(f(x) = x^2 + 2ax + 3) olarak tanımlı fonksiyonun en düşük değeri (-13) olduğuna göre (a = ?)
Cevap:
Verilen fonksiyonu inceleyelim:
$$ f(x) = x^2 + 2ax + 3 $$
Bu bir ikinci dereceden fonksiyondur ve parabol şeklini çizer. İkinci dereceden fonksiyonlarda en düşük ya da en yüksek değeri, fonksiyonun tepe noktasında bulunur. Tepe noktası, fonksiyonun simetri ekseninde yer alır.
-
Tepe Noktasını Bulma:
-
İkinci dereceden fonksiyonun tepe noktasındaki (x) değeri şu formülle bulunur:
x = -\frac{b}{2a}Burada (a), kat sayısı (x^2)'nin katsayısıdır ve (b), (x)'in katsayısıdır. Bizim fonksiyonumuzda, (b = 2a) ve (a = 1).
Dolayısıyla,
x = -\frac{2a}{2 \cdot 1} = -a
-
-
Fonksiyonun Tepe Noktasındaki Değerini Bulma:
-
Tepe noktasındaki (x) değerini yerine koyarak (f(x))'in en küçük değerini bulmak:
f(-a) = (-a)^2 + 2a(-a) + 3Bu ifadeyi sadeleştirirsek,
f(-a) = a^2 - 2a^2 + 3 = -a^2 + 3Bu fonksiyonun en küçük değeri -13 olarak verilmiş, dolayısıyla:
-a^2 + 3 = -13
-
-
Denklemi Çözme:
-
Yukarıdaki denklemi (a)'nın değeri için çözmek:
-a^2 + 3 = -13 \implies -a^2 = -16 \implies a^2 = 16 \implies a = \pm 4
-
Buna göre (a)'nın olası değerleri ( \pm 4 )'dür. Bu, seçeneklerde (V \pm 4) olarak ifade edilmiştir.
Sonuç:
(\boxed{\pm 4})