Cdfertyuıo

YKS TYT
1

6023959690595124905_121
6023959690595124905_1211080×469 40.6 KB

2

Sorunun Çözümü:

Soruda verilen fonksiyon:

f(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 - 3x - 7

Sorulan: Bu fonksiyonun x eksenine paralel teğetleri arasındaki mesafe nedir?

Adım 1: Teğetlerin x eksenine paralel olma koşulu

Fonksiyonun x eksenine paralel teğetleri olması için türevinde, yani f'(x)'te eğimin sıfır olması gerekir:

f'(x) = 0

Adım 2: Fonksiyonun türevini alalım

Fonksiyonun türevi şudur:

f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} + x^2 - 3x - 7\right)

Her terimin türevini tek tek alalım:

  • \frac{x^3}{3}'ün türevi: x^2
  • x^2'nin türevi: 2x
  • -3x'in türevi: -3
  • Sabit olan -7'nin türevi: 0

Böylece:

f'(x) = x^2 + 2x - 3

Adım 3: x değerlerini bulmak için türevi sıfıra eşitleyelim

Türev ifadesini 0'a eşitleyelim:

x^2 + 2x - 3 = 0

Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Çözümü için çarpanlarına ayırabiliriz:

x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) = 0

Bunun kökleri:

x_1 = -3 \quad \text{ve} \quad x_2 = 1

Adım 4: x değerlerini kullanarak fonksiyonun teğet noktalarındaki y değerlerini bulalım

Fonksiyonda x_1 = -3 ve x_2 = 1 değerlerindeki y koordinatlarını hesaplayarak, teğet noktalarının x eksenine olan uzaklıklarını bulacağız.

Fonksiyon:

f(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 - 3x - 7

x = -3 için f(-3):

f(-3) = \frac{(-3)^3}{3} + (-3)^2 - 3(-3) - 7

Hesaplayalım:

f(-3) = \frac{-27}{3} + 9 + 9 - 7
f(-3) = -9 + 9 + 9 - 7 = 2

x = 1 için f(1):

f(1) = \frac{(1)^3}{3} + (1)^2 - 3(1) - 7

Hesaplayalım:

f(1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 - 7
f(1) = \frac{1}{3} - 9 = -\frac{26}{3}

Adım 5: İki teğet noktası arasındaki mesafeyi hesaplayalım

Fonksiyonun teğetlerinin x eksenine olan uzaklıkları f(-3) = 2 ve f(1) = -\frac{26}{3} olarak bulundu.

Bu iki nokta arasındaki mesafe:

Mesafe = |2 - (-\frac{26}{3})| = |2 + \frac{26}{3}|

Hesaplayalım:

Mesafe = \frac{6}{3} + \frac{26}{3} = \frac{32}{3}

Sonuç

Fonksiyonun x eksenine paralel teğetleri arasındaki mesafe \frac{32}{3} birimdir.

Doğru Cevap: A) \frac{32}{3}

@6023959690595124905

3

f(x) = x³/3 + x² – 3x – 7 fonksiyonunun x-eksenine paralel teğetleri arasındaki uzaklık nedir?

Cevap:

Öncelikle x-ekseni ile paralel bir teğet demek, teğetin eğiminin (türev değerinin) sıfır olması anlamına gelir. Bu yüzden:

  1. Türevini alalım:
    f(x) = (x³)/3 + x² – 3x – 7
    f′(x) = x² + 2x – 3

  2. Türevi sıfır yapan x değerlerini bulalım:
    x² + 2x – 3 = 0
    (x + 3)(x – 1) = 0
    Buradan x = –3 veya x = 1.

  3. Bu noktalardaki fonksiyon değerleri, aradığımız paralel teğetlerin denklemlerindeki y-değerleridir:

    • f(1) = (1³)/3 + 1² – 3(1) – 7
    = 1/3 + 1 – 3 – 7
    = 1/3 + 1 – 10
    = 4/3 – 10
    = 4/3 – 30/3
    = –26/3

    • f(–3) = (–3)³/3 + (–3)² – 3(–3) – 7
    = (–27)/3 + 9 + 9 – 7
    = –9 + 9 + 9 – 7
    = 2

  4. Paralel iki yatay (x-ekseniyle paralel) doğrunun y = f(1) ve y = f(–3) arasındaki dik uzaklık, bu y-değerlerinin mutlak farkıdır:
    |f(–3) – f(1)| = |2 – (–26/3)| = 2 + 26/3 = 6/3 + 26/3 = 32/3

Seçeneklerde 32/3 vardır ve doğru cevap 32/3 birimdir.

@User

1 Beğeni
4

13) f(x) = x³/3 + x² - 3x - 7 fonksiyonunun x eksenine paralel teğetleri arasındaki uzaklık kaç br’dir?

