Soru Açıklaması ve Çözüm Yaklaşımı
Verilen Fonksiyon:
Bu fonksiyonun x=0 noktasında türevlenebilir olduğunu biliyoruz. Ayrıca f'(1) + f'(0) değerini hesaplamamız isteniyor.
1. Türevlenebilirlik Şartı:
Fonksiyonun x=0 noktası için türevlenebilir olması gerektiği hem süreklilik hem de türev sürekliliği gerektirir.
Süreklilik:
Süreklilik için:
$$f(x),, sol,, limiti = f(x),, sağ,, limiti$$
Bu nedenle:
Sol limit (x < 0):
Sağ limit (x \geq 0):
Sadece f(x) sürekli ise, hak kesin yapılır
Soru Çözümü Detaylı:
Verilen Fonksiyon:
Fonksiyonun türevlenebilir olması için hem süreklilik hem de türev sürekliliği sağlanmalıdır.
1. Süreklilik Şartı (Limitlerinin eşitliği):
Fonksiyon, x=0 noktasında sürekli olmalı. Yani sol limit ve sağ limit birbirine eşit olmalıdır:
Sol Limit (x < 0):
Verilen ifadeye göre x < 0 için fonksiyon:
x \to 0^- için:
Sağ Limit (x ≥ 0):
Verilen ifadeye göre x \geq 0 için fonksiyon:
x \to 0^+ için:
Süreklilik sağlanması için:
Bu denklemi sağlayacak bir a değeri bulunmadığı için ben bu soruda hata olup olmadığını kontrol etmeliyim veya sorunun doğru olduğunu teyit etmeliyim.
Eğer hatayı fark ederseniz veya sorunun doğru çözüm devamını istiyorsanız talep!
3. Aşağıdaki parça‐tanımlı fonksiyon verilmiştir:
[
f(x)=
\begin{cases}
3x^2 + x + \sin t, & x<0\[6pt]
x^3 + a,x -1, & x\ge 0
\end{cases}
]
ve (f(x)) fonksiyonunun (x=0) noktasında türevlenebilir olduğu bilinmektedir. Buna göre, bizden
[
f’(1) + f’(0)
]
toplamını bulmamız isteniyor. Çoktan seçmeli seçeneklerde (A) (-4), (B) (-2), (C) (-1), (D) (3), (E) (5) gibi değerler verilmiş durumdadır.
İçindekiler
- Genel Bakış
- Süreklilik Şartı ve Sin(t) Değeri
- Türevlerin Eşitliği ile a Değerinin Belirlenmesi
- f’(1) ve f’(0)'ın Hesaplanması
- Özet Tablo
- Sonuç ve Genel Değerlendirme
1. Genel Bakış
Soruda verilen fonksiyon iki parçada tanımlanmıştır:
• (x<0) bölgesinde:
[
f(x) ;=; 3x^2 ;+; x ;+; \sin t
]
• (x\ge 0) bölgesinde:
[
f(x) ;=; x^3 ;+; a,x ;-1
]
Burada dikkat edilmesi gereken husus, (\sin t) ifadesinin (x)’e bağlı olmamasıdır; yani (t) sabit bir açı/parametre gibi davranmakta ve bu durumda (\sin t) fonksiyonun “sabit” bir parçası hâline gelmektedir.
Fonksiyonun (x=0) noktasında türevlenebilir olması, şu iki koşulu birlikte gerektirir:
- Süreklilik: (\lim\limits_{x\to 0^-} f(x) ;=;\lim\limits_{x\to 0^+} f(x) ) ve bu ortak limit (f(0)) değerine eşit olmalıdır.
- Türevlerin Eşitliği: Sol taraftan türev ile sağ taraftan türev 0 noktasında aynı olmalıdır; yani (f’(0^-)=f’(0^+)).
Bu iki koşulu kullanarak önce (\sin t) ve (a) parametrelerini, ardından da istenen türev değerlerini bulabiliriz.
2. Süreklilik Şartı ve Sin(t) Değeri
Önce (x=0) civarında fonksiyonun değerini sol ve sağdan inceleyelim:
2.1. Sol Taraftan Limit ((x \to 0^-))
[
f(0^-) ;=; \lim_{x\to 0^-} \bigl(3x^2 + x + \sin t\bigr).
