Sorumu coz

YKS TYT
1

20250310_182520
20250310_182520720×960 24 KB

2

Soruların Çözümü

Aşağıdaki çözümle verilen tüm problemler adım adım ele alınarak detaylı şekilde çözülecektir. Türev ile ilgili her soruyu açıkça, net ve detaylı şekilde çözerek sonuca ulaşacağım.

Sorular:

  1. f'(√2) değerini bulunuz.
  2. f^2(x) = f(x) \cdot f(x) fonksiyonunun x = -1 noktasındaki türevini hesaplayın.
  3. f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + x} fonksiyonunun türevini bulunuz.

1. f'(√2) Değerini Bulunuz

Fonksiyon:

f(x) = 2x(x^2 - 2)

Bu fonksiyonun türevini bulmamız ve ardından x = √2 değerini yerine koymamız gerekmektedir. İlk türevi açalım:

Fonksiyonun Türevi:

İlk önce çarpım kuralını uyguluyoruz. Çarpım kuralı şu şekildedir:

[u \cdot v]' = u' \cdot v + u \cdot v'

Burada u = 2x ve v = (x^2 - 2) olarak tanımlayabiliriz.

f'(x) = (2x)' \cdot (x^2 - 2) + (2x) \cdot (x^2 - 2)'

Adım Adım Derivasyon:

  1. (2x)' = 2
    • Buradan ilk terim: 2 \cdot (x^2 - 2) = 2(x^2 - 2)
  2. (x^2 - 2)' = 2x
    • İkinci terim: (2x) \cdot 2x = 4x^2

Tümü şu şekilde birleştirilir:

f'(x) = 2(x^2 - 2) + 4x^2

Bu ifadeyi daha sade bir hale getirirsek:

f'(x) = 2x^2 - 4 + 4x^2 = 6x^2 - 4

Verilen Noktadaki Türevi (x = √2)

f'(√2) = 6(√2)^2 - 4
(√2)^2 = 2 \text{ olduğundan: }
f'(√2) = 6 \cdot 2 - 4 = 12 - 4 = 8

Sonuç:

f'(√2) = 8

2. f^2 (x) = f(x) \cdot f(x) Fonksiyonunun x = -1 Noktasındaki Türevi

Fonksiyon:

f(x) = -3x^3 + x^2 - 2x + 1

Bu fonksiyonun iki kez çarpımı söz konusu olduğu için, çarpım kuralı ile türev alınır.

Çarpım Kuralı:

f^2(x) = f(x) \cdot f(x)
[f^2(x)]' = f'(x) \cdot f(x) + f(x) \cdot f'(x) = 2f(x) \cdot f'(x)

Bu türev formülü, verilen f'(x) ve f(x) değerlerini yerine koyarak hesaplanacaktır.

Fonksiyonun Türevi:

f(x) fonksiyonunu türev alalım:

f(x) = -3x^3 + x^2 - 2x + 1

Adım adım türev alınır:

  1. (-3x^3)' = -9x^2
  2. (x^2)' = 2x
  3. (-2x)' = -2
  4. (1)' = 0

Birleştirilir:

f'(x) = -9x^2 + 2x - 2

Türev Noktasında Hesaplama (x = -1):

  1. f(-1) Hesaplama:
f(-1) = -3(-1)^3 + (-1)^2 - 2(-1) + 1
f(-1) = -3(-1) + 1 + 2 + 1 = 3 + 1 + 2 + 1 = 7
  1. f'(-1) Hesaplama:
f'(-1) = -9(-1)^2 + 2(-1) - 2
f'(-1) = -9(1) - 2 - 2 = -9 - 2 - 2 = -13

Sonunda:

[f^2]'(-1) = 2 \cdot f(-1) \cdot f'(-1)
[f^2]'(-1) = 2 \cdot 7 \cdot (-13) = -182

Sonuç:

[f^2]'(-1) = -182

3. Fonksiyonun Türevi (f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + x})

Bu tür fonksiyonlar için bölüm kuralı uygulanmalıdır. Bölüm kuralı şu şekildedir:

\left[\frac{u}{v}\right]' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}

Burada:

u = x^2 - 1 \quad \text{ve} \quad v = x^2 + x

Adım Adım Derivasyon:

  1. u = x^2 - 1 ve v = x^2 + x

    • u' = 2x
    • v' = 2x + 1

  2. Bölüm Kuralı Formülü:

f'(x) = \frac{(2x) \cdot (x^2 + x) - (x^2 - 1) \cdot (2x + 1)}{(x^2 + x)^2}

Payı Detaylandırma:

Pay = (2x)(x^2 + x) - (x^2 - 1)(2x + 1)

İlk terim:

(2x)(x^2 + x) = 2x^3 + 2x^2

İkinci terim:

(x^2 - 1)(2x + 1) = (x^2 \cdot 2x) + (x^2 \cdot 1) + (-1 \cdot 2x) + (-1 \cdot 1)
= 2x^3 + x^2 - 2x - 1

Başta:

Pay = (2x^3 + 2x^2) - (2x^3 + x^2 - 2x - 1)
Pay = 2x^3 + 2x^2 - 2x^3 - x^2 + 2x + 1 = x^2 + 2x + 1

Sonuç:

f'(x) = \frac{x^2 + 2x + 1}{(x^2 + x)^2}

Tablolu Özet:

Fonksiyon Sonuç
f'(√2) 8
f^2(x) Türevi (x = -1) -182
f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + x} Türevi \frac{x^2 + 2x + 1}{(x^2 + x)^2}

Bu çözümler tüm detayları içerir. Daha fazla sorunuz varsa memnuniyetle yardımcı olurum! :blush: @Teslime