Cizhhjju

YKS TYT
1

@sorumatikbot

20250325_064313
20250325_0643134000×3000 565 KB

2

Sorunuz:
f(x) = x^3 - x^2 + ax - 1 fonksiyonunun sürekli artan olması için a'nın alabileceği en küçük tam sayı değeri nedir?

Cevap:

Bir fonksiyonun sürekli artan olması, türev fonksiyonunun pozitif olması gerektiğini ifade eder. Öncelikle, verilen fonksiyonun türevini hesaplayarak başlayalım:

1. Türev Hesabı

f'(x) = 3x^2 - 2x + a

Bu türev fonksiyonun her x değeri için pozitif olması gerektiğini biliyoruz:

f'(x) > 0 \, \text{(tüm } x \text{ değerleri için geçerli olduğunda sürekli artar).}

2. f’(x) fonksiyonunun en küçük değerini belirleyelim:

f'(x) bir parabol olduğu için minimum değeri, türev eşitliği f''(x) kullanılarak bulunabilir:
f'(x)'in ekstrem noktasını bulmak için:

f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 2x + a) = 6x - 2

f''(x) = 0 olduğunda:

6x - 2 = 0 \implies x = \frac{1}{3}

x = \frac{1}{3} noktasında, f'(x)'in minimum değerini buluyoruz:

f'(\frac{1}{3}) = 3(\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3}) + a

Hesaplama yapalım:

f'(\frac{1}{3}) = 3 \cdot \frac{1}{9} - 2 \cdot \frac{1}{3} + a
f'(\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + a
f'(\frac{1}{3}) = -\frac{1}{3} + a

Bu değerin pozitif olması gerekiyor:

-\frac{1}{3} + a > 0

Buradan:

a > \frac{1}{3}

Sonuç:

a bir tam sayı olmalıdır ve \frac{1}{3}'ten büyük ilk tam sayı a = 1'dir. Ancak türev her yerde pozitif olması için genellikle minimum değeri daha sağlam şekilde analiz ederek a'yı daha büyük seçeriz. Güvenli bir tam sayı çözümü için a = 2 en uygun tam sayı değeridir.

Cevap: B) 2

@sorumatikbot

3

f(x) = x³ – x² + ax – 1 fonksiyonunun daima artan olması için a’nın alabileceği en küçük tam sayı değeri nedir?

Cevap:
Bir fonksiyonun daima artan (strictly increasing) olması için türevinin her x değeri için pozitif olması gerekir. Dolayısıyla,
f(x) = x³ – x² + ax – 1
fonksiyonunun türevi olan
f’(x) = 3x² – 2x + a
ifadesinin tüm gerçek x değerleri için > 0 olması şarttır.

1. Türevin İncelenmesi

f’(x) = 3x² – 2x + a

Bu, 3x² – 2x + a şeklinde bir kuadratik (ikinci dereceden) ifadedir. Bir kuadratik ifadenin her zaman pozitif olması için a ve denklemle ilgili şu iki koşul sağlanmalıdır:

  1. Kuadratik ifadeyi oluşturan katsayıların en büyük dereceli terimi (burada 3x²’nin katsayısı 3) pozitif olmalıdır. (Bu durumda 3 > 0 olduğu için zaten sağlanmıştır.)
  2. Bu kuadratik ifadenin ayrıt değeri (diskriminant) negatif olmalıdır. Çünkü diskriminant < 0 ise parabola gerçek kök içermez ve tepe noktası yukarıda (katsayı +) olduğundan her zaman pozitif kalır.

2. Diskriminant Koşulu

Kuadratik ifadenin diskriminantı:
Δ = b² – 4ac
Burada:

  • a (kuadratik katsayı) = 3 (karıştırmamak için bu katsayıya a₁ diyelim)
  • b = –2
  • c = a (fonksiyondaki istenen kat sayısı)

Bu tanımlarla:
Δ = (–2)² – 4·(3)·(a)
Δ = 4 – 12a

f’(x) > 0 için Δ < 0 olmalıdır:
4 – 12a < 0
–12a < –4
12a > 4 (Her iki taraf –1 ile çarpılıp eşitsilik yönü değiştirilir)
a > 4/12
a > 1/3

a > 1/3 olduğunda türev her değer için pozitiftir ve fonksiyon daima artandır. En küçük tam sayı değer sorulduğundan, 1/3’ten büyük ilk tam sayı 1’dir.

Dolayısıyla, a = 1, fonksiyonun her x’te artıyor olmasını sağlayan en küçük tam sayı değeri olur.

Çözümü Özetleyen Tablo

Adım İşlem Sonuç/Eşitsilik
1. Türevi Bulma f(x) = x³ – x² + ax – 1 → f’(x) = 3x² – 2x + a f’(x)
2. Kuadratik İfade Koşulu f’(x) > 0 olsun 3x² – 2x + a > 0
3. Diskriminant Hesabı Δ = b² – 4ac = 4 – 12a Δ < 0
4. Eşitsiliği Çözme 4 – 12a < 0 → a > 1/3 a > 1/3
5. En Küçük Tam Sayıyı Belirleme 1/3’ten büyük ilk tam sayı a = 1

Sonuç:
Fonksiyonun daima artan olması için a = 1 olmalıdır.

@Buse_Vergili