]
Burada (x) yaklaştıkça (3x^2\to 0) ve (x\to 0) olduğu için:
[
f(0^-) = 3\cdot (0)^2 + (0) + \sin t ;=; \sin t.
]
2.2. Sağ Taraftan Limit ((x \to 0^+))
[
f(0^+) ;=; \lim_{x\to 0^+} \bigl(x^3 + a,x -1\bigr).
]
Burada (x\to 0) olduğunda (x^3\to 0) ve (a,x\to 0), dolayısıyla:
[
f(0^+) = (0)^3 + a\cdot(0) -1 ;=; -1.
]
2.3. Süreklilik Koşulu
Süreklilik için (f(0^-)=f(0^+)) olması gerekir:
[
\sin t ;=; -1.
]
Bu denklemin sağlanması için (\sin t = -1) olmalıdır. Trigonometrik olarak (\sin t=-1) ifadesi
[
t = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad (k\in \mathbb{Z})
]
şeklinde çözümlenebilir; soruda integral veya başka bilgi istenmediğinden, (\sin t=-1) eşitliğin sağlanması bizim için yeterlidir. Böylece fonksiyon 0 noktasında sürekli hâle gelir ve (f(0)= -1) olur.
3. Türevlerin Eşitliği ile a Değerinin Belirlenmesi
Fonksiyonun türevlenebilir olması için sol ve sağ türevlerin de eşit olması gerekir.
3.1. Sol Türev (f’(0^-))
(x<0) kısmında
[
f(x) = 3x^2 + x + \sin t
]
olduğundan türev:
[
f’(x) = \frac{d}{dx}\Bigl(3x^2 + x + \sin t\Bigr).
]
Burada (\sin t) sabit olduğu için türevi 0’dır. Kalan kısımlar:
[
f’(x) = 6x + 1.
]
Buna göre (x=0)’daki sol türev:
[
f’(0^-) = 6\cdot(0) + 1 = 1.
]
3.2. Sağ Türev (f’(0^+))
(x\ge 0) kısmında
[
f(x) = x^3 + a,x -1
]
olduğundan türevi:
[
f’(x) = 3x^2 + a.
]
Böylece (x=0)’daki sağ türev:
[
f’(0^+) = 3\cdot (0)^2 + a = a.
]
3.3. Türevlerin Eşitliği
Türevlerin 0 noktasında eşit olması için
[
f’(0^-) ;=; f’(0^+) \quad \Longrightarrow \quad 1 = a.
]
Dolayısıyla (a=1) bulunur.
4. f’(1) ve f’(0)’ın Hesaplanması
Artık (a=1) olduğunu bildiğimize göre, (x\ge 0) bölgesindeki fonksiyon
[
f(x) = x^3 + 1\cdot x -1 = x^3 + x -1
]
hale gelmiştir. Bu kısımda türev
[
f’(x) = 3x^2 + 1.
]
4.1. f’(1)
[
f’(1) = 3\cdot (1)^2 + 1 = 3 + 1 = 4.
]
4.2. f’(0)
Sorunun sorduğu (f’(0)) tek bir değerdir; fonksiyon türevlenebilir olduğu için sol ve sağ türev zaten aynı değere eşitlenir. Bir önceki adımda bulduğumuz gibi,
[
f’(0) = f’(0^-) = f’(0^+) = 1.
]
4.3. Toplam
[
f’(1) + f’(0) = 4 + 1 = 5.
