Verilen fonksiyon f(x) = x^3 + 3x için ifadelerin doğruluğunu inceleyelim.
Adım 1: Bire Birlik Analizi (I. İfade)
Fonksiyonun bire bir (1-1) olup olmadığını kontrol etmek için türevini (f'(x)) inceleyelim.
Fonksiyon bire bir olabilmesi için türevinin işareti grafiğin tamamında değişmemeli (hep pozitif veya hep negatif olmalı).
$$f’(x) = \frac{d}{dx} \big(x^3 + 3x\big) = 3x^2 + 3$$
Türevi inceleyelim:
- f'(x) = 3x^2 + 3 her zaman pozitif bir değere sahiptir (çünkü 3x^2 \geq 0 ve sabit olarak +3 ekleniyor).
- Bu, fonksiyonun hiçbir zaman azalmadığını ve bire bir olduğunu gösterir.
Sonuç: I. ifade doğrudur.
Adım 2: f'(x)'in x=0 noktasında teğetliği (II. İfade)
Fonksiyonun türevi olan:
$$f’(x) = 3x^2 + 3$$
x = 0 için:
$$f’(0) = 3 \cdot (0)^2 + 3 = 3.$$
f'(0) = 3 olduğundan, fonksiyon bu noktada x eksenine teğet değildir (çünkü teğet olma koşulu f'(0)=0 olmasıdır).
Sonuç: II. ifade yanlıştır.
Adım 3: f(x) = 0 denkleminin kökleri (III. İfade)
Fonksiyon $f(x) = x^3 + 3x$’dir. Köklerini bulmak için f(x) = 0 denklemini çözelim:
$$x^3 + 3x = 0$$
$$x \cdot (x^2 + 3) = 0$$
Bu çarpanlardan:
- x = 0,
- x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = -3 (Gerçek sayı çözümler arasında değildir).
Bu durumda, fonksiyonun yalnızca bir kökü vardır: x = 0.
Sonuç: III. ifade doğrudur.
Sonuç ve Doğru İfadeler
- I. ifade doğru, fonksiyon bire bir.
- II. ifade yanlış, teğetlik koşulu sağlanmıyor.
- III. ifade doğru, f(x) = 0 yalnızca bir köke sahiptir.
Cevap: I ve III doğru.
@username
f(x) = x³ + 3x fonksiyonu için verilen I, II, III ifadelerinin analizi
I. Bire birdir.
f’nin türevi
olduğundan her x değeri için x^2 + 1 \gt 0 geçerlidir. Dolayısıyla f’(x) > 0, bu da f’nin her noktada artan (strictly increasing) olduğunu gösterir. Sürekli ve her noktada artan olan bir fonksiyon bire bir (injective) fonksiyondur. Bu yüzden I. ifade doğrudur.
II. f’(x) fonksiyonunun x = 0 noktasında x eksenine teğettir.
Bir fonksiyonun grafiğinin x eksenine teğet olması için o noktada fonksiyon değerinin 0 olması gerekir. Burada incelenen “fonksiyon” f’(x) ise, f’(0) = 3(0² + 1) = 3’tür. Yani f’(x) in 0 noktasındaki değeri 3 olup 0 değildir. Bu yüzden f’(x) = 0 noktasında x eksenine teğet olma durumu söz konusu olmaz. II. ifade yanlıştır.
III. f(x) = 0 denkleminin yalnızca bir kökü vardır.
Denklemi çözelim:
Bu çarpımın sıfır olması için ya x=0 ya da x^2 + 3 = 0 gerekir. x^2 + 3 = 0 denkleminin reel çözümü yoktur (çünkü x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = -3 reel kök vermez). Dolayısıyla tek reel kök $x=0$’dır. Bunun dışında reel çözüm olmadığı için III. ifade doğrudur.
Sonuç
- I. ifade (bire bir oluşu) doğrudur.
- II. ifade (türevin x eksenine teğet olduğu) yanlıştır.
- III. ifade (tek reel kök) doğrudur.
Dolayısıyla doğru ifadeler I ve III’tür.
@username
f(x) = x³ + 3x fonksiyonu için verilen ifadeler:
I. Bire birdir.
II. f’(x) fonksiyonunun x = 0 noktasında x eksenine teğettir.
III. f(x) = 0 denkleminin yalnızca bir kökü vardır.
Cevap: I ve III doğrudur, II ise yanlıştır.
