2 - 3)\cdot 2x = 2, g’(2x + 1) - 2x$$ - x^2 - 3 = -2 koşulundan x=1 (g’(3) değerini kullanmak için) bulunur.
- Elde edilen denklemde f’(-2) = 4 olarak hesaplanır.
Cevap: 4