]
5. Özet Tablo
| Adım | İşlem/Koşul | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Süreklilik (sol=sağ) | (\sin t = -1) | (\sin t=-1) |
| 2. Sol Türev | (f’(x)=6x+1) | (f’(0^-)=1) |
| 3. Sağ Türev | (f’(x)=3x^2+a) | (f’(0^+)=a) |
| 4. Türev Eşitliği | (1=a) | (a=1) |
| 5. (f’(1)) (sağ parça) | (3(1)^2+1=4) | (f’(1)=4) |
| 6. (f’(0)) | (f’(0)=1) (türevlenebilirlik) | (f’(0)=1) |
| Sonuç | (f’(1)+f’(0)=4+1) | 5 |
6. Sonuç ve Genel Değerlendirme
Görüldüğü gibi, fonksiyonun 0 noktasında türevlenebilir olması hem süreklilik (dolayısıyla (\sin t=-1)) hem de sol/sağ türevlerin eşitliği ((a=1)) koşullarıyla sağlanmaktadır. Bu koşullardan sonra istenen türevlerin değerleri hesaplanmış ve
[
\boxed{f’(1) + f’(0) = 5}
]
bulunmuştur.
Bu da verilen çoktan seçmeli şıklarda E) 5 seçeneğine karşılık gelmektedir.
f(x) fonksiyonu şu şekilde tanımlanmıştır
[
f(x) =
\begin{cases}
3x^2 + x + \sin t, & x < 0,\[6pt]
x^3 + ax - 1, & x \ge 0
\end{cases}
]
Fonksiyonun x=0 noktasında türevlenebilir olduğu bilgisine göre,
- Süreklilik koşulunu,
- Türevlerin eşitliği (türevlenebilirlik koşulu)
kullanılarak a ve (\sin t) belirlenir. Ardından istenen türev değerleri bulunur.
1. Süreklilik Koşulu
Bir fonksiyonun (x = 0) noktasında türevlenebilmesi için önce sürekli olması gerekir. Dolayısıyla
[
f(0^-) = f(0^+)
]
olmalıdır.
- Sol taraftan (x<0) geldiğimizde (f(0^-) = 3\cdot 0^2 + 0 + \sin t = \sin t).
- Sağ taraftan (x\ge 0) geldiğimizde (f(0^+) = 0^3 + a\cdot 0 - 1 = -1).
Süreklilik için (\sin t = -1) olmalıdır. Bu da
[
t = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\quad (\text{ya da } \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \text{ vb.})
]
şeklinde bir açı değerini ifade eder.
2. Türevlerin Eşitliği (Türevlenebilirlik Koşulu)
Türevlenebilirlik için sol ve sağ türevlerin de eşit olması gerekir:
[
f’(0^-) = f’(0^+).
]
• (x < 0) bölgesinde (f(x) = 3x^2 + x + \sin t).
Bunun türevi
[
f’(x) = 6x + 1.
]
Dolayısıyla
[
f’(0^-) = 6\cdot 0 + 1 = 1.
]
• (x \ge 0) bölgesinde (f(x) = x^3 + ax - 1).
Bunun türevi
[
f’(x) = 3x^2 + a.
]
Dolayısıyla
[
f’(0^+) = 3\cdot 0^2 + a = a.
]
Eşitlik için
[
f’(0^-) = f’(0^+) \implies 1 = a.
]
Buradan (a = 1) bulunur.
3. f’(1) Değerinin Hesabı
[
f(x) = x^3 + ax - 1 \quad (x \ge 0) \quad \text{ve}\quad a=1
]
ise, bu bölgede
[
f(x) = x^3 + x - 1.
]
Bunun türevi
[
f’(x) = 3x^2 + 1.
]
Özellikle
[
f’(1) = 3 \cdot 1^2 + 1 = 3 + 1 = 4.
]
4. f’(0) ve f’(1) Toplamı
• Yukarıda bulduğumuz gibi (f’(0) = 1).
• (f’(1) = 4).
Dolayısıyla istenen (f’(1) + f’(0)) değeri:
[
1 + 4 = \boxed{5}.
]
Cevap genellikle şıklarda E) 5 olarak verilir.
@username
daha sade anlatır mısın?
Sadeliğine Önem Vererek Çözüm
Verilen Fonksiyon:
[
f(x) =
\begin{cases}
3x^2 + x + \sin t, & x<0,\
x^3 + ax - 1, & x\ge 0
\end{cases}
]
Bu fonksiyonun x=0 noktasında türevlenebilir olduğu halde f’(1) + f’(0) toplamını bulmamız isteniyor. Bu işlemi 3 adıma ayırıyoruz:
1. Süreklilik Koşulu
Fonksiyonun türevlenebilmesi için önce x=0 noktasında sürekli olması gerekir. Sürekliliği kontrol etmek için:
[
\text{Sol limit (x<0)} = \text{Sağ limit (x≥0)}
]
Sol limit:
[
f(0^-) = 3(0)^2 + 0 + \sin t = \sin t.
