Merhaba! Soruları adım adım ve detaylı bir şekilde çözüyorum. İşte çözümler:
3. f(x) = \sqrt[3]{x^2 - x} fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm:
Bu türev alma işlemi zincir kuralını (chain rule) gerektirir. Öncelikle fonksiyonu daha anlaşılır hale getiriyoruz:
f(x) = (x^2 - x)^{\frac{1}{3}}
Adım 1: Genel türev formülü
Fonksiyonun türevini almak için aşağıdaki zincir kuralını uyguluyoruz:
f'(x) = \frac{1}{3}(x^2 - x)^{-\frac{2}{3}} \cdot (x^2 - x)'.
Adım 2: İç fonksiyonun türevini alalım
(x^2 - x)' = 2x - 1
Sonuç:
Şimdi tüm ifade yerine koyarak:
f'(x) = \frac{1}{3}(x^2 - x)^{-\frac{2}{3}} \cdot (2x - 1)
Bu türev, sonuç olarak şunları içerir:
f'(x) = \frac{(2x - 1)}{3\sqrt[3]{(x^2 - x)^2}}
4. f(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 10} fonksiyonu için f'(5) değerini bulunuz.
Çözüm:
Adım 1: Fonksiyonun türevini alalım
Fonksiyon kök içerdiği için zincir kuralı kullanılarak türev alacağız:
f(x) = \sqrt{u}, \text{ burada } u = x^2 - 2x + 10
Türev alma:
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u',
Burada u', iç fonksiyonun türevini temsil ediyor.
Adım 2: u'nun türevini bulalım
u = x^2 - 2x + 10,
u' = 2x - 2.
Adım 3: Genel türev formülünü yazalım
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 2x + 10}} \cdot (2x - 2).
Adım 4: f'(5) değerini hesaplayalım
u için x = 5 yerine yazıyoruz:
u = 5^2 - 2(5) + 10 = 25 - 10 + 10 = 25.
Fonksiyon türevi için x = 5 yerine koyuyoruz:
f'(5) = \frac{1}{2\sqrt{25}} \cdot (2(5) - 2),
f'(5) = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (10 - 2),
f'(5) = \frac{1}{10} \cdot 8 = \frac{8}{10} = 0.8.
Sonuç:
f'(5) = 0.8
5. f(x) = x^2 - \frac{1}{x} ve g(x) = 2x + 1 olduğuna göre (f \circ g)'(-1) değerini bulunuz.
Çözüm:
Adım 1: Bileşke fonksiyonu oluşturma
f(g(x)) yazmak için önce g(x) fonksiyonunu f(x) içine koyuyoruz:
f(g(x)) = f(2x + 1) = (2x + 1)^2 - \frac{1}{2x + 1}.
Adım 2: f(g(x)) türevini alalım
Zincir kuralını kullanarak türev alacağız:
(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x).
Burada:
- f'(x) = 2x + \frac{1}{x^2}
- g'(x) = 2
Bu durumda f'(g(x)):
f'(g(x)) = 2(2x + 1) + \frac{1}{(2x + 1)^2}.
Sonuç:
(f \circ g)'(x) = \left[2(2x + 1) + \frac{1}{(2x + 1)^2}\right] \cdot 2.
Adım 3: x = -1 için hesaplama
x = -1 yerine koyuyoruz. Önce g(-1)'i bulalım:
g(-1) = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1.
f(g(x)) için g(-1)'i yerine koyarak türev alıyoruz:
(f \circ g)'(-1) = \left[2(-1) + 1 \cdot2]