İçindekiler
- Fonksiyonun Tanımı ve Genel Özellikleri
- Türevin (f’(x)) İncelenmesi
- Birinci İfade: “Bire Birdir” (I)
- İkinci İfade: “f’(x) Fonksiyonunun x=0 Noktasında x Eksenine Teğettir” (II)
- Üçüncü İfade: “f(x)=0 Denkleminin Yalnızca Bir Kökü Vardır” (III)
- Derinlemesine Analiz ve Grafikler
- Özet Tablo
- Sonuç ve Özet
1. Fonksiyonun Tanımı ve Genel Özellikleri
Bu soruda ele alınan fonksiyon:
Gerçek sayılar kümesinden yine gerçek sayılar kümesine tanımlı bir polinom fonksiyondur. Polinom fonksiyonların özellikleri arasında kesintisizlik (sürekli olmaları), türevlenebilirlik ve her noktada belirli bir davranış sergileme (limit analizleri vb.) sayılabilir.
f(x) = x³ + 3x fonksiyonuna dair temel gözlemler:
- Derecesi 3 olan bir polinomdur.
- x^3 terimi nedeniyle “küp” davranışı sergiler; yani büyük x değerlerinde hızla büyür, küçük (negatif) x değerlerinde de hızla negatif yönde artış gösterir.
- Ekstradan +3x terimi, fonksiyonun davranışına lineer katkıda bulunur.
Bu işlevin [I, II, III] maddelerinde belirtilen özelliklerine cevap verebilmek için önce türevini ve köklerini incelemek gerekir.
2. Türevin (f’(x)) İncelenmesi
f(x)'in türevi:
- x² her x için ≥ 0 olduğundan 3x² + 3 ifadesi her zaman pozitiftir.
- Dolayısıyla f'(x) = 3(x^2 + 1) > 0, \forall x\in \mathbb{R}.
Bu bilgi önemlidir. Çünkü bir fonksiyonun türevi her noktada pozitif ise fonksiyon artandır ve dolayısıyla bire bir (injective) olma özelliği taşır.
Ayrıca f'(0) = 3(0^2 +1) = 3 olup sıfıra eşit değildir. Bu da x=0 noktasında fonksiyonun teğetinin yatay olmadığını (eğim 3) gösterir.
3. Birinci İfade: “Bire Birdir” (I)
Bir fonksiyonun “bire bir” olması (injective) şu anlama gelir:
- Farklı iki x değeri aynı fonksiyon çıktısını vermez.
- Diğer bir deyişle f(x_1) = f(x_2) ise x_1 = x_2 olmalıdır.
F(x) = x³ + 3x fonksiyonunun türevi f'(x) = 3(x^2 +1) her zaman pozitiftir. Bir fonksiyonun türevi her noktada pozitifse, fonksiyon strictly increasing (sıkı artan) dir. Sıkı artan fonksiyonlar, bir x değerinden daha büyük olan bir başka x değeri için mutlaka daha büyük fonksiyon değeri üretir. Bu da fonksiyonun kesişim gibi konularda tekrara izin vermemesini sağlar ve neticede bire bir olduğunu ispatlar.
Dolayısıyla:
- I. ifade → “Bire birdir.” → Doğru
4. İkinci İfade: “f’(x) Fonksiyonunun x=0 Noktasında x Eksenine Teğettir” (II)
Burada dikkat çekici nokta şudur: Genelde bir fonksiyonun $x=0$’da x-ekseni ile teğet olması için o fonksiyonun o noktada değerinin 0 olması ve eğiminin 0 olması gibi durumlar tartışılır. Ancak soruda açıkça “f’(x) fonksiyonunun x=0 noktasında x eksenine teğettir” şeklinde bir ifade var. Bu ifadeyi iki şekilde yorumlamak mümkün:
-
f’(x)’in grafiği x=0 noktasında x-ekseniyle teğet midir? Bunun gerçekleşmesi için f’(0)=0 olması gerekir. Oysa hesapladık:
$$f’(0) = 3(0^2 +1) = 3 \neq 0.$$
Bu sonuçtan dolayı f’(x) eğrisi x=0 noktasında x-ekseniyle kesişmemektedir; dolayısıyla teğet de değildir. -
“f(x) fonksiyonunun x=0’da teğetinin yatay olması” gibi bir anlam kastedilebilir mi? O zaman f'(0)=0 gerekirdi. Oysa f'(0)=3 \neq 0. Dolayısıyla x=0 noktasında f(x) grafiği x-eksenine yatay teğet olmaz; çünkü eğim 3’tür.
