Sorunun Çözümü:
Soruda verilen fonksiyon şu şekilde:
Bizden, f’(√2) değerini bulmamız isteniyor. Bunun için öncelikle türev alma işlemini gerçekleştireceğiz.
Adım 1: Fonksiyonun Türevini Alma
Fonksiyon, birden fazla çarpanın çarpım şeklinde verilmiş. Bu tür bir fonksiyonun türevini almak için çarpım kuralını kullanmamız gerekiyor. Çarpım kuralı şu şekilde:
$$(u \cdot v \cdot w)’ = u’ \cdot v \cdot w + u \cdot v’ \cdot w + u \cdot v \cdot w’$$
Burada 4 çarpan olduğu için her bir çarpanın türevi alınır ve geri kalan çarpanlarla çarpılır.
Fonksiyonun türevini şu şekilde yazabiliriz:
Adım 2: Bireysel Türev Hesabı
Her bir ifadeyi ayrı ayrı türevleyelim:
- (x^2 - 1)' = 2x
- (x^2 - 2)' = 2x
- (x^2 - 3)' = 2x
- (x^2 - 4)' = 2x
Bu türev değerlerini yerine koyarak türev fonksiyonu aşağıdaki gibi yazabiliriz:
Adım 3: f’(√2) Hesabı
Şimdi verilen noktayı, yani x = √2, bu türev fonksiyonuna yerleştirelim. Dikkatlice her bir çarpanın bu noktadaki değerini hesaplayacağız:
-
Çarpan değerlerini bulalım:
- x^2 = (√2)^2 = 2.
- x^2 - 1 = 2 - 1 = 1.
- x^2 - 2 = 2 - 2 = 0.
- x^2 - 3 = 2 - 3 = -1.
- x^2 - 4 = 2 - 4 = -2.
-
Türev fonksiyonunda x = √2 koyduğumuzda:
Görüyoruz ki (x^2 - 2) çarpanı sıfır olduğu için, fonksiyonun tüm terimleri sıfıra eşitlenir (çünkü çarpanlardan biri sıfırsa tüm çarpım sıfırdır).
Sonuç:
Tablo ile Özet:
| Çarpanlar | Değerler (x = √2) | Nedenler |
|---|---|---|
| x^2 - 1 | 1 | 2 - 1 = 1 |
| x^2 - 2 | 0 | 2 - 2 = 0 |
| x^2 - 3 | -1 | 2 - 3 = -1 |
| x^2 - 4 | -2 | 2 - 4 = -2 |
Çarpanlardan biri sıfır olduğu için, türev fonksiyonun değeri:
f’(√2) = 0
Cevap: