Çöz bbbbb

YKS TYT
1

image
image1080×753 50.9 KB

2

Soruyu çözüyoruz:

Problemin Özeti

Verilen fonksiyon:

f(x) = (n+1) \cdot x^n

Limit:

\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x-1} = 90

Sorulan: n'nin pozitif değeri kaçtır?

Çözüm

1. Fonksiyonu Yerine Yazma

Fonksiyonu ve limit ifadesinde f(1)'i bulalım:
$$f(1) = (n+1) \cdot 1^n = n+1$$

Limit ifadesi:

\frac{f(x) - f(1)}{x-1} = \frac{(n+1)x^n - (n+1)}{x-1}

2. Limitin Hesaplanması İçin L’Hopital Kullanımı

Bu ifade:

\lim_{x \to 1} \frac{(n+1)x^n - (n+1)}{x-1}

şeklinde olduğundan, \frac{0}{0} belirsizliğini içerir. Bu yüzden L’Hopital Kuralı uygularız.

Pay ve Paydanın Türevi:

  • Payın türevi:
\frac{d}{dx} \big[ (n+1)x^n - (n+1) \big] = (n+1) \cdot n \cdot x^{n-1}
  • Paydanın türevi:
\frac{d}{dx} \big[x - 1\big] = 1

Limit:

\lim_{x \to 1} \frac{(n+1) \cdot n \cdot x^{n-1}}{1}

x \to 1 olduğu için:

\lim_{x \to 1} (n+1) \cdot n \cdot x^{n-1} = (n+1) \cdot n \cdot 1^{n-1} = (n+1) \cdot n

3. Elde Edilen Limit ve Denklem

Limit ifadesi:

(n+1) \cdot n = 90

Bu denklem çözülür:

n^2 + n - 90 = 0

4. Denklemin Çözümü

Verilen ifade:

n^2 + n - 90 = 0

Bu bir ikinci dereceden denklem olduğundan, köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yapabiliriz:

Çarpanlara Ayırma:

n^2 + 10n - 9n - 90 = 0
n(n+10) - 9(n+10) = 0
(n-9)(n+10) = 0

5. Pozitif Çözüm

Kökler:

n = 9 \quad \text{ve} \quad n = -10

Pozitif değer:

n = 9

Sonuç

n'nin pozitif değeri:
D) 9

@username

3

f(x) = (n+1)·xⁿ fonksiyonu veriliyor. (x → 1) lim [(f(x) – f(1)) / (x – 1)] = 90 olduğuna göre, n’nin pozitif değeri kaçtır?

Cevap:

  1. İlk olarak f(1) değerini bulalım:
    f(1) = (n+1)·1ⁿ = n+1.

  2. Verilen limit, aslında f(x) fonksiyonunun x=1’deki türevine (f’(1)) eşittir:
    lim (x→1) [f(x) – f(1)] / (x – 1) = f’(1).

  3. f(x) = (n+1)·xⁿ fonksiyonunun türevini alalım:
    f’(x) = (n+1)·n·x^(n−1).

  4. x=1 için türev değeri:
    f’(1) = (n+1)·n·1^(n−1) = (n+1)·n.

  5. Limit değeri 90 olarak verildiğine göre:
    (n+1)·n = 90
    n² + n – 90 = 0.

  6. Bu denklemin kökleri:
    n² + n – 90 = (n + 10)(n – 9) = 0
    Buradan n = –10 veya n = 9 çıkar.

  7. Soruda n’nin pozitif değeri istendiğinden:
    n = 9.

Dolayısıyla, sorunun cevabı 9 (D şıkkı) olur.

@username

4

f(x) = (n+1)·x^n fonksiyonu ve limiti inceleme

Soru:
f(x) = (n+1)·x^n fonksiyonu veriliyor.
lim (x→1) [(f(x) - f(1)) / (x - 1)] = 90 olduğuna göre, n’in pozitif değeri kaçtır?

Cevap:
Bu problemde bize verilen limit ifadesi, x → 1 noktasında f(x) fonksiyonunun türevinin değerine eşittir. Yani:

\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(1).

Burada:

  • f(x) = (n+1)x^n,
  • Dolayısıyla f(1) = (n+1)·1^n = n+1,
  • İstenen limit = 90,

olduğuna göre, önce türevi bulup f’(1) = 90 şartını sağlayacağız.

1. f(x) Fonksiyonunun Türevi

Bir fonksiyon f(x) = (n+1)x^n şeklinde olsun. Bu fonksiyonun türevini türev kurallarına göre bulalım:

f'(x) = (n+1) \cdot \frac{d}{dx}[x^n].

x^n ifadesinin türevi n·x^(n-1) olduğundan,

f'(x) = (n+1) \cdot n \cdot x^{n-1}.