Her iki anlamda da $f’(x)$’in x=0’da x-ekseniyle “teğet” olabilmesi için 0 değerini vermesi gerekirdi. Ancak, f’(0)=3 olduğu için bu ifade doğru değildir.
- II. ifade → “f’(x) fonksiyonunun x=0 noktasında x eksenine teğettir.” → Yanlış
5. Üçüncü İfade: “f(x)=0 Denkleminin Yalnızca Bir Kökü Vardır” (III)
Bu ifade, x^3 + 3x = 0 denklemine bakıldığında kaç gerçek kök olduğuyla ilgilidir.
5.1. Denklem Analizi
- x=0 → ilk faktörden buluruz.
- x^2 + 3 =0 → x^2 = -3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{-3}, bu ise reel çözüm vermez (karmaşık çözümler: x = \pm i\sqrt{3}).
Dolayısıyla reel eksende tek bir kök mevcuttur, o da $x=0$’dır.
Her ne kadar x² + 3 = 0’dan sanal kökler gelse de real sayı kümesinde bu kökler yoktur. Böylece f(x) = 0 denkleminde reel anlamda bir tane çözüme sahibiz.
- III. ifade → “f(x) = 0 denkleminin yalnızca bir kökü vardır.” → Doğru
6. Derinlemesine Analiz ve Grafikler
Bu bölümde, fonksiyonu daha iyi anlamak adına hem kendi fonksiyon grafiğinden hem türev grafiğinden bahsediyoruz.
6.1. f(x) = x³ + 3x Grafiği
- x → +∞ giderken x³ baskın terim pozitif yönde hızla artar.
- x → -∞ giderken x³ baskın terim negatif yönde hızla azalır.
- x=0 civarında f(0)=0, grafik orijinden geçer.
- Sıkı artan (monotonik artış) davranışı sergiler.
6.2. f’(x) = 3(x² +1) Grafiği
- f’(x) her x için pozitif, dolayısıyla f(x) monoton artar.
- x=0’da f’(0)=3’tür; bu da y=3 noktasını gösterir.
- f’(x)=0 hiçbir x reel değeri için mümkün değildir. Dolayısıyla türevi asla x-ekseniyle kesişmez ve orada teğetsel bir durma (staionary point) olmaz.
Bu grafikleri çizerseniz, f’(x)’in grafiğinin (y=3x²+3) bir parabole benzediğini, minimum değerinin x=0’da olduğunu ve bu minimum değerinde y=3 olduğunu görürsünüz.
7. Özet Tablo
Aşağıdaki tabloda, her bir ifadenin analiz sonuçlarını görebilirsiniz:
| İfade | Açıklama | Doğruluk |
|---|---|---|
| I. Bire birdir. | f’(x) = 3(x²+1) > 0 olduğu için f(x) her x ∈ ℝ’de artandır ve dolayısıyla bire birdir. | Doğru |
| II. f’(x) fonksiyonunun x=0 noktasında x eksenine teğettir. | f’(0) = 3 ≠ 0 olduğundan x ekseniyle teğetlik söz konusu değildir. | Yanlış |
| III. f(x)=0 denkleminin yalnızca bir kökü vardır. | x(x² +3)=0 analizinde tek reel kök x=0 bulunur; dolayısıyla denklemin reel çözümü tektir. | Doğru |
8. Sonuç ve Özet
Tüm bu analiz neticesinde:
- Fonksiyonun türevi her noktada pozitiftir (3x²+3 > 0), bu da fonksiyonun bire bir (injective) ve monoton artan olduğunu garanti eder. Dolayısıyla I. ifade doğrudur.
- f’(0) = 3 ≠ 0 olduğundan türev grafiği x=0’da x-ekseniyle kesişmez ve “teğet olma” durumu meydana gelmez. Bu nedenle II. ifade yanlıştır.
- f(x)=0 denkleminde sadece x=0 reel çözüm olduğu için bu fonksiyonun (reel) kökü tektir. Bu da III. ifadeyi doğru kılar.
Dolayısıyla soruda verilen ifadelerden doğru olanlar I ve III şeklinde sonuçlanır.
@anonymous13