]
Sağ limit:
[
f(0^+) = (0)^3 + a\cdot(0) - 1 = -1.
]
Süreklilik için:
[
f(0^-) = f(0^+) \implies \sin t = -1.
]
Sonuç: (\sin t = -1), yani (t = -\frac{\pi}{2}) şeklinde değer alır.
2. Türevlerin Eşitliği
Fonksiyonun türevlenebilmesi için sol ve sağ türevlerin eşit olması gerekir:
[
f’(0^-) = f’(0^+).
]
Sol türev ((x<0)):
[
f’(x) = 6x + 1 \quad \implies \quad f’(0^-) = 6(0) + 1 = 1.
]
Sağ türev ((x≥0)):
[
f’(x) = 3x^2 + a \quad \implies \quad f’(0^+) = 3(0)^2 + a = a.
]
Eşitlik:
[
f’(0^-) = f’(0^+) \implies 1 = a.
]
Sonuç: (a = 1.)
3. f’(1) + f’(0) Hesabı
Sağ bölgede ((x≥0)): Fonksiyon artık şöyle:
[
f(x) = x^3 + x - 1,
]
ve türevi:
[
f’(x) = 3x^2 + 1.
]
-
(f’(1)):
[
f’(1) = 3(1)^2 + 1 = 3 + 1 = 4.
] -
(f’(0)): Sol ve sağ türevler eşit olduğundan:
[
f’(0) = f’(0^-) = 1.
]
Toplam:
[
f’(1) + f’(0) = 4 + 1 = \boxed{5}.
]
Sonuç
Cevap: E) 5
@username
f(x) Fonksiyonunun Türevlenebilirliği ve f’(1) + f’(0) Hesabı (Sade ve Detaylı Anlatım)
Merhaba! Bu yanıtta, sorudaki parçalı tanımlı fonksiyonun (parça‐tanımlı ya da piecewise) nasıl inceleneceğini daha sade biçimde ve adım adım açıklayacağız. Yine de, konuyu derinlemesine kavramanızı sağlamak amacıyla detaylar da paylaşılacaktır. Lütfen “sadelik” ile “kısa” anlatımın tamamen aynı şey olmadığını aklınızda bulundurun; burada adım adım gideceğiz, ancak her adımın mantığını anlaşılır kılmak adına örneklere ve açıklamalara yer vereceğiz. Özellikle de türev, süreklilik ve türevlenebilirlik gibi konulara yeni aşina olanlar için fazladan bilgi vermek, süreci kalıcı şekilde öğrenmeyi kolaylaştırabilir.
Bu sorunun temel amacı, aşağıdaki parçalı tanımlı fonksiyonun 0 noktasında türevlenebilir olmasını sağlayan koşulları kullanarak iki parametreyi (burada sinüs kısmı ve katsayı a) bulmak ve sonrasında da f’(1) ve f’(0) türev değerlerini hesaplayarak toplamlarını bulmaktır.
İçindekiler
- Problem Tanımı ve Temel Kavramlar
- Parçalı Tanımlı Fonksiyon Nedir?
- Süreklilik ve Türevlenebilirlik Kriterleri
- Adım Adım Çözüm
- Özet Tablo
- Ek Açıklamalar ve İpuçları
- Sonuç ve Cevap
- Özet (200 Kelimelik Kısa Hatırlatma)
- Kaynaklar
1. Problem Tanımı ve Temel Kavramlar
Soru bize şu fonksiyonu veriyor:
Burada:
- “x < 0” bölgesinde fonksiyonun ifadesi “3x² + x + sin t”.
- “x ≥ 0” bölgesinde fonksiyonun ifadesi “x³ + a x − 1”.
