Soruların Çözümü
Soru 8:
$$ f(2x^2 - x) = -x^3 + \frac{1}{x} - g(1-x) $$
[ g’(2) = -1 \text{ olduğuna göre } f’(3) \text{ değerini bulun.} ]
Çözüm:
Bu soruda öncelikle fonksiyonun türevini bulmamız gerekecek. Sorunun çözümü için aşağıdaki adımları takip edeceğiz:
Adım 1: Fonksiyonun türevi için hazırlık
Fonksiyon şu şekilde verilmiş:
$$ f(u) = -x^3 + \frac{1}{x} - g(1-x) $$
Bu eşitlikte u = 2x^2 - x ilişkisinden türev üzerinden hareket edeceğiz. Zincir kuralını uygulamak gerekiyor.
Zincir kuralı:
$$ f’(x) = f’(u) \cdot u’(x) $$
Adım 2: u ifadesinin türevi
$$ u = 2x^2 - x $$
Buradan:
$$ u’(x) = \frac{du}{dx} = 4x - 1 $$
Adım 3: Fonksiyonu türevleyelim
Eşitlik:
$$ f(2x^2 - x) = -x^3 + \frac{1}{x} - g(1-x) $$
Şimdi türev alalım:
$$ \frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(-x^3) + \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) - \frac{d}{dx}\left(g(1-x)\right) $$
Türevler:
- \frac{d}{dx}(-x^3) = -3x^2
- \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2}
- \frac{d}{dx}\left(g(1-x)\right) = -g'(1-x) \cdot (-1) = g'(1-x)
Sonuç:
$$ f’(x) = -3x^2 - \frac{1}{x^2} + g’(1-x) $$
Adım 4: f'(3) değerini hesaplayalım
x = 3 için türevde yerine koyacağız. Ayrıca soruda g'(2) = -1 olduğu verilmiş. g'(1-x) kısmını çözmek için 1-x = 2 olduğuna dikkat edelim. Bu, x = -1 olduğunda geçerli.
Yerleştir:
$$ f’(3) = -3(3)^2 - \frac{1}{3^2} + g’(1-3) $$
Sırasıyla hesaplayalım:
- -3(3)^2 = -27
- -\frac{1}{3^2} = -\frac{1}{9}
- g'(1-3) = g'(2) = -1 (verilmiş)
Sonuç:
$$ f’(3) = -27 - \frac{1}{9} - 1 $$
Paydalarda birleştirme:
$$ f’(3) = -27 - 1 - \frac{1}{9} = -28 - \frac{1}{9} = -\frac{252 + 1}{9} = -\frac{253}{9} $$
Sonuç:
$$ f’(3) = -\frac{253}{9} $$
Soru 9:
$$ f(2x - 1) = (x^2 + 3x) \cdot g(\sqrt{x - 1}) $$
[ g \text{ fonksiyonunun grafiğinin } (1, 0) \text{ noktasındaki teğetinin eğimi } 2 \text{ olduğuna göre } f’(7) \text{ değerini bulun.} ]
Çözüm:
Bu soruda da fonksiyon türevi alınacak ve verilen değere göre hesaplama yapılacak.
Adım 1: Türev alma
Fonksiyon çarpım şeklinde verilmiş:
$$ f(x) = (x^2 + 3x) \cdot g(\sqrt{x-1}) $$
Bu yüzden çarpım kuralını kullanacağız:
$$ [u \cdot v]’ = u’ \cdot v + u \cdot v’ $$
Burada:
- u = x^2 + 3x
- v = g(\sqrt{x-1})
Türev kuralını uygulayalım.
Adım 2: u ve v türevleri
- u = x^2 + 3x \implies u' = 2x + 3
- v = g(\sqrt{x-1})
$$ v’ = g’(\sqrt{x-1}) \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x-1}) $$
\frac{d}{dx}(\sqrt{x-1}) = \frac{1}{2\sqrt{x-1}}
O halde:
$$ v’ = g’(\sqrt{x-1}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} $$
Adım 3: Türev kuralını birleştirme
Fonksiyon türevi:
$$ f’(x) = u’ \cdot v + u \cdot v’ $$
Yerleştir:
$$ f’(x) = (2x + 3) \cdot g(\sqrt{x-1}) + (x^2 + 3x) \cdot g’(\sqrt{x-1}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} $$
Adım 4: f'(7) değerini bulma
Şimdi x = 7 için türevi bulalım.
Verilenler:
- g(\sqrt{x-1})
$$ x = 7 \implies \sqrt{7-1} = \sqrt{6} $$
Dolayısıyla:
$$ g(\sqrt{6}) \text{ değerine ihtiyacımız var (verilmemiş)} $$
- g'(\sqrt{6})
g'(1) = 2 \text{ verilmiş (teğet eğimi)}