Cevap:
Aşağıda adım adım analiz ederek gideceğiz. Amacımız, x eksenine paralel teğet çizgilerini (yani eğimi 0 olan teğetleri) bulmak ve bu teğetlerin y-değerleri arasındaki farkı (mesafeyi) hesaplamak olacaktır. Çünkü x eksenine paralel bir doğru, “y = sabit” formundadır; bu doğruların birbirine uzaklığı ise y-değerlerinin farkına eşittir.

1. Fonksiyonu ve Türevi Anlama

1.1. Fonksiyon:

Verilen fonksiyon şu şekilde tanımlanmıştır:

f(x) \;=\; \frac{x^3}{3} \;+\; x^2 \;-\; 3x \;-\; 7.

Bu fonksiyon polinom türünde bir fonksiyondur (daha doğrusu, katsayıları rasyonel olmakla birlikte polinomsu bir ifade), çünkü üstleri tam sayı ve en büyük dereceli terimi x^3/3 şeklinde yer alır. Polinomların türevini, kritik noktalarını, ekstremum noktalarını (maksimum veya minimum noktaları) inceleyerek, eğimi 0 olan teğetlerin x-değerlerini ve bu x-değerlerine karşılık gelen y-değerlerini bulabiliriz.

1.2. Türev ve Eğim İlişkisi

Bir fonksiyonun eğiminin 0 olması, o fonksiyonun türevinin (ilk türevinin) 0 olmasına eşdeğerdir. Bu nedenle, x eksenine paralel teğetleri bulabilmek için fonksiyonun türevini alır ve türevi sıfıra eşitleyerek çözüm yaparız.

2. Türevi Hesaplama

Verilen:

f(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 - 3x - 7.

Bileşen bileşen türev alalım:

  1. \bigl(\frac{x^3}{3}\bigr)' = \frac{3 x^2}{3} = x^2.
  2. (x^2)' = 2x.
  3. (-3x)' = -3.
  4. (-7)' = 0.

Dolayısıyla:

f'(x) = x^2 + 2x - 3.

3. Teğetlerin Eğimini 0 Yapan x Noktalarını Bulma

3.1. Türev Eşitliği

x eksenine paralel teğet demek, \displaystyle f'(x) = 0 demektir.
Bu nedenle:

x^2 + 2x - 3 = 0

denklemini çözeceğiz.

3.2. Denklemi Çözme

x^2 + 2x - 3 = 0 denklemini ister kökleri ayırarak, ister formül kullanarak çözelim.(x^2 + 2x - 3) çarpanlarına aşağıdaki şekilde ayrılır:

x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1).

Bu çarpanlar çarpımının 0 olması için

(x + 3) = 0 \quad \text{veya} \quad (x - 1) = 0

olması gerekir. Dolayısıyla aşağıdaki iki kök bulunur:

  1. x = -3
  2. x = 1

Bu iki değer, f(x) fonksiyonunda eğimin 0 olduğu yani x eksenine paralel teğetlerin dokunduğu noktaların x-koordinatlarıdır.

4. Bu Noktalara Karşılık Gelen f(x) Değerleri

Bir doğru y eksenine paralelse eğimi ∞ olur. Bizim durumumuzda ise x eksenine paralel olduğundan eğimi 0’dır. Dolayısıyla, f'(x) = 0 noktasında fonksiyonun değeri f(x), o teğet doğrunun “y = sabit” ifadesini verecektir. Şimdi sırasıyla x=-3 ve x=1 için fonksiyon değerlerini bulalım.

4.1. f(-3) Değerini Hesaplama

f(-3) \;=\; \frac{(-3)^3}{3} \;+\; (-3)^2 \;-\; 3(-3) \;-\; 7.

Açıklayarak gidelim:

  1. (-3)^3 = -27, dolayısıyla \frac{-27}{3} = -9.
  2. (-3)^2 = 9.
  3. -3(-3) = +9.
  4. -7 sabit sayı.

Bu terimleri tek tek toplayalım:

  • \frac{-27}{3} = -9
  • (-3)^2 = 9
  • -3(-3) = 9
  • -7 sabit.

Toplam:

(-9) + 9 + 9 - 7 = \underbrace{(-9 + 9)}_{=0} + 9 -7 = 9 - 7 = 2.

Buna göre:

f(-3) = 2.

4.2. f(1) Değerini Hesaplama

f(1) = \frac{(1)^3}{3} + (1)^2 - 3(1) - 7.

Terimleri tek tek değerlendirelim:

  1. (1)^3 = 1, dolayısıyla \frac{1}{3}.
  2. (1)^2 = 1.
  3. -3(1) = -3.
  4. -7 sabit olarak bulunur.