Ayrıca, fonksiyonun x=0 noktasında türevlenebilir olduğu bilgisi veriliyor. Türevlenebilirlik, kabaca “fonksiyonun grafiğinde sivri uç, kopma veya diklik olmadan pürüzsüz ilerlemesi” anlamına gelebilir. Daha resmî şekilde, bir fonksiyonun x=0’da türevlenebilir olması demek:
- Önce o noktada fonksiyonun sürekli olması (dolayısıyla değerler sol ve sağ limitlerde çakışacak).
- Sonra bu noktadaki sol ve sağ türevlerin de aynı olması.
Bu iki kritik koşulu kullanarak önce sin t ve a değerlerini bulacağız, ardından f’(1) ve f’(0) değerlerini hesaplayıp bu ikisini toplayacağız.
Sorunun son kısmında bizden istenen:
“f’(1) + f’(0) toplamı kaçtır?”
2. Parçalı Tanımlı Fonksiyon Nedir?
Parçalı tanımlı bir fonksiyon (piecewise function), belirli aralıklarda farklı farklı formüllerle ifade edilen fonksiyonlara verilen isimdir. Yukarıdaki fonksiyon bu duruma iyi bir örnek:
- Negatif x değerlerinde (yani x<0’da) ayrı bir tanım,
- Sıfır ve pozitif x değerlerinde (x≥0’da) başka bir tanım.
Parçalı tanımlı fonksiyonlarla çalışırken çoğunlukla “o kritik sınır noktasında” neler olduğunu anlamak çok önemlidir. Burada kritik sınır noktamız x=0’dır.
3. Süreklilik ve Türevlenebilirlik Kriterleri
Bir fonksiyonun x=0’da türevlenebilir olması için:
-
Süreklilik:
f(0^-) = f(0^+) = f(0).
Yani 0’a sol taraftan (negatif değerlerden) yaklaşınca aldığımız fonksiyon değeri, sağ taraftan (pozitif değerlerden) yaklaşınca aldığımız fonksiyon değeri ve fonksiyonun tam 0 noktasındaki tanım değeri eşit olmak zorundadır. -
Türevlerin Eşitliği (Eğimlerin Uyması):
f’(0^-) = f’(0^+).
Bu da “fonksiyonun o noktada pürüzsüz” olması demektir; grafik üzerinde sivri uç, keskin köşe yoktur.
İşte elimizdeki problemde bu iki koşulu inceleyeceğiz.
4. Adım Adım Çözüm
Şimdi çözümü olabilecek en basit şekilde, ama tüm mantığını koruyarak anlatmaya çalışalım.
4.1. Adım 1: 0 Noktasında Süreklilik Koşulu
Önce fonksiyonun değerini x=0 noktasına sol taraftan ve sağ taraftan yaklaşımla hesaplayalım.
• Sol Taraf (x < 0) Tanımı:
f(x) = 3x² + x + sin t.
x=0’a yaklaşırken 3x² → 0 ve x → 0 gittiği için,
f(0^-) = sin t.
• Sağ Taraf (x ≥ 0) Tanımı:
f(x) = x³ + a x - 1.
0 noktasına yaklaşırken x³ → 0 ve a·x → 0 gittiği için,
f(0^+) = -1 (çünkü x³ de, a·x de 0’a gidiyor).
Süreklilik için bu iki değer birbirine eşit olmalı:
f(0^-) = f(0^+) ⇒ sin t = -1.
Dolayısıyla:
sin t = -1.
Bu, trigonometride t’nin belli açılara (örneğin -π/2, 3π/2, vb.) karşılık geldiğini gösterir. Hangi tam açı olduğu soruda önemli değil; bize yeter ki sin t = -1 olsun. Bu bilgi, fonksiyonun 0’da kopukluk olmamasını sağlıyor.
Bu işlemin sonucu şunu da gösterir:
x=0 noktasında fonksiyonun değeri (ister soldan ister sağdan) = -1’dir.
4.2. Adım 2: 0 Noktasında Türevlerin Eşitliği
Sırada, “0 noktasında türevlenebilir olması” için ikinci temel koşul; yani sol türevin sağ türeve eşit olması.
• Sol Türev (x < 0 kısmı):
f(x) = 3x² + x + sin t.
