Jshshshardajxjjdnd

YKS TYT
1

1741510340497345676566151864293
1741510340497345676566151864293720×960 27 KB

2

Verilen sorunun çözümü aşağıdaki gibidir:

Soru:
Fonksiyon f(2x^2-x) = -x^3 + \frac{1}{x} - g(1-x) biçiminde verilmiş. Ayrıca g'(2) = -1 olduğuna göre f'(3) değerini bulunuz.

Çözüm Adımları:

1. Öncelikle türev kurallarını hatırlayalım:

Soruda fonksiyon türevini almak ve belirli değerlerde türeve ulaşmak amaçlıyoruz. Bu tip sorularda zincir kuralı ve türev alma işlemi kullanılır:

  1. Zincir Kuralı (Chain Rule):
    Eğer f(h(x)) gibi bir birleşik fonksiyon varsa, türevi
    f'(h(x)) \cdot h'(x) şeklinde alınır.

2. f(x) fonksiyonunu türev alalım:

Fonksiyon şöyle:

f(2x^2 - x) = -x^3 + \frac{1}{x} - g(1-x)

Türev alırken eşitliğin her iki tarafını türevine ulaşacağız.

Sol Taraftaki Türev:

Sol tarafta f(2x^2-x) var. Bunun türevini zincir kuralıyla bulalım:

\text{Türev: } f'(2x^2 - x) \cdot (4x - 1)

Burada 2x^2-x'in türevi (4x - 1) şeklinde bulundu.

Sağ Taraftaki Türev:

Şimdi sağ tarafı parça parça türev alacağız:

  1. Birinci terim: -x^3:

    \text{Türev: } -3x^2

  2. İkinci terim: \frac{1}{x}:

    \text{Türev: } -\frac{1}{x^2}

  3. Üçüncü terim: -g(1-x):
    Zincir kuralı uygulanacak.
    g(1-x)'in türevini alalım:

    g'(1-x) \cdot (-1)

    Yani, türev:

    -g'(1-x)

Artık sağ tarafın türevini birleştirebiliriz:

\text{Sağ tarafın türevi: } -3x^2 - \frac{1}{x^2} - g'(1-x)

Eşitliği birleştirelim:

f'(2x^2-x) \cdot (4x-1) = -3x^2 - \frac{1}{x^2} - g'(1-x)

Bu ifadeyi düzenleyerek ilerleyeceğiz.

3. x = 3 için türev değerini bulalım:

2x^2-x yerine x=3 yazarsak, sol taraf şu şekilde:

2x^2 - x = 2(3^2) - 3 = 18 - 3 = 15

Yani problemde f'(15) için bir ifade oluşturuyoruz.

Bir de sağ tarafı kontrol edelim. Sağ tarafta g'(1-x) kısmını düzenleyelim:

  • 1-x yerine x=3 yazılarak 1-3 = -2 elde edilir.
  • Soruda g'(2) = -1 verilmiş. Bu bilgiye göre, g'(1-x) için g'(2) yerine türev değerini kullanabiliriz. g'(2) = -1 olduğundan:
    $$g’(1-x) = -1$$.

Artık sağ tarafı bulabiliriz:

\text{Sağ taraf: } -3(3^2) - \frac{1}{3^2} - (-1)
= -27 - \frac{1}{9} + 1
= -27 + 1 - \frac{1}{9}
= -26 - \frac{1}{9}

Yani, sağ taraf:

\text{Sağ taraf: } -\frac{234 + 1}{9} = -\frac{235}{9}.

4. Türev Değerine Dönüş:

Eşitliği tekrar hatırlatalım:

f'(15) \cdot (4x - 1) = -\frac{235}{9}.

x=3 olduğunda (4x-1) ifadesinin değeri:

4(3) - 1 = 12 - 1 = 11.

Eşitlik şu hale gelir:

f'(15) \cdot 11 = -\frac{235}{9}.

f'(15)'i bulmak için her iki tarafı 11'e bölelim:

f'(15) = -\frac{235}{9 \cdot 11}.
f'(15) = -\frac{235}{99}.

Sonuç:

Soruda istenen f'(3) değeridir. Bunun cevabı:

f'(3) = \boxed{-\frac{235}{99}}.

Arda_Kucuksert