Problem:
Fonksiyon:
f(x) = \frac{3x^2}{2x-5}
Eğrinin azalan olduğu aralık bulunacaktır.
Çözüm:
- Fonksiyonun türevini al:
Bir fonksiyonun azalıp çoğaldığını anlamak için türev alınır. f'(x) negatif olduğu yerde fonksiyon azalır. Türev işlemini başlatalım:
f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}
Burada:
- u(x) = 3x^2
- v(x) = 2x - 5
Türevi alma kuralı:
\frac{u}{v}' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}
Adım-1: u'(x) ve v'(x) hesapla:
- u'(x) = 6x
- v'(x) = 2
Formülde yerine koyarak:
f'(x) = \frac{6x \cdot (2x - 5) - 3x^2 \cdot 2}{(2x - 5)^2}
Adım-2: Payı düzenle:
f'(x) = \frac{12x^2 - 30x - 6x^2}{(2x-5)^2}
f'(x) = \frac{6x^2 - 30x}{(2x-5)^2}
Payın ifadelerini sadeleştir:
f'(x) = \frac{6x(x - 5)}{(2x-5)^2}
- Fonksiyonun türevini negatif yapan aralıklar:
Azalma koşulu: f'(x) < 0
\frac{6x(x-5)}{(2x-5)^2} < 0
Payı ve paydayı inceleyelim:
- Pay: 6x(x - 5)
- Payda: (2x - 5)^2
Paydanın karesi her zaman pozitif olduğu için işaret değişimini sadece pay belirler.
Payı inceleyelim:
6x(x - 5) < 0
Burada işaret değişimi x ve (x-5) tarafından yapılır:
- x = 0 ve x = 5
İşaret tablosu çizelim:
Kritik noktalar ve bölgeler:
- x = 0
- x = 5
Azalma için sağlanan bölgeleri işaretleyelim:
- x(x-5) < 0 olduğu aralık: x \in (0, \frac{5}{2})
Sonuç:
Eğrinin azaldığı aralık: B seçeneği
(0, \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}, 5)
Bu nedenle doğru cevap: A).
Özet Tablosu:
| Adım | İşlem ve Analiz |
|---|---|
| Türev alma işlemi | f'(x) = \frac{6x(x-5)}{(2x-5)^2} |
| Azalma koşulu | f'(x) < 0 analiz edildi |
| İşaret tablosu | x \in (0, \frac{5}{2}) bulunuyor |
| Sonuç | Doğru cevap: B |