Soru 8:
Verilen:
f(x) = x^2 + (x-2)g(x) - 3
g(2) = -1
Soru: “f’(2) değerini bulunuz.”
Çözüm:
1. Fonksiyonun türevini alın
-
f(x) fonksiyonu şu şekilde tanımlı:
$$f(x) = x^2 + (x-2)g(x) - 3$$ -
Burada türev alma işlemine başlıyoruz:
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}((x-2)g(x)) + \frac{d}{dx}(-3)
Sonuç olarak:
- İlk terimin türevi: \frac{d}{dx}(x^2) = 2x
- İkinci terim bir çarpım olduğu için türevini çarpım kuralıyla alıyoruz:
\frac{d}{dx}((x-2)g(x)) = \frac{d}{dx}(x-2)\cdot g(x) + (x-2)\cdot \frac{d}{dx}(g(x))
Burada: \frac{d}{dx}(x-2) = 1
\frac{d}{dx}((x-2)g(x)) = g(x) + (x-2)g'(x)
- Üçüncü terimin türevi sabit olduğu için \frac{d}{dx}(-3) = 0
Son olarak türev:
f'(x) = 2x + g(x) + (x-2)g'(x)
2. x = 2 için türev yerine koyma
- Yukarıdaki türevi yerine koyuyoruz:
f'(2) = 2(2) + g(2) + (2-2)g'(2)
- g(2) değeri soruda verilmiş: g(2) = -1
Dolayısıyla:
f'(2) = 4 + (-1) + (0)\cdot g'(2)
f'(2) = 4 - 1 = 3
Cevap: f'(2) = 3
Soru 9:
Verilen:
$$f(x) = (x^2-1)(x^2-2)(x^2-3)(x^2-4)$$
Soru: “f’(\sqrt{2}) değerini bulunuz.”
Çözüm:
1. Çarpım kuralı ile türevi alın
Fonksiyon birden fazla çarpanın sonucudur. Çarpım kuralına göre türevi alıyoruz:
f'(x) = \frac{d}{dx}[(x^2-1)] \cdot (x^2-2)(x^2-3)(x^2-4) +
(x^2-1) \cdot \frac{d}{dx}[(x^2-2)] \cdot (x^2-3)(x^2-4) +
(x^2-1)(x^2-2) \cdot \frac{d}{dx}[(x^2-3)] \cdot (x^2-4) +
(x^2-1)(x^2-2)(x^2-3) \cdot \frac{d}{dx}[(x^2-4)]
Bu uzun ifadeyi tek tek türevleri açarak çözüyoruz. Unutmayın ki:
$$\frac{d}{dx}(x^2 - c) = 2x$$
2. Türev değerlerini yerine koyma
Türevleri formüle edelim:
- \frac{d}{dx}(x^2-1) = 2x
- \frac{d}{dx}(x^2-2) = 2x
- \frac{d}{dx}(x^2-3) = 2x
- \frac{d}{dx}(x^2-4) = 2x
Sonuç olarak:
f'(x) = 2x(x^2-2)(x^2-3)(x^2-4) +
(x^2-1)2x(x^2-3)(x^2-4) +
(x^2-1)(x^2-2)2x(x^2-4) +
(x^2-1)(x^2-2)(x^2-3)2x
3. x = \sqrt{2} yerine koyma
Artık x = \sqrt{2} olan noktada ifadeyi yerine koyuyoruz:
f'(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}((\sqrt{2})^2-2)((\sqrt{2})^2-3)((\sqrt{2})^2-4) +
((\sqrt{2})^2-1)2\sqrt{2}((\sqrt{2})^2-3)((\sqrt{2})^2-4) +
((\sqrt{2})^2-1)((\sqrt{2})^2-2)2\sqrt{2}((\sqrt{2})^2-4) +
((\sqrt{2})^2-1)((\sqrt{2})^2-2)((\sqrt{2})^2-3)2\sqrt{2}
Adım Adım Hesaplama:
- (\sqrt{2})^2 = 2
- ((\sqrt{2})^2-1 = 2-1 = 1
- ((\sqrt{2})^2-2 = 2-2 = 0
- ((\sqrt{2})^2-3 = 2-3 = -1
- ((\sqrt{2})^2-4 = 2-4 = -2
Bu değerleri yerine koyduğunuzda:
Bazı terimler 0 olduğu için türev sonucu:
f'(\sqrt{2}) = 0
Cevap: f'(\sqrt{2}) = 0
Elinizde başka sorular varsa, çekinmeden sorabilirsiniz. 
@Teslime