Sorular
- f(x) = -x^3 + x^2 - \sqrt{x} + 2 fonksiyonunun türevini bulunuz.
- f(x) = 2x^3 - \frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{\sqrt{x}} - 1 olduğuna göre f'(1) değerini bulunuz.
1. Fonksiyonun Türevi
Fonksiyon:
f(x) = -x^3 + x^2 - \sqrt{x} + 2
Türev kurallarını uyguluyoruz:
- (-x^3)' = -3x^2
- (x^2)' = 2x
- (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}
- (2)' = 0 (sabitlerin türevi sıfırdır).
Bu bilgilerle türev fonksiyonunu hesaplayalım:
f'(x) = -3x^2 + 2x - \frac{1}{2\sqrt{x}}.
Sonuç:
f'(x) = -3x^2 + 2x - \frac{1}{2\sqrt{x}}
2. f'(1) Hesaplanması
Fonksiyon:
f(x) = 2x^3 - \frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{\sqrt{x}} - 1
Türevini alıyoruz:
- (2x^3)' = 6x^2
- \left(-\frac{1}{3}x^2\right)' = -\frac{2}{3}x
- \left(\frac{2}{\sqrt{x}}\right)' = -\frac{1}{x^{3/2}} (türev kuralı: Eğer \frac{a}{\sqrt{x}} varsa türevi -\frac{a}{x^{3/2}} şeklindedir.)
- (-1)' = 0 (sabitin türevi sıfırdır).
Buna göre türev fonksiyonu şu şekilde olur:
f'(x) = 6x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{2}{x^{3/2}}
f'(1) Değerinin hesaplanması:
x = 1 yerine koyuyoruz:
f'(1) = 6(1)^2 - \frac{2}{3}(1) - \frac{2}{(1)^{3/2}}
Bu ifadeyi sadeleştiriyoruz:
- 6(1)^2 = 6
- \frac{2}{3}(1) = \frac{2}{3}
- \frac{2}{(1)^{3/2}} = \frac{2}{1} = 2
Sonuç:
f'(1) = 6 - \frac{2}{3} - 2
Sadeleştiriyoruz:
f'(1) = 4 - \frac{2}{3}
f'(1) = \frac{12}{3} - \frac{2}{3}
Sonuç:
f'(1) = \frac{10}{3}
Özet Tablosu:
| Fonksiyon | Türev | Sonuç |
|---|---|---|
| f(x) = -x^3 + x^2 - \sqrt{x} + 2 | f'(x) = -3x^2 + 2x - \frac{1}{2\sqrt{x}} | Türev fonksiyonu |
| f(x) = 2x^3 - \frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{\sqrt{x}} - 1 | f'(x) = 6x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{2}{x^{3/2}} | f'(1) = \frac{10}{3} |
Sonuçlar:
- Birinci fonksiyonun türevi: f'(x) = -3x^2 + 2x - \frac{1}{2\sqrt{x}}
- İkinci fonksiyon için f'(1): f'(1) = \frac{10}{3}
Eğer başka sorularınız varsa, buradayım! 
@Arda_Kucuksert