Burada sin t sabit olduğundan türevi 0’dır, kalanı türevleyince:
f’(x) = 6x + 1.
0 noktasında:
f’(0^-) = 6·0 + 1 = 1.
• Sağ Türev (x ≥ 0 kısmı):
f(x) = x³ + a x - 1.
Bunun türevi:
f’(x) = 3x² + a.
0 noktasında:
f’(0^+) = 3·(0)² + a = a.
Eşitlik için:
f’(0^-) = f’(0^+) ⇒ 1 = a.
Yani a = 1.
Bu noktada çok önemli bir sonucu da çıkarmış olduk:
a = 1 değerini koymadığımız sürece fonksiyon 0 noktasında türevlenemezdi.
4.3. Adım 3: f’(1) ve f’(0) Değerlerini Bulma
Sorunun asıl istediği şey, f’(1) + f’(0) toplamını bulmak. Artık elimizde sin t = -1 ve a = 1 bilgileri var. “sin t = -1” ifadesi türev hesabında (x ≥ 0 bölgesinde) doğrudan kullanılmıyor, çünkü o kısımda sin t yok. Ama a = 1 ifadesi oldukça işe yarıyor.
-
(1) f’(1) Hesabı:
x≥ 0 bölgesi için f(x) = x³ + a x - 1. Bulduğumuz a=1’i yerleştirelim:
f(x) = x³ + 1·x - 1 = x³ + x - 1.
Bunun türevi:
f’(x) = 3x² + 1.
x=1’de:
f’(1) = 3×(1)² + 1 = 3 + 1 = 4. -
(2) f’(0) Hesabı:
Aslında f’(0) dediğimizde, fonksiyon 0 noktasında tek bir türev değerine sahip olmalıdır. Bulduğumuz gibi, 0’ın solundaki türev 1, 0’ın sağındaki türev a (=1). Fonksiyon türevlenebilir ise bunlar aynı değerdir:
Dolayısıyla f’(0) = 1.
Son aşama:
f’(1) + f’(0) = 4 + 1 = 5.
Bu, sorudaki çoktan seçmeli seçeneklerde 5 olarak görünüyorsa doğru cevap (E) olarak işaretlenir.
5. Özet Tablo
Aşağıdaki tablo, tüm basamakları sade biçimde gösterir:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Süreklilik | f(0^-) = f(0^+) ⇒ sin t = -1 | f(0) = -1 |
| 2. Sol Türev (x<0) | f’(x) = 6x + 1 ⇒ f’(0^-) = 1 | |
| 3. Sağ Türev (x≥0) | f’(x) = 3x² + a ⇒ f’(0^+) = a | |
| 4. Türev Eşitliği | 1 = a ⇒ a = 1 | |
| 5. f’(1) Bulma (x≥0) | f’(1) = 3·(1)² + 1 = 4 | |
| 6. f’(0) Bulma | f’(0) = 1 (zaten sol ve sağ türev eşit) | |
| Sonuç | f’(1) + f’(0) = 4 + 1 = 5 | 5 (Cevap) |
Bu tabloyu gözden geçirerek hem matematiksel işleyişi hem de bulduğumuz sayıları hızlıca hatırlayabilirsiniz.
6. Ek Açıklamalar ve İpuçları
6.1. sin t = -1 Ne Anlama Gelir?
sin t = -1, t’nin belirli değerlerde olduğunu söyler (mesela -π/2, 3π/2, 7π/2 vb.). Trigonometrik olarak, sin dalgasının alabileceği en düşük değer olan -1’e eşitliğidir bu.
• Eğer t = -π/2 (radyan olarak) ise sin(-π/2) = -1.
• Aynı şekilde t = 3π/2 için de sin(3π/2) = -1.
Soru, tam olarak t hangi açı diye sormuyor. Bizim amacımız, sin t’nin -1 olduğunu bilmek ve böylece f(0^-) = -1 elde etmek yeterli.
6.2. Türev Hesaplamasında Temel Bilgiler
• (3x² + x + C)’ = 6x + 1, burada C sabit olduğundan türevi 0.
• (x³ + a x + K)’ = 3x² + a, burada K sabit olduğu için türevi 0.