Dolayısıyla f’(1), x yerine 1 koyduğumuzda,

f'(1) = (n+1) \cdot n \cdot 1^{n-1} = (n+1)\cdot n.

2. Limit Değerinin Türeve Eşitlenmesi

Verilen limit ifadesi:

\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x-1} = f'(1) = 90.

Az önce hesapladığımız gibi f’(1) = (n+1)n. O halde:

(n+1)n = 90.

Bu ifadeyi çözmemiz gerekiyor:

n^2 + n - 90 = 0.

Bu bir ikinci dereceden denklem (kare denklem) olduğundan, köklerini bulmak için diskriminant yöntemini (veya diğer yöntemleri) kullanabiliriz.

3. Denklem Çözümü

3.1. Denklem Kurulumu

Denklemimiz:

n^2 + n - 90 = 0.

3.2. Diskriminant Hesabı

Bir ikinci dereceden denklem a·n^2 + b·n + c = 0 biçimindedir ve diskriminant Δ = b^2 - 4ac olarak tanımlanır. Burada:

  • a = 1,
  • b = 1,
  • c = -90,

dolayısıyla:

\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361.

3.3. Köklerin Bulunması

Diskriminant Δ = 361 aynı zamanda 19^2 olduğundan, karekökü 19’dur. Kökler formül gereği:

n = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm 19}{2}.

Buradan iki değer elde ederiz:

  1. n = ( -1 + 19 ) / 2 = 18 / 2 = 9,
  2. n = ( -1 - 19 ) / 2 = -20 / 2 = -10.

Soru, n’in pozitif değerini sormaktadır. Bu nedenle n = 9 geçerli çözümdür.

Çözüm Adımları Tablosu

Aşağıdaki tabloda soru çözümüne ilişkin önemli aşamalar ve yapılan işlemler özetlenmiştir:

Adım Açıklama Matematiksel İşlem
1. Fonksiyonun Türevi f(x) = (n+1)x^n ifadesinin türevi hesaplanır. f’(x) = (n+1)n x^(n-1)
2. Türevi x=1’de Hesaplama x=1 konulunca f’(1) = (n+1)·n elde edilir. f’(1) = (n+1)n
3. Limitle Eşitleme Lim (x→1) [(f(x)-f(1)) / (x-1)] = 90, bu değerin f’(1) olduğunu biliyoruz. (n+1)n = 90
4. Denklem Kurma (n+1)n = 90 eşitliğinden ikinci dereceden denklem oluşturulmuştur. n^2 + n - 90 = 0
5. Diskriminant Hesaplama Δ = b^2 - 4ac = 361, √Δ=19 bulunur. Δ = 361 ⇒ sqrt(361)=19
6. Köklerin Bulunması Formül: n = [ -b ± √(Δ) ] / (2a). İki değer, n=9 ve n=-10 olarak bulunur. n= ( -1 ± 19 ) / 2 ⇒ n=9, -10
7. Pozitif Çözüm Seçilmesi Soruda n’in pozitif değeri arandığı için n=9 geçerlidir. n=9

Detaylı Açıklamalar ve İpuçları

  1. Türev (Derivative) Kavramı
    Limit tanımı üzerinden sunulan (f(x) - f(1)) / (x - 1) ifadesi, x → 1 limitinde fonksiyonun x=1 noktasındaki türevine karşılık gelir. Bu tür sorularda sıklıkla türev tanımı kullanılır.
  2. Değerlendirme Noktası
    f(1) = (n+1)·1^n = n+1. Buradan f’(1) = 90 çıktığı için, türevde x=1 konulduğunda elde edilen (n+1)n = 90 çözülür.
  3. Kare Denklemler (Quadratic Equations)
    n^2 + n - 90=0 tipinde ikinci dereceden denklemlerde, pozitif çözüm orijinal problemde isteniyor olabilir. Mutlaka hem pozitif hem negatif kökü kontrol etmeliyiz. Bu soruda negatif çözüm -10, pozitif çözüm 9’dur.
  4. Pozitif İstenen Değer
    Matematik sorularının çoğunda, gerçek dünya problemleri veya problemde “pozitiflik” kriteri vurgulandığında sadece pozitif olan kök alınır. Burada da n=9 olduğu için cevap 9’dur.

Kısa Özet

Bu problemde, f(x) = (n+1)x^n fonksiyonu için

\lim_{{x \to 1}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = 90

şartı verilmektedir. Limit ifadesi, fonksiyonun 1 noktasındaki türevine eşittir: f’(1)=90. Türev formülüyle f’(x) = (n+1)n x^(n-1), böylece x=1’de f’(1)=(n+1)n=90 elde edilir. n^2 + n - 90=0 denkleminden n=9 veya n=-10 çözümleri bulunur. Pozitif değer n=9 olduğundan sorunun cevabı 9’dur.

@username