Hepsini toplayalım:

  • \frac{1}{3}
  • +1
  • -3
  • -7

Önce toplama sırasını düzenleyelim:
1 + (-3) = -2
-2 + (-7) = -9
Dolayısıyla 1 - 3 - 7 = -9 elde ederiz. En son \frac{1}{3} eklenince:

-9 + \frac{1}{3} = -\left(9 - \frac{1}{3}\right) = -\left(\frac{27}{3} - \frac{1}{3}\right)= -\frac{26}{3} = -\frac{26}{3}.

Buna göre:

f(1) = -\frac{26}{3}.

5. x Eksenine Paralel Teğetlerin Denklemleri

İki tane x eksenine paralel teğet bulduk:

  1. Teğet 1: x = -3 noktasında. Bu teğete karşılık gelen y-değeri $f(-3) = 2$’dir. Bu nedenle teğet doğrumuz

    y = 2

    şeklindedir.

  2. Teğet 2: x = 1 noktasında. Bu teğete karşılık gelen y-değeri $f(1) = -\frac{26}{3}$’dir. Bu nedenle diğer teğet doğrumuz

    y = -\frac{26}{3}

    biçimindedir.

Bu iki doğrunun denklemleri, x eksenine paralel olup sabit y değerlerine eşittir.

6. İki Yatay Doğru Arasındaki Dikey Mesafe

Fonksiyonun x eksenine paralel teğetlerinin birbirine uzaklığı, bu iki yatay çizgi arasındaki dikey açıklıkla aynıdır. Diğer bir deyişle, y = 2 ile y = -\frac{26}{3} arasındaki mesafe, bu iki sayının mutlak farkıdır:

\text{Mesafe} = \Bigl| 2 - \Bigl(-\frac{26}{3}\Bigr) \Bigr| = \Bigl| 2 + \frac{26}{3} \Bigr|.

2 sayısı \frac{6}{3} olarak ifade edilebilir. Dolayısıyla:

2 = \frac{6}{3},

bu nedenle:

2 + \frac{26}{3} = \frac{6}{3} + \frac{26}{3} = \frac{32}{3}.

Mutlak değer içinde de olsa, bu toplama pozitif çıkıyor, dolayısıyla:

\text{Mesafe} = \frac{32}{3}.

Rasyonel biçimde \frac{32}{3}, ondalık gösterimde yaklaşık 10.666… değerine karşılık gelir.

6.1. Çıkan Sonuç ve Test

Sorunun çoktan seçmeli cevaplarında 32/3, 10, 28/3, 25/3 ve 7 gibi seçenekler verilmiştir. Burada doğru cevap \displaystyle \frac{32}{3} olarak görülür.

7. Konuyla İlgili Derinlemesine Açıklamalar

Aşağıda, hem konuyu pekiştirmek hem de öğrencilerin (veya okuyucuların) benzer soruları nasıl çözebileceklerine dair ek bilgiler verilmiştir.

7.1. x Eksenine Paralel Doğru Nedir?

Bir doğru x eksenine paralel ise, dik koordinat sisteminde eğim değeri 0 olan yatay bir doğru demektir. Bu doğru “$y = k$” formundadır; k bir sabit sayıdır. Bir fonksiyonun grafiğinde, teğetin x eksenine paralel olması için:

  • Türev (eğim) = 0.
  • Teğet doğrunun denklemi = y = f(x_0).

7.2. Türev Sıfır Denklemi

Herhangi bir fonksiyon f(x) incelendiğinde, “eğim nerede 0?” sorusunun cevabı türevini 0’a eşitlemekle bulunur. Bulunan x değerleri, fonksiyonun kritik noktaları olarak adlandırılır; bu noktalar ya yerel maksimum, ya yerel minimum ya da yatay inflection noktası ( Tür: dönüm noktası ) olabilir.

Bu problemde, f'(x) = 0 ile x=-3 ve x=1 bulunmuştur. Dolayısıyla, f(x) bu noktalarda yatay teğetlere sahip olur.

7.3. İki Yatay Teğet Arasındaki Mesafe

Grafikte “iki yatay çizgi arasındaki mesafe” denildiğinde, her zaman ilgili y değerlerinin farkı kastedilir. Çünkü iki paralel doğru (mesela y=c_1 ve y=c_2), dikey doğrultuda tam olarak |c_1 - c_2| kadar uzaklığa sahiptir. Hesaplama, sonunda \frac{32}{3} değeriyle sonuçlanmıştır.

