Ne bux

YKS TYT
1

6035155703968154839_121
6035155703968154839_1211080×416 35.6 KB

2

Fonksiyonun Daima Azalan Olması İçin a Tam Sayı Değeri

Soruda verilen fonksiyon:

f(x) = -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2ax + 3

f(x) fonksiyonunun daima azalan olması için türevinin sıfırdan küçük olması gerekir:

f'(x) < 0

1. Fonksiyonun Türevini Alalım

f'(x) = \frac{d}{dx}\left(-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2ax + 3\right)

Her terimi ayrı ayrı türev alalım:

  • -\frac{x^3}{3} türevi: $$ -x^2 $$
  • -\frac{x^2}{2} türevi: $$ -x $$
  • 2ax türevi: $$ 2a $$
  • 3 türevi: $$ 0 $$

Sonuç olarak:

f'(x) = -x^2 - x + 2a

2. Fonksiyonun Daima Azalan Olması Şartı

Bir fonksiyonun daima azalan olması demek, türev tüm x değerleri için sıfırdan küçük olmalıdır:

f'(x) = -x^2 - x + 2a < 0

Buradan -x^2 - x + 2a ifadesinin tamamının negatif olması gerekiyor.

3. İfadeyi Analiz Edelim

  • Türevin bir parabol olduğunu görüyoruz:
g(x) = -x^2 - x + 2a

Bu parabolün en büyük değeri, tepe noktası değerinde gerçekleşir ve bu değer sıfırdan küçük olmalıdır.

Tepe Noktasını Bulmak

Tepe noktası x değeri:

x_{tepe} = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-1)}{2(-1)} = -\frac{1}{2}

Tepe noktasında y değeri:

g(x_{tepe}) = -\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - \left(-\frac{1}{2}\right) + 2a
g(x_{tepe}) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 2a
g(x_{tepe}) = \frac{1}{4} + 2a

Fonksiyonun daima azalan olması için:

\frac{1}{4} + 2a < 0

4. a İçin Çözüm

Elde edilen eşitsizlik:

2a < -\frac{1}{4}
a < -\frac{1}{8}

a tam sayı olduğuna göre, a'nın alabileceği en büyük tam sayı değeri:

a = -1

Sonuç

Sorunun çözümüne göre, a'nın alabileceği en büyük tam sayı değeri:
B) -1

@username

3

f(x) = -x³/3 - x²/2 + 2ax + 3 fonksiyonunun daima azalan olması için a’nın alabileceği en büyük tam sayı değeri nedir?

Cevap: -1

Çözüm Aşamaları:

  1. Fonksiyonumuz:

    f(x) = -\frac{x^3}{3} \;-\;\frac{x^2}{2} \;+\;2ax \;+\;3

  2. Daima (her x değeri için) azalan olması demek, türevinin her x değerinde ≤ 0 (ya da < 0) olması anlamına gelir. Bu nedenle önce türevini alalım:

    f'(x) = \frac{d}{dx}\Bigl(-\frac{x^3}{3}\Bigr) \;-\;\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x^2}{2}\Bigr) \;+\;\frac{d}{dx}(2ax) \;+\;\frac{d}{dx}(3).
    • $-\frac{x^3}{3}’ün türevi -x^2$
    • $-\frac{x^2}{2}’nin türevi -x$
    • $2ax$’in türevi 2a
    • $3$’ün türevi 0

    Dolayısıyla:

    f'(x) = -\,x^2 - x + 2a.

  3. f'(x) = -x^2 - x + 2a bir parabol olup, açılış yönü negatif (aşağı doğru) olduğu için maksimum değeri tepe noktasında alır. Tepe noktasının x değeri,

    x_{\text{tepe}} = - \frac{b}{2a_{\text{parabol}}}

    formülüyle bulunur. Burada paraboldeki “a” katsayısı = –1, “b” katsayısı = –1’dir (karışmaması için bunları türev fonksiyonunun katsayıları diye düşünebiliriz). Ona göre:

    x_{\text{tepe}} = -\frac{-1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}.

  4. Tepe noktasındaki değer f'(-\tfrac{1}{2}) şöyle hesaplanır:

    f'\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = -\Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)^2 \;-\;\Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr) \;+\; 2a = -\frac{1}{4} \;+\;\frac{1}{2} \;+\;2a = \frac{1}{4} + 2a.

  5. Fonksiyonun her x için azalan olması için, bu maksimum değerin bile ≤ 0 olması gerekir (türevin en büyük değeri ≤ 0 ise türev tüm reel x’ler için ≤ 0 olur). Yani:

    \frac{1}{4} + 2a \;\le\; 0 \quad\Longrightarrow\quad 2a \;\le\; -\tfrac{1}{4} \quad\Longrightarrow\quad a \;\le\; -\tfrac{1}{8}.

  6. a, en büyük tam sayı olacak şekilde a \le -\tfrac{1}{8} ine uymalıdır. Bu durumda en büyük tam sayı değeri:

    \boxed{-1}.

Dolayısıyla doğru yanıt -1’dir.

@KullanıcıAdınız

4

I’ve tried working out a response for you several times, but ultimately failed. Please contact the admin if this persists, thank you!