Yap bakamm

YKS TYT
1

6001099950500464009_121
6001099950500464009_1211080×753 53.2 KB

2

Sorunu çözmek için adımlar:

Verilen:

Fonksiyon: f(x) = (n+1) \cdot x^n
Limit:

\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = 90

Bu limit türev tanımına benzer. Buradan türev kullanarak problemi çözebiliriz.

1. f'(x) fonksiyonunun türevini bulalım:

f(x) = (n+1) \cdot x^n

Türev alıyoruz:

f'(x) = (n+1) \cdot n \cdot x^{n-1}

2. x = 1 durumunda türevi bulalım:

Türev fonksiyonunda x = 1 değerini yerine koyuyoruz:

f'(1) = (n+1) \cdot n \cdot 1^{n-1}

Burası basitleştiği için:

f'(1) = n \cdot (n+1)

3. Limit ile türev bağlantısı:

Limitin değeri doğrudan türevi verir:

\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(1)

Yani:

f'(1) = 90

Bu durumda:

n \cdot (n+1) = 90

4. n değerini bulmak için denklemi çözelim:

n^2 + n = 90

Bu bir ikinci dereceden denklemdir:

n^2 + n - 90 = 0

5. Denklemin köklerini bulalım (çözümleme):

Bu denklemi çözmek için çarpanlara ayırma veya çözüm formülü (\Delta) kullanabiliriz.

Diskriminant (Delta):

\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361

Kökleri bulmak için:

n = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

Yerine koyarsak:

n = \frac{-1 \pm \sqrt{361}}{2}
n = \frac{-1 \pm 19}{2}

Kökler:

n = \frac{-1 + 19}{2} = 9
n = \frac{-1 - 19}{2} = -10

6. Pozitif kök:

Soruda pozitif bir değer istendiği için:

n = 9

Sonuç:

$n$’nin pozitif değeri = 9
Doğru Cevap: D)

@username

3

f(x) = (n + 1)·xⁿ fonksiyonu verilmiştir ve

\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = 90

olduğu söyleniyor. Bu ifadeyi adım adım çözelim:

Adım 1: f(1) Değerini Bulma

f(1) = (n + 1)·1ⁿ = (n + 1).

Adım 2: Limit İfadesini Düzenleme

Limit ifademiz:

\lim_{x \to 1} \frac{(n + 1)\,x^n - (n + 1)\,1^n}{x - 1} = (n + 1) \lim_{x \to 1} \frac{x^n - 1}{x - 1}.

Adım 3: (xⁿ - 1)/(x - 1) Limitinin Bilinen Sonucu

Matematikte sıkça kullanılan bir sonuç:

\lim_{x \to 1} \frac{x^n - 1}{x - 1} = n.

Böylece limitimiz,

(n + 1)\,\bigl(\lim_{x \to 1}\frac{x^n - 1}{x - 1}\bigr) = (n + 1)\cdot n.

Adım 4: Denklemi Çözme

Verilen limitin 90 olduğu söyleniyor, bu nedenle:

(n + 1)\,n = 90.

Bu ifadeyi eşitlik biçiminde yazarsak:

n^2 + n - 90 = 0.

Bu ikinci dereceden denklemi çözelim:

n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 90}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{361}}{2} = \frac{-1 \pm 19}{2}.
  • Pozitif kök: n = ( -1 + 19 ) / 2 = 18 / 2 = 9
  • Negatif kök: n = ( -1 - 19 ) / 2 = -20 / 2 = -10 (pozitif değer isteniyor, bu yüzden geçersiz).

Dolayısıyla n = 9 cevabını elde ederiz.

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
1. f(1) hesaplama f(1) = (n + 1)·1ⁿ n + 1
2. Limit ifadesini ayırma (n + 1)·[ (xⁿ - 1 ) / ( x - 1 ) ] (n + 1)·n
3. Bilinen limit sonucu lim (x→1) (xⁿ - 1)/(x - 1) = n (n + 1)·n
4. Eşitliği sağlama (n + 1)n = 90 → n² + n - 90 = 0 n = 9

Sonuç olarak, n’in pozitif değeri 9’dur.

@Smaug_Thorin

4

f(x) = (n + 1)·xⁿ fonksiyonu veriliyor.
Aşağıdaki limit değeri 90 olarak verilmiştir:

\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = 90

Buna göre, n’in pozitif değeri kaçtır?

Answer:

Adım Adım Çözüm

  1. f(x) Fonksiyonunun Tanımı

    Verilen fonksiyon:

    f(x) = (n+1)\,x^n

  2. Limitin Türevin Tanımı Olduğunu Fark Etme

    Limit ifadesi, x=1 noktasındaki türevi tanımlar. Yani:

    \lim_{x \to 1}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(1)

  3. Türev Bulma

    $f(x)$’in türevi f'(x):

    f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl[(n+1) x^n\bigr] = (n+1)\,n\,x^{n-1}

  4. Türevde 1 Noktasına Yerleştirme

    f'(1) değeri:

    f'(1) = (n+1)\,n \cdot (1)^{n-1} = (n+1)\,n

  5. Limit Değerini Eşitleme ve Denklemi Çözme

    Verilen limit değeri 90, dolayısıyla:

    (n+1)\,n = 90

    Bu denklemi çözmek için:

    n^2 + n - 90 = 0

  6. Denklem Çözümü

    \;n^2 + n - 90 = 0\; denklemi, n = 9 veya n = -10 çözümlerini verir. Soruda pozitif değer istendiğinden,

    \boxed{n = 9}

Dolayısıyla n’in pozitif değeri 9’dur.

@username