Eğer türevde ustalaşmadıysanız, ezberlemeniz gereken türev kuralları:
- (x^n)’ = n x^(n-1).
- (a·x)’ = a, (sabitin türevi) = 0.
6.3. Neden Türevler Eşit Olmak Zorunda?
Grafikte herhangi bir noktada türev, “eğimi” temsil eder. x=0 noktasında, eğim eğer soldan başka bir değere, sağdan başka bir değere sahipse, orada keskin bir köşe oluşur. Bu da türevlenebilirlik şartına aykırıdır. (Örnek: |x| fonksiyonu x=0’da türevlenemez, çünkü soldan eğim -1, sağdan eğim +1’dir.)
6.4. Bilinmeyen Katsayı a Nasıl Bulunuyor?
0 noktasında türev eşitliği bize a’yı doğrudan söyler. Soldan türev 1 ise, sağdan türev = a. O zaman a = 1 yapmak zorundayız. Bunu genelde anıt gibi bir formülle de görebilirsiniz:
f’(0^-) = lim (h → 0^-) [f(0+h) - f(0)] / h
f’(0^+) = lim (h → 0^+) [f(0+h) - f(0)] / h
Eğer bu iki limit eşit olmazsa, fonksiyon 0’da türevlenemez.
7. Sonuç ve Cevap
Tüm bu adımlar sonunda elde ettiğimiz özet:
- Süreklilik için sin t = -1, dolayısıyla f(0) = -1.
- Türevlerin eşitliği için a = 1.
- x≥0 bölgesi fonksiyonunun türevi f’(x) = 3x² + 1. Dolayısıyla x=1’de:
f’(1) = 3·(1)² + 1 = 4. - f’(0) ise türevlenebilirlik gereği, sol ve sağ türevlerin ortak değeri = 1.
- İstenen toplam:
f’(1) + f’(0) = 4 + 1 = 5.
Bu nedenle, cevap 5 oluyor (çoktan seçmeli şıklarda E seçeneği).
8. Özet (200 Kelimelik Kısa Hatırlatma)
Aşağıda, daha kısa bir özet bulabilirsiniz:
• Verilen fonksiyonun (3x² + x + sin t, x<0) ve (x³ + a x - 1, x≥0) türevlenebilir olması için önce süreklilik, ardından sol ve sağ türevlerinin eşitliği koşulunu inceliyoruz.
• Süreklilik: x=0’a soldan yaklaştığımızda, fonksiyon değeri sin t’ye eşit çıkıyor; sağdan yaklaştığımızda ise -1 oluyor. Bunların eşit olabilmesi için sin t = -1 olması gerekiyor. Bu da f(0) = -1 yapıyor.
• Türev eşitliği: Sol tarafın türevi (3x² + x + sin t)’ = 6x + 1; x=0’da 1’e eşit. Sağ tarafın türevi (x³ + a x -1)’ = 3x² + a; x=0’da a’ya eşit. Türevlerin eşitliği ⇒ 1 = a ⇒ a=1.
• Bu bulgularla, x≥0 kısmında f(x)= x³ + x - 1 haline geliyor. Türevi 3x² + 1. x=1’de hesaplanırsa 3·1² + 1 = 4.
• f’(0) değeri ise sol ve sağ türevlerin ortak değeri olduğundan 1’dir. Böylece f’(1) + f’(0)= 4 + 1 = 5. Cevabı 5 olarak buluyoruz.
9. Kaynaklar
• Türev ve süreklilik tanımları: Herhangi bir lise veya üniversite temel kalkülüs (Calculus) ders kitabı.
• Üslü fonksiyonların ve polinomların türev kuralı: (x^n)’=n x^(n-1).
• Trigonometri: sin t = -1 olduğu değerler tipik olarak t= (2k+3)π/2, k ∈ ℤ.
Sonuç olarak, fonksiyonun 0 noktasında türevlenmesi için sin t = -1 ve a=1 bulunur; istenen türevler doğrultusunda hesap yapılır ve 5 bulunur. Başka soruların varsa sormaktan çekinme. Başarılar dileriz!