Yappph

YKS TYT
1

6007915926160262955_121
6007915926160262955_1211080×372 39.1 KB

2

Soru:

f(x) = (x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)...(x^{16}+1)

olduğuna göre,

\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}

ifadəsinin değeri kaçtır?

Çözüm:

Bu tür limit sorularında, verilen fonksiyonun limit değerini bulmadan önce belirli adımları takip ederiz. Sorunun temel mantığı L’Hôpital kuralı gerektiren bir durum olduğunu ima ediyor çünkü ifadenin hem payı hem de paydası x \to 1 için 0 oluyor.

Adım 1: Fonksiyonun f(1) değerini bulma

Fonksiyonu yerine koyarak f(1) hesaplanır:

f(1) = (1 - 1)(1 + 1)(1^2 + 1)(1^4 + 1)...(1^{16} + 1)

Burada dikkat edilmesi gereken nokta, ilk terim (1 - 1) sıfır olduğu için:

f(1) = 0

Adım 2: Limitteki ifade

Limitte kullanılan ifade şu şekilde sadeleştirilir:

\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x - 1}

Çünkü f(1) = 0.

Adım 3: f(x) fonksiyonunu türev kullanarak açma

Fonksiyonun detayına bakalım:

f(x) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)...(x^{16} + 1)

Burada dikkat edilmesi gereken, çarpanlardan biri zaten (x - 1) olduğudur. Bu çarpan limitte payda ile sadeleşir.
Bu nedenle (x - 1)'i sadeleştirdiğimizde:

f(x) = (x - 1) \cdot g(x)

yapısı oluşur, burada:

g(x) = (x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)...(x^{16} + 1)

Adım 4: Limitte sadeleştirme

\frac{f(x)}{x - 1} = g(x)

olur. Şimdi g(1) değerini bulmamız gerekiyor:

g(1) = (1 + 1)(1^2 + 1)(1^4 + 1)...(1^{16} + 1)
g(1) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot ... \cdot 2

Burada çarpanların hepsi 2 olduğundan, toplamda 17 terim bulunur:

g(1) = 2^{17}

Sonuç:

\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = 2^{17}

Elde edilen ifade 2^{17} dir.
@username

3

f(x) = (x - 1)(x + 1)(x² + 1)(x⁴ + 1) … (x¹⁶ + 1) fonksiyonunun limiti

Soru: f(x) = (x - 1)(x + 1)(x² + 1)(x⁴ + 1)…(x¹⁶ + 1) olduğuna göre,
lim (x→1) [f(x) - f(1)] / (x - 1)
ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap:

Öncelikle, f(1) değerini bulalım:

  • (1 - 1) = 0 olduğu için f(1) çarpımdaki ilk terimden dolayı 0 olur.
    Böylece f(1) = 0 olduğundan aradığımız limit,
    lim (x→1) [f(x) - 0] / (x - 1) = lim (x→1) f(x) / (x - 1)
    şekline dönüşür.

f(x) ifadesinde (x - 1) çarpanı dışındaki diğer tüm çarpanlar x = 1’de sıfırdan farklıdır. Dolayısıyla f(x) = (x - 1)·h(x) biçiminde yazabiliriz; burada
h(x) = (x + 1)(x² + 1)(x⁴ + 1)(x⁸ + 1)(x¹⁶ + 1).

Limit alırken (x - 1) terimi payı sıfıra götürürken, h(x) x = 1’de sabit bir değere sahiptir. Şimdi h(1)’i hesaplayalım:
• x = 1 ⇒ (1 + 1) = 2
• 1² + 1 = 2
• 1⁴ + 1 = 2
• 1⁸ + 1 = 2
• 1¹⁶ + 1 = 2

Bu terimlerin çarpımı:
2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁵ = 32

Dolayısıyla x → 1 için
lim (x→1) f(x)/(x - 1) = lim (x→1) [(x - 1)·h(x)] / (x - 1) = h(1) = 32.

Görüldüğü üzere limit değeri 32’dir.

Özet Tablo

Adım Açıklama Hesaplama
1. f(1) değerini bulma (1 - 1) çarpanı 0 olduğundan f(1) = 0 0
2. Limitin tanımı lim (x→1) [f(x) - f(1)] / (x - 1) = lim (x→1) f(x) / (x - 1), çünkü f(1) = 0 -
3. f(x) ifadesini düzenleme f(x) = (x-1) × [(x+1)(x²+1)(x⁴+1)(x⁸+1)(x¹⁶+1)] h(x) = (x+1)(x²+1)(x⁴+1)(x⁸+1)(x¹⁶+1)
4. h(1) değerini bulma (1 + 1)(1² + 1)(1⁴ + 1)(1⁸ + 1)(1¹⁶ + 1) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 h(1) = 32
5. Limit hesabını sonuçlandırma lim (x→1) f(x)/(x - 1) = h(1) 32

Sonuç:
Bu işlem bize,
lim (x→1) [(x - 1)(x + 1)(x² + 1)(x⁴ + 1)…(x¹⁶ + 1)] / (x - 1) = 32
olduğunu gösterir.

@username

4

f(x) = (x - 1)(x + 1)(x² + 1)(x⁴ + 1)(x⁸ + 1)(x¹⁶ + 1) verilmiştir.
Bu fonksiyon için
lim (x→1) ( f(x) – f(1) ) / (x – 1)
ifadesinin değeri, f(x)’in x=1 noktasındaki türevi (yani f′(1)) ile aynıdır. Öncelikle f(1) değerini bulalım:

f(1) = (1 − 1)(1 + 1)(1² + 1)(1⁴ + 1)(1⁸ + 1)(1¹⁶ + 1) = 0×2×2×2×2×2 = 0

Ardından f(x) = (x – 1)·g(x) şeklinde ayırabiliriz:
g(x) = (x + 1)(x² + 1)(x⁴ + 1)(x⁸ + 1)(x¹⁶ + 1)

Bu durumda, f(x) = (x − 1)g(x) için türev kuralından:
f′(x) = (x − 1)·g′(x) + g(x).

x = 1 noktasında (1 − 1)·g′(1) = 0 olacağından,
f′(1) = g(1).

Şimdi g(1) değerini bulalım:
g(1) = (1 + 1)(1² + 1)(1⁴ + 1)(1⁸ + 1)(1¹⁶ + 1)
= 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 2⁵
= 32.

Dolayısıyla, aranan limit = f′(1) = 32.

@username