7.4. Polinom Fonksiyonlarda Maksimum ve Minimum Analizi

Bu fonksiyon, bir üçüncü dereceden ifadedir: x^3/3 + x^2 - 3x -7. Genelde üçüncü dereceden fonksiyonlar birden fazla kritik nokta içerebilirler. Bu kritik noktalar fonksiyonun “lokal” maksimumu veya minimumu olabilir veya inflection point de olabilir; fakat bu problemde, hangi nokta maksimum veya minimum olduğuna dair ek analiz (ikinci türev incelemesi vb.) soruda özellikle istenmemiştir. Bize sadece teğetlerin y-değerleri ve aralarındaki mesafe gereklidir.

Yine de merak ediyorsanız, ikinci türev:

f''(x) = \frac{d}{dx}[x^2 + 2x -3] = 2x + 2.
  • x=-3 için f''(-3)=2(-3) +2 = -6+2=-4<0, burası lokal maksimum.
  • x=1 için f''(1)=2(1)+2=2+2=4>0, burası lokal minimum.

Dolayısıyla, $x=-3$’te fonksiyonun değeri 2 olup lokal maksimum, $x=1$’deki değeri -\frac{26}{3} ile lokal minimum şeklinde gerçekleşir.

7.5. Farklı Formüller ve Ek Örnekler

Yatay teğetlerin sayısı ve konumu, türevin derecesi ile de ilgilidir. İkinci dereceden bir polinom (kuadratik) en fazla bir yatay teğet verebilir (aslında o da yoktur; ax^2+bx+c de türev 2ax+b). Üçüncü dereceden (kübik) fonksiyonlar en fazla iki kritik nokta verebilir. Bu örnekte olduğu gibi tam iki kritik nokta elde edilmiştir.

Daha yüksek dereceli polinomlar, türlerine göre 3, 4, 5 vb. adede kadar kritik nokta verebilir. Fakat “iki x eksenine paralel teğet arasındaki mesafe” diye bir soru geldiğinde, bu genellikle farklı x değerlerinde yatay teğet bulunan polinomlar veya rasyonel fonksiyonlarda en sık sorulan tipik bir problem türüdür.

7.6. Hata Payları ve Hesaplama Püf Noktaları

  • Derivasyon hataları: Türevi alırken her terimin doğru türevini hesaplamak önemlidir. Örneğin, $x^3/3$’ün türevi $x^2$’dir, $x^2$’nin türevi 2x’tir vb.
  • İşaret hataları: Çarpma işlemlerindeki (+)(-) dikkat edilmezse sonuca etki eder.
  • Rasyonel değerleri işlem yaparken, -9 + \frac{1}{3} gibi ifadeleri \frac{-27}{3} + \frac{1}{3} = \frac{-26}{3} biçiminde doğru şekilde birleştirmek gerekir.

Bu noktalara dikkat ettiğimizde sonucun \frac{32}{3} olduğu açık biçimde görülecektir.

7.7. Genel Kavramların Faydası

Bu problem, orta düzey veya ileri düzey matematik öğrencilerinin türev ve fonksiyon analizi konusunu anlama becerilerini test eder. Aşağıdaki hususlar öğrenilir:

  1. Türev ve geometrik yorum (eğim – teğet bağlantısı).
  2. Elemanter polinomların türevi.
  3. Kritik noktalar, f'(x)=0 çözümleri.
  4. Yatay teğetler arasındaki mesafe.
  5. Fonksiyon değerlerinin farkı.

8. Özet Tablosu

Aşağıdaki tabloda en önemli adımlar ve sonuçlar özetlenmektedir:

Adım İşlem Sonuç
1. Fonksiyon ve Türev f(x)=\tfrac{x^3}{3}+x^2-3x-7 → f'(x)=x^2+2x-3 -
2. Türevi Sıfıra Eşitle x^2 + 2x - 3 = 0 Kökler: x=-3 ve x=1
3. f(-3) ve f(1) Değerleri f(-3)=2, \,f(1)=-\tfrac{26}{3} Teğetler: y=2 ve y=-\tfrac{26}{3}
4. İki Yatay Teğet Arasındaki Mesafe $\bigl 2 - (-\tfrac{26}{3})\bigr
5. Sonuç Cevap Çoktan Seçmeli: \tfrac{32}{3} A) \tfrac{32}{3}

9. Sonuç ve Kısa Özet

Bu problemde:

  1. Türev alarak f'(x)=0 noktasında eğimin 0 olduğu x değerlerini belirledik: x=-3 ve x=1.
  2. Bu değerler için fonksiyonun y değeri sırasıyla 2 ve -\tfrac{26}{3} olarak bulundu.
  3. Dolayısıyla iki yatay teğet çizgisi y=2 ve y=-\tfrac{26}{3} olur.
  4. Bu iki yatay çizgi arasındaki dikey uzaklık 2 - \left(-\frac{26}{3}\right)=\frac{32}{3} olarak hesaplandı.

En nihayetinde sorunun cevabı, \displaystyle \frac{32}{3} birimdir.

@Smaug_Thorin